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第5章 瞬态响应和稳态响应分析


硕士研究生基础学位课

现代控制工程
主讲教师: 王新华 主讲教师

北京工业大学机电学院

第5章 瞬态响应和稳态响应分析
在分析和设计控制系统时需要对各控制系统的性能进行比较 规定一些特殊的试验信号, 规定一些特殊的试验信号,比较各种系统对这些输入的响应 典型试验信号的响应特性与实际信号的响应特性具有关联性

内容摘要
基本概念 一阶系统 二阶系统 高阶系统 劳斯稳定判据 积分和微分控制作用对系统性能的影响 单位反馈控制系统中的稳态误差

5.1 基本概念
1、典型试验信号 、
阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数、 阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数、正弦函数等 简单的时间函数, 简单的时间函数,容易对控制系统进行数学和实验分析 随时间渐变的函数:斜坡函数;突然的扰动量:阶跃函数;冲击输入信号: 随时间渐变的函数:斜坡函数;突然的扰动量:阶跃函数;冲击输入信号: 脉冲函数 利用试验信号,能在同一基础上比较所有系统的性能 利用试验信号,

2、瞬态响应和稳态响应 、
控制系统的响应由两部分组成: 控制系统的响应由两部分组成:瞬态响应和稳态响应 瞬态响应: 瞬态响应:从初始状态到最终状态的响应过程 稳态响应: 稳态响应:时间趋于无穷大时系统的输出状态

C (t ) = Ctr (t ) + Css (t )

5.1 基本概念
3、绝对稳定、相对稳定、稳态误差 、绝对稳定、相对稳定、
绝对稳定:系统是稳定的还不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动, 绝对稳定:系统是稳定的还不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动,或 没有输入信号作用,系统的输出保持在某一状态,则系统处于平衡状态。 没有输入信号作用,系统的输出保持在某一状态,则系统处于平衡状态。 如果线性定常系统受到初始条件作用后,其输出量最终能够返回到平衡状态, 如果线性定常系统受到初始条件作用后,其输出量最终能够返回到平衡状态, 系统是稳定的;而输出量无限地偏离其平衡位置,则系统是不稳定的; 系统是稳定的;而输出量无限地偏离其平衡位置,则系统是不稳定的;若输 是不稳定的 出量在平衡位置呈现持续不断的振荡过程,系统处于临界稳定状态。 出量在平衡位置呈现持续不断的振荡过程,系统处于临界稳定状态。 临界稳定状态 相对稳定和稳态误差:一般物理系统包含储能元件,当输入量作用于系统时, 相对稳定和稳态误差:一般物理系统包含储能元件,当输入量作用于系统时, 系统的输出量不能立刻跟踪输入量的变化, 系统的输出量不能立刻跟踪输入量的变化,而是在系统达到稳态前表现为瞬 态响应过程,通常表现为阻尼振荡过程。 态响应过程,通常表现为阻尼振荡过程。 在稳态时,如果系统的输出量与输入量不能完全吻合,则具有稳态误差。 在稳态时,如果系统的输出量与输入量不能完全吻合,则具有稳态误差。它表 示了系统的精确程度。 示了系统的精确程度。 分析控制系统时,需要研究系统的瞬态响应特性,还要研究其稳态特性。 分析控制系统时,需要研究系统的瞬态响应特性,还要研究其稳态特性。

5.2 一阶系统
图示为一阶系统:可表示 电路 也表示热系统等。 电路、 图示为一阶系统:可表示RC电路、也表示热系统等。

简化

系统的输入—输出关系为: 系统的输入 输出关系为: 输出关系为

C ( s) 1 = R ( s ) Ts + 1
下面分析该系统对单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位脉冲函数的响应。同时, 下面分析该系统对单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位脉冲函数的响应。同时, 分析过程中,假设初始条件为零。 分析过程中,假设初始条件为零。 注意:具有相同传递函数的所有控制系统,对同一输入信号的响应是相同的。 注意:具有相同传递函数的所有控制系统,对同一输入信号的响应是相同的。 对于任何给定的物理系统,响应的数学表达式具有特定的物理意义。 对于任何给定的物理系统,响应的数学表达式具有特定的物理意义。

