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陕西省西安市2012-2013学年高一数学上学期期末考试试题北师大版


西安高级中学 2012-2013 学年第一学期期末考试高一数学试题
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.设正方体的表面积为 24,那么其内切球的体积是 A. ( D. )

4? 3

B. 6?

C.

8? 3

32? 3
' ' ' '

2.已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中 B O = C O = 1 ,
' ' AO =

3 ,那么△ABC 是一个 ( 2

).

A.等边三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.三边互不相等的三角形

3.已知直线 m、n 与平面 α 、β 给出下列三个结论:①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n;②若 m ∥α ,n⊥α ,则 n⊥m;③若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

4.空间直角坐标系中,点 A(- 3, 4,0) 与点 B( x, - 1,6) 的距离为 86,则 x 等于( ) A.2
2

B.-8
2

C.2 或-8

D.8 或 2

5 . 过 圆 x + y = 4 上 的 一 点 (1 , 3 ) 的 圆 的 切 线 方 程 是 ( ) B. 3x-y=0 D.x- 3y-4=0 ).

A.x+ 3y-4=0 C.x+ 3y=0

6.三视图如图所示的几何体的全面积是( A.2+ 2 C.2+ 3 B.1+ 2 D.1+ 3

7.如图,在正四棱柱 ABCD ?A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点, 则以下结论中不成立的是 A.EF 与 BB1 垂直 C.EF 与 CD 异面 ( )

B.EF 与 BD 垂直 D.EF 与 A1C1 异面

8.已知两点 A(-1,3),B(3,1),当 C 在坐标轴上,若∠ACB=90°,则这样的点 C 的个数 为 A.1 B.2 C.3 D.4 ) ( )

9.若直线 l1 : y = k ( x - 4) 与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( A. (0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)

1

10.如果直线 ax+by=4 与圆 C:x +y =4 有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆 C 的位置关 系是 ( ) A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1,若两直线平行,则 m 的值为________. 12.如图所示,已知 AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面 有_________. 13.已知圆 C 的圆心在直线 l : x - 2 y - 1 = 0 上,并经过 A (2, 1)、 B(1, 2)两点,则圆 C 的标准方程.________. 14.过点 P(1, 2)的直线 l 将圆 C:(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最 小时,直线 l 的斜率 k 为________. 15.一个三棱锥 S ?ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别为 1, 6,3, 已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为_____. 三、解答题(本题共 4 小题,共 40 分) 16. (本小题满分 10 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 所在 的直线方程为 2 x - y - 2 = 0 ,点 C (2,0). (1)求直线 CD 的方程; (2)求 AB 边上的高 CE 所在的直线方程. P 17. (本小题满分 10 分)如图所示的四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点,求证: (1) PA // 平面 BDE ; (2)平面 PAC ⊥平面 PBD . A E D B C
2 2

2

2

18. (本小题满分 10 分)如图,三棱锥 V—ABC 中, VA=VB =AC=BC= 2 ,AB= 2 3 ,VC=1. (1)证明: AB⊥VC; (2)求三棱锥 V—ABC 的体积. A



C B

19. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆

C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分

2

别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标. 西安高级中学 2012—2013 学年度第一学期末考试 高一数学试题参考答案 一、选择题: 1、A 2. A 3. C 二、填空题: 11、 ? 4. C 5. A 6. A 7. D 8. C 9. B 10. A

2 3

12、平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC⊥平面 ACD.

13、

( x + 1)2 + ( y + 1)2 = 13

14、

2 2

15、 16p

三、解答题: 16、解:(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AB // CD . ∴ kCD = k AB = 2 .

∴直线 CD 的方程为 y = 2( x - 2) ,即 2 x - y - 4 = 0 . (2)∵ CE ^ AB , ∴ kCD = -

1 1 =- . k AB 2

P E D C O B

1 ∴直线 CE 的方程为 y=- (x-2),即 x+2y-2=0. 2 A 17、证明: (1)连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OE. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AO=CO. ∵E 为 PC 的中点,∴EO∥PA。 ∵PA ? 平面 BDE,EO ? 平面 BDE, ∴PA∥平面 BDE. (2)∵PA⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,∴PA⊥BD, ∵四边形 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC. ∵ AC ? PA ? A ,∴BD⊥平面 PAC, ∵BD ? 平面 PBD,∴平面 PAC⊥平面 PBD. 18、 (Ⅰ)证明:取 AB 的中点为 D,连接 VD,CD. ∵VA=VB,∴AB⊥VD;同理 AB⊥CD. 于是 AB⊥平面 VDC.又 VC ? 平面 VDC,故 AB⊥VC.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AB⊥平面 VDC.由题设可知 VD=CD =1,又 VC=1,

1 1 3 1 故三棱锥 V—ABC 的体积等于 ? ( ? 1 ? 1 ? )?2 3 ? . 3 2 2 2
19 、

3

(2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的方 1 程为 y-b=- (x-a).因为圆 C1 和 C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2

k

被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相 等,

? 5 ? 3 a= , ?a= , ? 1? ? 2 ? 2 ?5 ? 3 13? 或? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?或点 P2?- , ?.经检验点 P1 和 P2 满足 ? 2 2 ? ? ? 2 2? ?b= 1 . ?b= 13 . ? ? ? 2 ? 2
题目条件.

4

5


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