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安徽省舒城一中2018届高三寒假模拟(一)数学(理)


2018 届高三数学(理)寒假模拟(一)
一、 选择题 (本题共 12 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? ?x | 0 ? log4 x ? 1? , B = ? x | ( ) A. (0,1) 2.已知复数 z ? ? ( A. ? ) B. (0,2] C. [2,4) D. (1,2]

? ?

3 ? ? ?1? ,则 A ? B ? 1? 2x ?

1 3 ? ? i ,则 z ? z ? 2 2

1 3 ? i 2 2

B. ?

1 3 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2

3.设 m , n 是非零向量,则“存在负数 ? ,使得 m ? ? n ”是“ m ? n ? 0 ”的 ( ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

??

?

??

?

?? ?

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

4.若点 P ? cos? , sin? ? 在直线 y ? ?2 x 上,则 cos ? 2? ? ( A. ? )

? ?

??

? 的值等于 2?
3 5

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

5.已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 3 ,且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,则 a5 = ( A. 5 ) B. 3
2

C. 5 或 3
2

D. 4 或 3

6 . 设 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N (2, ? ) , 则 函 数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ?? 不 存 在 零 点 的 概 率 为 ( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 5

D.

2 5

7.函数 f ( x) = ( )

e x ? e? x cos x 在[?2π ,2π ]上的大致图象是 2

·1·

A.

B.

C.

D.

8.设椭圆

???? ???? ? x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1,F2,点 P 在椭圆上,且 PF ? PF ? 0, 1 2 a 2 b2
3 ,则该椭圆的离心率是 3
3 ?1 2
C. 3 ? ( )

tan ?PF1F2 ?

A. 3

B.

1 2

D. 3 ? 1

9.刍薨( chuhong ) ,中国古代算术中的一种几何形体, 《九章算术》 中记载“刍薨者,下有褒有广,而上有褒无广.刍,草也.薨,屋盖也.” 翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字 面意思为茅草屋顶” ,如图,为一刍薨的三视图,其中正视图为等腰梯 形,侧视图为等腰三角形,则搭建它(无底面,不考虑厚度)需要的 茅草面积至少为 A.24 B. 32 5 C.64 ( D. 32 6 )

10.如图,已知 A,B,C 三点都在半径为 5 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离 为 1,∠ABC=

? ? ,∠CAB= ,D 是线段 AB 的中点,过点 D 作球 O 的截面,则此 2 3
( C. ) B.π

截面圆面积的最小值是 A.

? 4

9 ? 4

D.4π

11.在锐角三角形中 ABC , tanA ?

1 , D 为边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的面积分别为 2 2 ??? ? ???? 和 4.过 D 作 DE ? AB 于 E , DF ? AC 于 F ,则 DE ? DF ?
( )
·2·

A. ?

13 14

B. ?

16 15
2

C. ?

17 15

D. ?

15 14

1 1? ? 12.已知当 x ??0,1? 时,函数 y ? ? x ? ? 的图象与 y ? 2 m m? ?
则 正实数 m 的取值范围是 ( ) A. (0,1 ? 3, ??) C.

x?

1 的图象有且只有一个交点, m

? ?

B.

? 0,

2 ??? 2 3, ??

?

D.

? 0,1??? 2 3, ?? ? ? 0, 2 ??? 3, ?? ?

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
2 13.若 ( x ? 1)(2 x ?

1 6 ) 展开式中的常数项为. x

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 为 5, 则 ?x ? y ? 0 ?
a , b 满足的关系为; a 2 ? b 2 的最小值为.
15.已知为抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过 F 作斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A 、 B 两 点,设 FA ? FB ,则

FA FB

? __________.

16. 如图, 为了测量河对岸 A 、B 两点之间的距离, 观察者找到一个点 C , 从点 C 可以观察到点 A 、 B ;找到一个点 D ,从点可以观察到点 A 、

C ;找到一个点 E ,从点可以观察到点 B 、 C ;并测量得到一些数
据: CD ? 2 , CE ? 2 3 , ?D ? 45? , ?ACD ? 105? ,

?ACB ? 48.19? , ?BCE ? 75? , ?E ? 60? ,则 A 、 2 (其中 cos48.19? 取近似值 ) B 两点之间的距离为__________. 3
三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
* 17. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 为等差数列,前 n 项和为 S n n ? N , ?bn ? 是首项为 2 的等比

?

? ?