5.2 一阶系统
1、一阶系统的单位阶跃响应 、
单位阶跃响应的函数的拉氏变换为: 单位阶跃响应的函数的拉氏变换为:R ( s ) =

1 ,因此,有 1 1 因此, C ( s) = s Ts + 1 s 1 T 1 1 展成部分分式 C ( s ) = ? = ? s Ts + 1 s s + 1/ T
拉氏反变换

c(t ) = 1 ? e? t / T

表明:输出的初始响应为零,稳态响应为 。 表明:输出的初始响应为零,稳态响应为1。 当t=T(一个响应周期)时 (一个响应周期)

c(t ) = 1 ? e ?t / T = 1 ? e ?1 = 0.632
即,响应达到了总变化的63.2%。时间常数越小,响应越快。响应速度用斜率 响应达到了总变化的 。时间常数越小,响应越快。 表示,斜率越大,响应越快。 表示,斜率越大,响应越快。

dc dt

=
t=0

1 ?t /T e T

=
t=0

1 T

dc dt

=
t=∞

1 ?t /T e T

=0
t=∞

5.2 一阶系统
在t=0时,斜率为 ,t=∞时,降为零。响应曲线的斜率单调下降。 时 斜率为1/T, 时 降为零。响应曲线的斜率单调下降。 可以看出,经过 ,指数响应曲线从0上升到 可以看出,经过1T,指数响应曲线从 上升到 稳态值的63.2%;经过2T,上升到 ;经过 ,上升到86.5%。当 稳态值的 。 t=3T,4T,5T,响应曲线分别上升到稳态时的 , , , 95%, 98.2%, 99.3%。 95%, 98.2%, 99.3%。 因此, 因此,当t≥4T时,响应曲线将保持稳态值的 时 2%以内。 以内。 以内 虽然只有当t趋于无穷大时,响应才达到稳态。 虽然只有当 趋于无穷大时,响应才达到稳态。 趋于无穷大时 实际计算时,一般以响应曲线达到稳态值的 实际计算时,一般以响应曲线达到稳态值的2% 所需时间, 倍的时间常数T作为适当的响应 所需时间,或4倍的时间常数 作为适当的响应 倍的时间常数 时间估计值。 时间估计值。

dc dt dc dt

t=0

1 ?t /T = e T 1 ?t /T = e T

t=0

1 = T =0

t=∞

t=∞

5.2 一阶系统
2、一阶系统的单位斜坡响应 、
单位斜坡响应的函数的拉氏变换为: 单位斜坡响应的函数的拉氏变换为: ( s ) = R 展成部分分式 拉氏反变换

1 ,因此,有 1 1 因此, C ( s ) = s2 Ts + 1 s 2

1 T T2 C (s) = 2 ? + s s Ts + 1

c(t ) = t ? T + Te ?t / T
= r (t ) ? c(t )
= T (1 ? e ? t / T )

误差信号函数: 误差信号函数: e(t )

表明: 表明:当t= ∞ 时,

因而, e? t / T = 0,因而,误差

信号趋近于0, 信号趋近于 ,即 e(∞) = T 充分大时, 当t充分大时,系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于 。显然,时间常数 越 充分大时 系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于T。显然,时间常数T越 小,系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差越小。 系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差越小。

5.2 一阶系统
3、一阶系统的单位脉冲响应 、
单位脉冲响应的函数的拉氏变换为: 单位脉冲响应的函数的拉氏变换为:

R( s) = 1
因此,有 因此,

C ( s) =
其拉氏反变换

1 Ts + 1

1 ?t / T c(t ) = e T

),响应速度很大 当t=0时,系统有一个峰值很高的输出响应(脉冲),响应速度很大;然后输 时 系统有一个峰值很高的输出响应(脉冲),响应速度很大; 出响应迅速减小,响应速度也呈快速下降趋势; 出响应迅速减小,响应速度也呈快速下降趋势;当t= ∞ 时,系统输出响应趋近于 稳态值0。 稳态值 。

5.2 一阶系统
4、线性定常系统的重要性 、
系统输入函数 单位斜坡响应函数 单位阶跃响应函数 单位脉冲响应函数 系统输出响应

F (t ) = t 1(t ) = 1

c(t ) = t ? T + Te ?t / T

c(t ) = 1 ? e? t / T
1 ?t / T c(t ) = e T

δ (t )

系统对输入信号的响应可通过把系统对原信号响应微分得到。 系统对输入信号的响应可通过把系统对原信号响应微分得到。 系统对原信号积分的响应等于系统对原信号响应的积分。 系统对原信号积分的响应等于系统对原信号响应的积分。 积分常数由零初始条件确定。 积分常数由零初始条件确定。 这是线性系统的一个特性,线性时变系统和非线性系统不具备此特性。 这是线性系统的一个特性,线性时变系统和非线性系统不具备此特性。

