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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线2.2.2抛物线的简单性质精练含解析北师大版选修

2.2 抛物线的简单性质
A组

1.抛物线 y= x2(a≠0)的焦点坐标为( ) A.a>0 时为(0,a),a<0 时为(0,-a)

B.a>0 时为 C.(0,a)

,a<0 时为

D. 解析:a>0 时,x2=4ay 的焦点为(0,a);a<0 时,x2=4ay 的焦点为(0,a),这时焦点在 y 轴负半轴上. 故不论 a 为何值,x2=4ay 的焦点总为(0,a),故选 C. 答案:C 2.已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 中点到 x 轴的最短距离为( )

A.

B.

C.1

D.2

解析:设 AB 的中点为 M,焦点为 F(0,1).过 M 作准线 l:y=-1 的垂线 MN,过 A 作 AC⊥l 于 C,过 B

作 BD⊥l 于 D,则|MN|=

=3,所以 AB 中点到 x 轴的最短距离为 3-1=2,此

时动弦 AB 过焦点,故选 D.

答案:D

3.设抛物线的焦点到顶点的距离为 3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )

A.(6,+∞)

B.[6,+∞)

C.(3,+∞)

D.[3,+∞)

解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3,

∴ =3,即 p=6.

又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ,

∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).

答案:D

4.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和

抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( )

A.(0,2)

B.[0,2]

C.(2,+∞)

D.[2,+∞)

-1-

解析:设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心, 抛物线 C 的准线方程为 y=-2, 由圆与准线相交知 4<r. 因为点 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,

所以

=8y0.

又点 M(x0,y0)在圆 x2+(y-2)2=r2 上,

所以

+(y0-2)2=r2>16,

所以 8y0+(y0-2)2>16,即有

+4y0-12>0,

解得 y0>2 或 y0<-6,

又因为 y0≥0,所以 y0>2,故选 C.

答案:C

5.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦

点的距离为 3,则|OM|=( )

A.2

B.2

C.4

D.2

解析:由于抛物线关于 x 轴对称,顶点在坐标原点且经过点 M(2,y0),可设方程为 y2=2px,由点 M

到抛物线焦点的距离为 3,则由抛物线定义得 2+ =3,解得 p=2,则 y2=4x,又 M(2,y0)在抛物线

y2=4x 上,则 =8,|OM|=

=2 .

答案:B 6.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜

率为- ,那么|PF|=( )

A.4

B.8

C.8

D.16

解析:设 A(-2,y),F(2,0),所以 kAF= =- ,

所以 y=4

,所以 yP=4

.

因为点 P 在抛物线上,所以

=8xP,

所以 xP=

=6.

由抛物线定义可得

|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.

答案:B

-2-

7.沿直线 y=-2 发出的光线经抛物线 y2=ax 反射后,与 x 轴相交于点 A(2,0),则抛物线的准线方

程为

.

解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反射后与 x 轴平行及直线 y=-2 平行于

x 轴知 A(2,0)为焦点,故准线方程为 x=-2.

答案:x=-2

8.一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=ax 上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面

积为 36 ,则 a=

.

解析:设正三角形边长为 x.

由题意得,36

x2sin 60°,∴x=12.

当 a>0 时,将(6

,6)代入 y2=ax,得 a=2

.

当 a<0 时,将(-6

,6)代入 y2=ax,得 a=-2

,

故 a=±2

.

答案:±2 9.

导学号 01844017 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边 和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高 度之差至少要有 0.5 米. (1)以抛物线的顶点为原点 O,其对称轴所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛 物线的方程; (2)若行车道总宽度 AB 为 7 米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1 米)? 解如图所示.

(1)依题意,设该抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 因为点 C(5,-5)在抛物线上,
-3-

所以该抛物线的方程为 x2=-5y. (2)设车辆高为 h,则|DB|=h+0.5, 故 D(3.5,h-6.5), 代入方程 x2=-5y,解得 h=4.05, 所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米.
B组

1.(2015 全国卷Ⅰ高考)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x

的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( )

A.3

B.6

C.9

D.12

解析:∵抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),

∴E 的右焦点的坐标为(2,0).

设椭圆 E 的方程为

=1(a>b>0),∴c=2.



,∴a=4.

∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为

=1.

∵抛物线的准线方程为 x=-2,将其代入椭圆方程可得 A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.

答案:B 2.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( )

A.

B.

C.

D.3

解析:设(x0,y0)为抛物线 y=-x2 上任意一点,

∴y0=-

,

∴d=

,

∴dmin=

.

答案:A

-4-

3.如图,已知点 Q(2 ,0)及抛物线 y= 上的动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是( )

A.2

B.3

C.4

D.2

解析:如图所示,过 P 作 PM 垂直准线于点 M, 则由抛物线的定义可知 y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1, 当且仅当 P,F,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,

最小值为|QF|=

=3.

故 y+|PQ|的最小值为 3-1=2.

答案:A

4.已知顶点与原点 O 重合,准线为直线 x=- 的抛物线上有两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2),若 y1·y2=-1,

则∠AOB 的大小是

.

解析:由已知得抛物线方程为 y2=x,

因此

=x1x2+y1y2=

+y1y2=(-1)2+(-1)=0.∴

.∴∠AOB=90°.

答案:90°

5.

导学号 01844018 对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,

则 a 的取值范围是

.

解析:设点 Q 的坐标为

.

由|PQ|≥|a|,得|PQ|2≥a2,即

≥a2,

整理,得

+16-8a)≥0.

-5-



≥0,∴

+16-8a≥0.即 a≤2+

恒成立.

而 2+

的最小值为 2.∴a≤2.

答案:(-∞,2]

6.

导学号 01844019 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线

形,跨度为 20 米,拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度

不超过 18 米,目前吃水线上部中央船体高 5 米,宽 16 米,且该货船在现有状况下最多可装 1 000

吨货物,但每多装 150 吨货物,船体吃水线就要上升 0.04 米.若不考虑水下深度,问:该货船在

现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

解如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为 x 轴,竖直直线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 因为拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米, 所以 A(10,-2). 设桥孔上部抛物线方程是 x2=-2py(p>0), 则 102=-2p×(-2),所以 p=25,

所以抛物线方程为 x2=-50y,即 y=-

x2.

若货船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时,

y=-

×82=-1.28,

即船体在 x=±8 之间通过,B(8,-1.28),此时 B 点距水面 6+(-1.28)=4.72(米).

而船体高为 5 米,所以无法通行.

又因为 5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1 050(吨),

所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加 1 050 吨,而船最多还能装 1 000 吨货物,所以

货船在现有状况下不能通过桥孔.

-6-