数列, 且公比大于 0, b2 ? b3 ? 12 , b3 ? a4 ? 2a1 , S11 =11b4 .
* (1)求 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?a2nb2n?1? 的前 n 项和 n ? N .

?

·3·

18.(本小题满分 12 分)如图,三棱台 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 A1 B1 BA 与侧面 A 1C1CA 是 全 等 的 梯形, 若 A 1 A ? AB, A 1A ? A 1C1 ,且 AB ? 2 A 1B 1 ? 4A 1A. (1)若 CD ? 2DA1 , AE ? 2 EB ,证明: DE ∥平面 BCC1 B1 ; (2) 若二面角 C1 ? AA1 ? B 为 成的锐二面角的余弦值.

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

? , 求平面 A1 B1 BA 与平面 C1 B1 BC 所 3

·4·

19. (本小题满分 12 分)汽车 4 S 店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式,包括整车销售、 零 配件销售、售后服务、信息反馈等.某品牌汽车 4 S 店为了了解 A , B , C 三种类型汽车质量问 题, 对售出的三种类型汽车各取 100 辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示 1. (1)某公司一次性从 4 S 店购买该品牌 A , B , C 型汽车各一辆,记 ? 表示这三辆车的一年内需要 维修 的车辆数,求 ? 的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).

(2)该品牌汽车 4 S 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按使事先拟定的各种 价格 进行试销相等时间,得到数据如表 2.

? ? bx ? a ?b ? ?0.2, a ? y ? bx ? 的关系,且该产品 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从 y
的成本是 500 元/件,为使 4S 店获得最大利润(利润=销售收入-成本),该产品 的单价应定位多少 元? 表1 车型 频数 表2 单价 x (元) 销量 y (件) 800 90 820 84 840 83 850 80 880 75 900 68

A
20

B
20

C
40

·5·

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,设 A , B , C 分别为 a 2 b2 4 7 椭 圆的左顶点、上顶点、下顶点、且点 C 到直线 AB 的距离为 b. 7 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ? x1 ? x2 ? 为椭圆上的两点,且满足 ???? ? ???? a 2 x1 x2 ? b 2 y 1 y2 OM ? ON ? ,求证: ?MON 的面积为定值,并求出这个定值. a 2 ? b2
20. (本小题满分 12 分)已知点(2,3)在椭圆

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 2ln x (a∈R). (1)若 a>0,求函数 g ( x) ?
3

1 2 x ? f ( x) 的极值点; 2

(2)若 f ( x) ? x >0 对任意的 x∈(1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.
·6·

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,已知点 M 的直角坐标为 ?1,0 ? , 若直线 l 的极坐标方程为 2 ? cos ? ? ? (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点,求

? ?

??

x ? 4t 2 C . 曲线 的参数方程是 ( t 为参数). { ? 1 ? 0 ? 4? y ? 4t

1 1 ? . MA MB

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . (1)解不等式 f ? x ? ? 3 ;
·7·

2 (2)记函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 的值域为 M ,若 t ? M ,证明: t ? 1 ?

3 ? 3t . t

模拟 (一) 1.D 12.A

2.D 13.60

3.A

4.B

5.C

6.A

7.A

8.D

9.B

10.B

11.B

14. 3a ? 4b ? 5

15. 3 ? 2 2

16. 10

17. 【解析】 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q .由已知 b2 ? b 3 ? 12 ,得

b1 q ? q 2 ? 12 ,而 b1 ? 2 ,所有 q2 ? q ? 6 ? 0 .又因为 q ? 0 ,解得 q ? 2 .所以, bn ? 2n .
由 b3 ? a4 ? 2a1 ,可得 3d ? a1 ? 8 ①. 由 S11 ? 11b4 ,可得 a1 +5d ? 16 ②.

?

?

联立①②,解得 a1 ? 1 , d ? 3 ,由此可见 an ? 3n ? 2 .所以,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 , 数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n .