5.3 二阶系统
1、建立一个二阶系统(伺服系统) 、建立一个二阶系统(伺服系统)
图示为一伺服系统: 图示为一伺服系统:由比例控制器和负载 伺服系统 元件(惯性和粘性摩擦元件)组成。 元件(惯性和粘性摩擦元件)组成。 假设要求控制输出位置c与输入位置 假设要求控制输出位置 与输入位置r 与输入位置 相协调,试建立系统的数学模型。 相协调,试建立系统的数学模型。 负载元件的方程

&& && Jc + Bc = T

零初始条件下, 零初始条件下,拉氏变换

Js 2C ( s ) + BsC ( s ) = T ( s )
负载元件的输入与输出传递函数为 整个闭环系统的传递函数为: 整个闭环系统的传递函数为:

C ( s) 1 = T ( s ) s ( Js + B )

C (s) K K/J = 2 = 2 R ( s ) Js + Bs + K s + ( B / J ) s + ( K / J )

传递函数中包含两个极点,称为二阶系统。 传递函数中包含两个极点,称为二阶系统。 二阶系统

5.3 二阶系统
2、二阶系统的阶跃响应 、
由上述系统的闭环传递函数

C ( s) K K/J = 2 = 2 R( s ) Js + Bs + K s + ( B / J ) s + ( K / J )

可得

C ( s) K/J = 2 2 R( s) ? B B ? K ?? B B ? K? ? ? ?s + + ? ? ? ? ? ? ?s + ? ? ? J ? ? 2J J ? ? 2J ? 2J ? ? 2J ? ? ?? ?

闭环极点为共轭复数, 闭环极点为实数。 若 B 2 ? 4 JK < 0 ,闭环极点为共轭复数,若 B 2 ? 4 JK ≥ 0 ,闭环极点为实数。

K 引入参数: 引入参数: = ωn 2 J

B = 2ζωn = 2σ J

B B ζ = = Bc 2 JK

Bc = 2 JK

因此,将二阶系统写成标准形式: 因此,将二阶系统写成标准形式:
2 ωn C ( s) = 2 2 R( s ) s + 2ζωn s + ωn

5.3 二阶系统
将标准闭环传递函数的特征方程进行因式分解, 将标准闭环传递函数的特征方程进行因式分解,得

ωn2 C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 ? 1 s + ζωn ? ωn ζ 2 ? 1

ωn2 C (s) = 2 2 R ( s ) s + 2ζωn s + ωn

(

)(

)

闭环极点为共轭复数,且位于左半平面内,为欠阻尼系统, 若 0 < ζ < 1 ,闭环极点为共轭复数,且位于左半平面内,为欠阻尼系统,其瞬 态响应是振荡的。 态响应是振荡的。 系统为临界阻尼系统。 若 ζ = 1 ,系统为临界阻尼系统。 系统为过阻尼系统。 若 ζ > 1 ,系统为过阻尼系统。 瞬态响应为等幅振荡 等幅振荡。 若 ζ = 0 ,瞬态响应为等幅振荡。 求图示系统单位阶跃输入信号的响应: 求图示系统单位阶跃输入信号的响应: 分三种情况分析: 欠阻尼) 分三种情况分析: 0 < ζ < 1 (欠阻尼) 两种阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 两种阻尼系统的瞬态响应都不振荡。

ζ =1 ζ >1

(临界阻尼) 临界阻尼) (过阻尼) 过阻尼)

5.3 二阶系统
(1)欠阻尼情况( 0 < ζ < 1 ) )欠阻尼情况(
2 ωn C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 ? 1 s + ζωn ? ωn ζ 2 ? 1

2 ωn C (s) = R( s ) ( s + ζωn + jωd )( s + ζωn ? jωd )

(

)(

)

ω d = ωn 1 ? ζ 2

对单位阶跃输入信号的响应: 对单位阶跃输入信号的响应: 写成部分分式形式: 写成部分分式形式:

2 ωn C ( s) = 2 2 ( s + 2ζωn s + ωn ) s

ωn2 s + ζωn ζωn 1 1 C (s) = ? 2 = ? ? 2 2 2 2 s s + 2ζωn s + ωn s ( s + ζωn ) + ωd ( s + ζωn ) 2 + ωd
由拉氏变换表,可知: 由拉氏变换表,可知:

? ? ?ζωnt s + ζωn L ? =e cos ωd t 2 2? ? ( s + ζωn ) + ωd ?
?1

? ? ?ζωnt ωd L ? =e sin ωd t 2 2? ? ( s + ζωn ) + ωd ?
?1

5.3 二阶系统
因此,已知系统响应的函数的拉氏变换为: 因此,已知系统响应的函数的拉氏变换为:

L

?1

[C ( s ) ] =

L

?1

?1 ? s + ζωn ζωn ? ? ? ? 2 2 s (s + ζω n ) + ω d ( s + ζ ω n ) 2 + ω d2 ? ?
s + ζωn ζωn 1 C(s) = ? ? 2 2 2 s (s + ζωn ) + ωd (s + ζωn )2 + ωd ? ? ?ζωnt s + ζωn L?1 ? cos ωd t ?=e 2 (s + ζωn )2 + ωd ? ? ? ? ?ζωnt ωd L?1 ? =e sin ωd t 2? ( s + ζωn )2 + ωd ? ?

? ? ζ ? cos ωd t + = c(t ) = 1 ? e sin ωd t ? 2 ? ? 1? ζ ? ? 2 ? ? e ?ζωnt ?1 1 ? ζ = 1? sin ? ωd t + tan ? 2 ? ? ζ 1? ζ ? ?
?ζωn t

可以看出:系统瞬态响应的振荡频率为阻尼自然频率ω 并随阻尼比ξ而变化。 可以看出:系统瞬态响应的振荡频率为阻尼自然频率ωd,并随阻尼比ξ而变化。 系统的误差信号: 系统的误差信号: e (t ) = r (t ) ? c (t )

e(t ) = e

?ζωn t

2 ? ? ? ζ e ?ζωnt ?1 1 ? ζ ? cos ωd t + sin ωd t ? = sin ? ωd t + tan 2 2 ? ? ? ζ 1? ζ 1? ζ ? ? ?

? ? ? ?

表明,误差信号为阻尼正弦振荡;稳态时,输入与输出的误差为零。 表明,误差信号为阻尼正弦振荡;稳态时,输入与输出的误差为零。

5.3 二阶系统
若阻尼比ξ=0, 若阻尼比ξ=0,则由

c (t ) = 1 ? e

? ζω n t

? ζ ? cos ω d t + ? 1?ζ ?

2

? sin ω d t ? ? ?

得,系统的瞬态响应为

c(t ) = 1 ? cos ωnt

可见,无阻尼时的系统响应为无阻尼的等幅振荡,且振荡过程将永远进行下去。 可见,无阻尼时的系统响应为无阻尼的等幅振荡,且振荡过程将永远进行下去。 因此, 代表系统的无阻尼自然频率。即若阻尼减小到零时,系统以ω 振荡。 因此, ωn代表系统的无阻尼自然频率。即若阻尼减小到零时,系统以 n振荡。 如果系统具有一定的阻尼,就不可能通过实验观察到无阻尼自然频率。 如果系统具有一定的阻尼,就不可能通过实验观察到无阻尼自然频率。 阻尼 在阻尼系统中观察到的频率只能是阻尼自然频率ω 在阻尼系统中观察到的频率只能是阻尼自然频率 d, ωd = ωn 1 ? ζ 2 阻尼自然频率ω 总是低于无阻尼自然频率ω 且随着阻尼比ξ的增大而减小 的增大而减小。 阻尼自然频率 d总是低于无阻尼自然频率 n,且随着阻尼比 的增大而减小。 增大到大于1,系统的响应将变为过阻尼的,不再产生振动。 当ξ增大到大于 ,系统的响应将变为过阻尼的,不再产生振动。 增大到大于

5.3 二阶系统
(2)欠阻尼情况(ζ = 1 ) )欠阻尼情况( 的两个极点相等, 若C(s)/R(s)的两个极点相等,则系统可近似人为临界阻尼系统。 的两个极点相等 则系统可近似人为临界阻尼系统。 的响应: 对单位阶跃输入信号 R ( s ) = 1/ s 的响应:
2 ωn C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 ? 1 s + ζωn ? ωn ζ 2 ? 1

C (s) =
拉氏反变换为 利用方程

ω ( s + ωn ) 2 s
2 n

(

)(

)

方法一

c(t ) = 1 ? e?ωnt (1 + ωnt )
? ζω n t

c (t ) = 1 ? e

? ? ζ ? cos ω d t + sin ω d t ? 2 ? ? 1?ζ ? ?
= lim
ζ →1



ζ → 1 ,且有

lim ζ
→1

sin ω d t 1?ζ
2

sin ω n 1 ? ζ 2 t 1?ζ
2

ωnt

方法二

同样可以求得

c(t ) = 1 ? e?ωnt (1 + ωnt )

5.3 二阶系统
(3)过阻尼情况(ζ > 1 ) )过阻尼情况( 此时,C(s)/R(s)的两个极点是两个不相等的负实数。 此时, 的两个极点是两个不相等的负实数。 的两个极点是两个不相等的负实数 的响应: 对单位阶跃输入信号 R ( s ) = 1/ s 的响应:
2 ωn C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 ? 1 s + ζωn ? ωn ζ 2 ? 1

C ( s) =

(

s + ζωn + ωn ζ 2 ? 1 s + ζωn ? ωn ζ 2 ? 1 s
1

)(

ω

2 n

(

)(

)

)

拉氏反变换为

c(t ) = 1+

2 ζ 2 ?1 ζ + ζ 2 ? 1



s1 = ζ + ζ 2 ?1 ω n

(

(

)

)

( e

? ζ + ζ 2 ?1 ωnt

)

?