·8·

18.【解析】 (1)证明:连接 AC1 , BC1 ,梯形 A 1C1CA ,

???? ???? ? AC ? 2 A1C1 ,易知: AC1 ? AC ? D, AD ? 2DC1 ,又 1
??? ? ??? ? AE ? 2 EB ,则 DE ∥ BC1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1 ,

DE ? 平面 BCC1 B1 ,可得: DE ∥平面 BCC1 B1 ; ?BAC 为 二 面 角 (2)侧 面 A 1C1CA 是 梯 形 , A 1 A ? AC 1 1 , ? AA 1 A ? AB , 则 1 ? AC , A

? ? ?ABC, ?A1 B1C1 均为正三角形,在平面 ABC 内, 3 过 点 A 作 AC 的 垂 线 , 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 不 妨 设 AA1 ? 1 , 则
C1 ? AA1 ? B 的平面角, ?BAC ?
A C? A C ? 4 ,故点 A1 (0, 0,1) , C (0,4,0), A1B 1? AC 1 ? 1 2, ?? B(2 3,2,0), B1 ( 3,1,1) ??9 分;设平面 A1 B1 BA 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则有: ?? ??? ? ?? ? ? m ? AB ?0 3x1 ? y1 ? 0 ? ? ?? ? m ? (1, ? 3, 0) ? ? ?? ???? ? ?m ? AB1 ? 0 ? ? 3x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 设平面 C1 B1 BC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则有: ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3x2 ? y2 ? 0 m?n 1 ? m ? CB ? 0 ? ? ?? , ?? ? n ? (1, 3, 2 3) cos ? m, n ?? ????? 故平面 ? ?? ???? 4 mn ?m ? CB1 ? 0 ? ? 3x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0 ?

1 A1 B1 BA与平面 C1 B1 BC 所成的锐二面角的余弦值为 . 4 1 1 19. 【解析】(1)根据表格, A 型车维修的概率为 , B 型车维修的概率为 , C 型车维修的概率为 5 5
·9·

2 . 5
由题意, ? 的可能值为 0,1,2,3, 所以 p ?? ? 0 ? ?

4 4 3 48 1 4 3 4 4 2 56 ? ? ? ; p ?? ? 1? ? ? ? + ? ? ? 5 5 5 125 5 5 5 5 5 5 125 1 1 3 1 4 2 4 1 2 19 1 1 2 2 p ?? ? 2 ? ? ? ? + ? ? + ? ? ? ; p ?? ? 3? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 5 5 5 125

所以ξ 的分布列为

?

0

1

2

3

p
所以 E ?? ? ? 0 ?

48 125

56 125

19 125

2 125

48 56 19 2 4 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5

? ? ?0.2 x ? 250 , (2) 设获得的利润为 w 元,根据计算可得, x ? 850 , y ? 80 , 代入回归方程得 y
所 以 w ? ? ?0.2x ? 250?? x ? 500? ? ?0.2x ? 350x ?125000 ,此函数图象为开口向下,以
2

x??
获得

350 ? 875 为对称轴的抛物线,所以当 x ? 875 时, W ? x ? 取的最大值,即为使 4 S 店 ?2 ? 0.2
x y ? ? 1 ,点 C ? 0, ?b ? , ?a b

最大利润,该产品的单价应定为 875 元.

20. 【解析】 (1)由题意,得直线 AB 的方程为

? 点 C 到直线 AB 的距离 d ?
又点 ? 2,3? 在椭圆上, ?

2ab a ?b
2 2

?

4 b ,整理,得 3a ? 2b ? 0 .① 7

4 9 ? 2 ? 1 .② 2 a b

x2 y 2 ? ?1. 联立①②解得 a ? 4 , b ? 2 3 ,? 椭圆 E 的方程为 16 12
(2)设直线 MN 的方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,并整理得

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ?4m2 ? 48 ? 0 .

? ? ? 64k 2 m 2 ? 16 3 ? 4k 2

?

? ?m

2

? 12 ? 48 12 ? 16k 2 ? m 2 ? 0 , ?12 ? 16k 2 ? m2 ? 0 ,

?

?

?

·10·

4 m2 ? 12 8km ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

?

? y1 y2 ? ? kx1 ? m? ? kx2 ? m? ? k 2 ? x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 ?

3m2 ? 48k 2 . 3 ? 4k 2

???? ? ???? a 2 x1 x2 ? b 2 y1 y2 16 x1 x2 ? 12 y1 y2 ? 又 OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ,则由题意,得 x1 x2 ? y1 y2 ? . 16 ? 12 a 2 ? b2
整理,得 3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,则 3 ? (满足 ? ? 0 ).

4 m2 ? 12 3 ? 4k 2

?

? ? 4 ? 3m

? 48k 2 ? 0 ,整理,得 m2 ? 6 ? 8k 2 2 3 ? 4k
2

? MN ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k ?
2

48 12 ? 16k 2 ? m 2

?