2 ζ 2 ?1 ζ ? ζ 2 ?1

s 2 = ζ ? ζ 2 ?1 ω n
表明, 表明,系统的响应包含两个衰减 的指数项。 的指数项。

(

(

1

)

)

e

? ζ ? ζ 2 ?1 ωnt

(

)

则有

? e ? s1t e ? s2t ? c(t ) = 1 + ? ? ? 2 s2 ? 2 ζ ? 1 ? s1

ωn

5.3 二阶系统
当ξ远大于1时,在两个衰减的指数项中,一个比另一 远大于1 在两个衰减的指数项中, 个衰减得快得多。帅减的比较快得多指数项, 个衰减得快得多。帅减的比较快得多指数项,具有较小的 时间常数,可以忽略掉。 时间常数,可以忽略掉。 因此,如果 轴的距离比-S 轴的距离近得多, 因此,如果-S2与jω轴的距离比 1与jω轴的距离近得多,近似求解时,可忽略 1的项。 轴的距离比 轴的距离近得多 近似求解时,可忽略-S 的项。 上述方程中, 的项比包含S 的项衰减的快的多, 对系统响应的影响比上述方程中,包含S1的项比包含 1的项衰减的快的多, -S1对系统响应的影响比

? e ? s1t e ? s2t ? c(t ) = 1 + ? ? ? 2 s2 ? 2 ζ ? 1 ? s1

ωn

S2对系统响应的影响小的多,可忽略 1的项。 对系统响应的影响小的多,可忽略-S 的项。 一旦快速衰减的指数项消失,系统的响应就相当于一阶系统的响应。 一旦快速衰减的指数项消失,系统的响应就相当于一阶系统的响应。 因此,上述系统的 因此,上述系统的C(s)/R(s)的可近似表示为 的可近似表示为

ζωn ? ωn ζ 2 ? 1 s2 C (s) = = 2 R ( s ) s + ζωn ? ωn ζ ? 1 s + s2
其单位阶跃响应为

c(t ) = 1 ? e

? (ζ ? ζ 2 ?1)ωn t

即,得到C(s)/R(s)的一个极点忽略时 得到 的一个极点忽略时 的近似单位阶跃响应。 的近似单位阶跃响应。

5.3 二阶系统
根据二阶系统的单位阶跃响应方程, 根据二阶系统的单位阶跃响应方程, 可作出系统的单位阶跃响应曲线。 可作出系统的单位阶跃响应曲线。 如果两个二阶系统中具有相同的ξ 如果两个二阶系统中具有相同的ξ 值,但具有不同的ωn值,则两个系统 但具有不同的 呈现出相同的过调量和相同的振荡模 式,因此具有相同的相对稳定性。 因此具有相同的相对稳定性。 当欠阻尼系统的ξ=0.5~0.8之间时, ~ 之间时 之间时, 当欠阻尼系统的 其响应曲线比临界阻尼和过阻尼系统 的更快到达稳定值。 的更快到达稳定值。 在响应无振荡系统中, 在响应无振荡系统中,临界阻尼系 统具有最快的响应特性, 统具有最快的响应特性,过阻尼系统 对任何输入信号总是最慢的。 对任何输入信号总是最慢的。

? ? ζ ? cos ωd t + c(t ) = 1 ? e sin ωd t ? 2 ? ? 1? ζ ? ? c (t ) = 1 ? e ? ω t (1 + ω n t ) ωn ? e? s1t e ? s2t ? c(t ) = 1 + ? ? ? 2 s1 s2 ? 2 ζ ?1 ?
?ζωn t
n

5.3 二阶系统
3、瞬态响应指标 、
对于实际控制系统,常常需要用时域中的性能指标来表述控制系统的性能。 对于实际控制系统,常常需要用时域中的性能指标来表述控制系统的性能。 时域中的性能指标来表述控制系统的性能 对于具有储能元件的系统, 对于具有储能元件的系统,系统对输入或干扰信号的响应不可能立即作出响 储能元件的系统 应,总会表现出一定的瞬态响应过程。 总会表现出一定的瞬态响应过程。 瞬态响应过程 控制系统的性能指标通常以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出。 控制系统的性能指标通常以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出。 位阶跃输入的瞬态响应形式给出 为便于比较各系统的瞬态响应,通常采用零初始条件, 为便于比较各系统的瞬态响应,通常采用零初始条件,即系统最初处于静止 零初始条件 状态, 状态,且输出量与输出量对时间的导数等于零 实际控制系统的瞬态响应在达到稳态前,通常表现为阻尼振荡过程。 实际控制系统的瞬态响应在达到稳态前,通常表现为阻尼振荡过程。 描述控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性的性能指标: 描述控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性的性能指标: 性能指标 延迟时间t 上升时间t 峰值时间t 最大过调量M 调整时间t 延迟时间 d、上升时间 r、峰值时间 p、最大过调量 p、调整时间 s。

5.3 二阶系统
延迟时间t ① 延迟时间 d:响应曲线上第一达到稳态 值的一半时所需要的时间。 值的一半时所需要的时间。 上升时间t ② 上升时间 d:响应曲线上从稳态值的 10%上到 上到90%,或从 上升到来 ,或从 上升到来5, 上到 ,或从5%上升到来 0%上升到 上升到100%所需时间。 所需时间。 上升到 所需时间 峰值时间t ③ 峰值时间 p :响应曲线达到过调量的第 一个峰值所需时间。 一个峰值所需时间。 最大(百分比)过调量M 开始计算的响应曲线的最大峰值。 ④ 最大(百分比)过调量 p :从1开始计算的响应曲线的最大峰值。若响应曲线的最终稳 开始计算的响应曲线的最大峰值 态值不等于零,则采用最大百分比过调量: 态值不等于零,则采用最大百分比过调量: 最大百分比过调量 最大百分比过调量

=

c(t p ) ? c(∞) c (∞ )

× 100%

在响应曲线的稳态线上,用稳态值的绝对百分数(通常取2%或 ) ⑤ 调整时间ts :在响应曲线的稳态线上,用稳态值的绝对百分数(通常取 或5%)作为 一个误差范围,响应曲线达到并永远保持在此允许范围内所需的时间。 一个误差范围,响应曲线达到并永远保持在此允许范围内所需的时间。

5.3 二阶系统
性能指标说明: 性能指标说明:

除了不允许产生振荡的系统外, 除了不允许产生振荡的系统外,通常 要求系统的瞬态响应既要具有一定的快 速性,又要具有足够的阻尼, 速性,又要具有足够的阻尼,防止过调 量过大。 量过大。 对于二阶系统, 对于二阶系统,为获得满意的瞬态响 应特性, 应特性,系统的阻尼比通常选择选择在 0.4~0.8之间。 ~ 之间 之间。 过小的阻尼比( 过小的阻尼比(ξ<0.4)会造成系统瞬 ) 态响应的严重过调; 态响应的严重过调;而过大的阻尼比 (ξ>0.8)则会使系统的响应变得非常缓 ) 慢。

5.3 二阶系统
4、二阶系统及其瞬态响应指标 、
已知二阶系统的闭环传递函数

ωn2 C (s) = 2 2 R ( s ) s + 2ζωn s + ωn
假设系统为欠阻尼系统,求二阶系统的上升时间t 峰值时间t 假设系统为欠阻尼系统,求二阶系统的上升时间 r、峰值时间 p、最大过调量 上升时间 Mp、调整时间ts的计算表达式。 调整时间 的计算表达式。 (1)上升时间 r )上升时间t 对于方程
2 ? ? ? ζ e ?ζωnt ?1 1 ? ζ sin ωd t ? = 1 ? sin ? ωd t + tan ? cos ωd t + 2 2 ? ? ? ζ 1? ζ 1? ζ ? ? ?

c(t ) = 1 ? e

?ζωn t

? ? ? ?

令 c(tr ) = 1 ,可上升时间tr 为 可上升时间

c(tr ) = 1 ? e

?ζωn tr

? ? ζ ? cos ωd tr + sin ωd tr ? 2 ? ? 1? ζ ? ?

5.3 二阶系统
由于 因此, e ?ζωntr ≠ 0 ,因此,有

cos ωd tr +

ζ
1? ζ
2

c(tr ) = 1 ? e

?ζωn tr

sin ωd tr = 0

? ? ζ ? cos ωd tr + sin ωd tr ? 2 ? ? 1? ζ ? ?



tan ωd tr = ?

1? ζ 2

ζ
?1

=?

ωd σ

因此,上升时间为 因此,

? ωd tr = tan ? ωd ? ?σ 1

? π ?β ?= ωd ?