? 3 ? 4k ?
2

?

2

? 1? k 2 ?

48 2m2 ? m2 ? m2 ? ? ? ? 2 ?
2

?

?

?8 3?

m 1? k 2 .又点 O 到直线 MN 的距离 d ? . m 1? k 2

? S? MON ?

m 1 1? k 2 1 ? ? MN ? d ? ? 8 3 ? ? 4 3 ,为定值. 2 m 2 1? k 2
2 x 2 ? ax ? 2 1 2 x ? ax ? 2 ln x 的定义域为(0, +∞),g ?( x) ? x ? a ? ? . 2 x x

21. 【解析】 (1) 函数 g ( x) ?

2 2 2 令 g ?( x ) =0,则 x ? ax ? 2 ? 0 ,Δ = (?a) ? 4 ?1? 2 ? a ? 8 ,

当Δ ?0,即 0<a?2 2 时, g ?( x ) ?0 恒成立,此时函数 g ( x) 在(0,+∞)上单调递增,无极值点.
2 当Δ >0,即 a>2 2 时,方程 x ? ax ? 2 ? 0 有两根, x1 =

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 = 2 2 ,

显然 0< x1 < x 2 , 当 x∈(0, x1 )时, g ?( x ) >0,函数 g ( x) 单调递增; 当 x∈( x1 , x 2 )时, g ?( x ) <0,函数 g ( x) 单调递减;
·11·

当 x∈( x 2 ,+∞)时, g ?( x ) >0,函数 g ( x) 单调递增.

所以函数 g ( x) 的极大值点为 x1 =

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ,极小值点为 x 2 = . 2 2

综上,当 0<a?2 2 时,函数 g ( x) 无极值点;

a ? a2 ? 8 当 a>2 2 时,函数 g ( x) 的极大值点为 x1 = , 2
极小值点为 x 2 =
3

a ? a2 ? 8 . 2
3

(2) f ( x) ? x >0,即 ax >?x +2lnx, 所以 a>?x +
2

2 ln x 对任意的 x∈(1,+∞)恒成立, x

记 p ( x) =?x +

2

2 ? 2ln x ?2 x3 ? 2 ? 2ln x 2 ln x ? ,则 p?( x ) =? 2x+ . x x2 x2
2 <0, x

2 3 设 q( x) = ?2 x ? 2 ? 2ln x ,则当 x>1 时, q?( x) ? ?6 x ?

所以函数 q( x) 在(1,+∞)上单调递减,
3 所以当 x>1 时, q( x) < q (1) =? 2× 1 +2? 2ln1=0,故 p?( x ) <0 在 x∈(1,+∞)上恒成立,

2 ln x 在(1,+∞)上单调递减, x 2 2 ln1 所以当 x>1 时, p ( x) < p(1) =?1 + =? 1,所以 a?? 1. 1 所以实数 a 的取值范围是[? 1,+∞).
所以函数 p ( x) =?x +
2

22.【解析】 (1)因为 2 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 1 ? 0 ,所以 ? cos? ? ? sin? ? 1 ? 0 ,由 4?

x ? 4t 2 x ? ? cos? , y ? ?sin? ,得 x ? y ? 1 ? 0 ,因为 { ,消去 t 得 y 2 ? 4 x , y ? 4t
所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 和 y ? 4 x .
2

·12·

2 t 2 (2) 点 M 的直角坐标为 ?1,0 ? , 点 M 在直线 l 上, 设直线 l 的参数方程: { ( t 为参数) , 2 y? t 2 A, B 对应的参数为 t1 , t2 . t 2 ? 4 2t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 4 2 , t1t2 ? ?8 , x ? 1?

t ?t 1 1 ? ? 1 2 ? MA MB t1t2
23.【解析】

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2

t1t2

?

32 ? 32 ?1. 8

24.(2) g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 ,当且仅当

? 2x ?1?? 2x ? 2? ? 0 时,取等号,∴ M ? ?3, ??? .原不等式等价于
2 3 t 2 ? 3t 2 ? t ? 3 ? t ? 3? t ? 1 . t ? 3t ? 1 ? ? ? t t t 2

?

?

2 ∵ t ? M ,∴ t ? 3 ? 0 , t ? 1 ? 0 .∴

? t ? 3? ?t 2 ? 1?
t

3 ? 0 .∴ t 2 ? 1 ? ? 3t . t

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·13·


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