可见,为了能够得到一个较小的上升时间 应取很大的值。 可见,为了能够得到一个较小的上升时间tr, ωn应取很大的值。 (2)峰值时间 p )峰值时间t 对于方程
2 ? ? ? ζ e ?ζωnt ?1 1 ? ζ sin ωd t ? = 1 ? sin ? ωd t + tan ? cos ωd t + 2 2 ? ? ? ζ 1? ζ 1? ζ ? ? ?

c(t ) = 1 ? e

?ζωn t

? ? ? ?

5.3 二阶系统
对时间求导,令导数等于零, 将 c(t ) 对时间求导,令导数等于零,可求 得峰值时间, 得峰值时间,即
c(t ) = 1 ? e
?ζωn t

? ? ζ ? cos ωd t + sin ωd t ? 2 ? ? 1? ζ ? ?

? ? ?ζω t ? ? ζωd ζ dc ?ζωn t n = ζωn e ? cos ωd t + sin ωd t ? + e ? ωd sin ωd t ? cos ωd t ? 2 2 ? ? ? ? dt 1? ζ 1? ζ ? ? ? ?
由于, 由于, ωd = ωn 1 ? ζ 2

ζωd
1? ζ
2

= ζωn

因此,有 因此,

ωn dc ?ζω t = e n p sin ωd t p = 0 dt t =t p 1? ζ 2
由此可得, 由此可得,

sin ωd t p = 0

亦即, 亦即, ωd t p

= 0, π , 2π ,3π ,LL

由于峰值时间为对应于第一个峰值的过调量, 由于峰值时间为对应于第一个峰值的过调量,所以 即

ωd t p = π

tp =

π ωd

可见,峰值时间 对应于阻尼振荡频率的周期的一半。 可见,峰值时间tp对应于阻尼振荡频率的周期的一半。

5.3 二阶系统
(3)最大过调量 p )最大过调量M 最大过调量发生在峰值时间 因此, 因此,有

π tp = ωd
?ζωn (π ωd )



c(t ) = 1 ? e

? ζωn t

? ? ζ ? cos ωd t + sin ωd t ? 2 ? ? 1?ζ ? ?

M p = c(t ) ? 1 = ?e

? ? ζ ? cos π + sin π ? 2 ? ? 1?ζ ? ?

Mp =e

? (σ ω d ) π

=e

? (ζ

1?ζ 2 )π

最大百分比过调量为

e ? (σ ωd )π × 100%

如果输出量的稳态值C( )不是1,则需用下列方程得到: 如果输出量的稳态值 (∞)不是 ,则需用下列方程得到:

Mp =

c(t p ) ? c(∞) c (∞ )

×100%

5.3 二阶系统
(4)调整时间 s )调整时间t 对于欠阻尼二阶系统, 对于欠阻尼二阶系统,其瞬态响应的方程为

? 1? ζ 2 c(t ) = 1 ? sin ? ωd t + tan ?1 ? ζ 1? ζ 2 ? e ?ζωnt
可知,曲线 1 ± 可知,

? ? ? ?

e ?ζωnt 1? ζ
2

是该系统对单

位阶跃输入信号的瞬态响应曲线的包络线。 位阶跃输入信号的瞬态响应曲线的包络线。 响应曲线c(t)总是被保围在一对包络线内, 总是被保围在一对包络线内, 响应曲线 总是被保围在一对包络线内 该包络线的时间常数为 。 1 ζωn 的值,对于给定的ω 1 ζωn 的值,对于给定的 n,调整时

瞬态响应的衰减速度取决于时间常数 是阻尼比ξ的函数。 间ts是阻尼比ξ的函数。

5.3 二阶系统

对于欠阻尼系统,在同一 对于欠阻尼系统,在同一ωn下,当ξ在0和1 在 和 之间时,阻尼很小的系统的调整时间t 之间时,阻尼很小的系统的调整时间 s比具有 调整时间 适当阻尼的系统的调整时间长。 适当阻尼的系统的调整时间长。 对于过阻尼系统, 对于过阻尼系统,由于响应曲线的起始段上 升得很慢,所以,调整时间ts会很大。 升得很慢,所以,调整时间 会很大。 对于不同的ξ值 可以测得与± 或 对于不同的 值,可以测得与±2%或±5% 允许误差带相对应的调整时间, 允许误差带相对应的调整时间,且以时间常数
T = 1 ζωn 表示,测量结果如图所示。 表示,测量结果如图所示。

5.3 二阶系统
允许误差标准, 当0<ξ<0.9时,如果采用 允许误差标准, 时 如果采用2%允许误差标准 则调整时间t 近似等于系统时间常数的 时间常数的4倍 则调整时间 s近似等于系统时间常数的 倍;若 采用5%允许误差标准,则调整时间 采用 允许误差标准,则调整时间ts近似等于 允许误差标准 时间常数的3倍 系统时间常数的 系统时间常数的 倍。 大约在ξ=0.76(对于2%允许误差标准)或 (对于 允许误差标准 允许误差标准) 大约在 ξ=0.68(对于5%允许误差标准)时,调整时 (对于 允许误差标准 允许误差标准) 间达到最小值。然后, 值的增大 值的增大, 间达到最小值。然后,随ξ值的增大,调整时 间几乎呈线性增大。 间几乎呈线性增大。 图中曲线的不连续性是由于ξ值的微小变化 图中曲线的不连续性是由于 值的微小变化 而引起调整时间的显著变化造成的。 而引起调整时间的显著变化造成的。

5.3 二阶系统
为便于比较系统的响应特性,调整时间 为便于比较系统的响应特性,调整时间ts 的定义为

ts = 4T =

4

σ
3

=

4

ζωn
3

允许误差标准) ( 2%允许误差标准) 允许误差标准 允许误差标准) ( 5%允许误差标准) 允许误差标准

ts = 3T =

σ

=

ζωn

可见,调整时间 与系统的阻尼比和无阻尼自然频率的乘积成反比。 可见,调整时间ts与系统的阻尼比和无阻尼自然频率的乘积成反比。 ξ值通常根据对最大允许过调量的要求来确定,因此,调整时间ts主要由无阻尼 值通常根据对最大允许过调量的要求来确定,因此,调整时间 值通常根据对最大允许过调量的要求来确定 自然频率ω 自然频率ωn。 表明,在不改变最大过调量的情况下,通过调整无阻尼自然频率 表明,在不改变最大过调量的情况下,通过调整无阻尼自然频率ωn,可以改变 瞬态响应的持续时间。因此,为使响应迅速, 必须很大,为限制最大过调量M 瞬态响应的持续时间。因此,为使响应迅速, ωn必须很大,为限制最大过调量 p, 且使调整时间较小,阻尼比 不应过小 不应过小。 且使调整时间较小,阻尼比ξ不应过小。 图示为最大过调量M 百分比与阻尼比ξ之间的关系 可以看出, 之间的关系。 图示为最大过调量 p百分比与阻尼比 之间的关系。可以看出,如ξ=0.4~0.8, ~ , 则阶跃响应的最大过调量百分比将在25%~4%之间。 ~ 之间 之间。 则阶跃响应的最大过调量百分比将在

5.3 二阶系统
应用举例 已知图示系统, 弧度/秒 已知图示系统, ξ=0.6, ωn=5弧度 秒, , 弧度 上升时间t 求单位阶跃输入信号下的上升时间 求单位阶跃输入信号下的上升时间 r、峰 值时间t 最大过调量M 调整时间 值时间 p、最大过调量 p、调整时间ts。 由给定的ξ=0.6, ωn=5弧度 秒,得 , 弧度/秒 由给定的 弧度 (3)最大过调量 p )最大过调量M

ωd = ωn 1 ? ζ = 4, σ = ζωn = 3
2

M p = e ? (σ ωd ) π
最大过调量百分比为

(1)上升时间 r )上升时间t

ω π ?β tr = , β = tan ?1 d ωd σ
(2)峰值时间 p )峰值时间t

e ? (σ ωd )π × 100%
(4)调整时间 s )调整时间t 2%允许误差标准 允许误差标准

ts = 4T =

4

tp =

π ωd

σ
3

5%允许误差标准 允许误差标准

t s = 3T =

σ

5.3 二阶系统
5、带速度反馈的伺服系统 、
输出信号的导数可以用来改扇系统的性能。通常为获得输出位置信号的导数, 输出信号的导数可以用来改扇系统的性能。通常为获得输出位置信号的导数, 需采用测速发电机,以代替对输出信号直接进行微分。 需采用测速发电机,以代替对输出信号直接进行微分。 微分会放大噪声效应,特别是对于不连续噪声, 微分会放大噪声效应,特别是对于不连续噪声,微分过程对不连续噪声的放 大效果大于对有用信号的放大效果。 大效果大于对有用信号的放大效果。 用测速发电机来测量速度可不须进行微分过程,其输出量与马达的角速度成 用测速发电机来测量速度可不须进行微分过程, 正比。在任何伺服系统中,速度信号均可通过测速发电机容易地获得。 正比。在任何伺服系统中,速度信号均可通过测速发电机容易地获得。 图示伺服系统, 速度信号与位置信号同时反馈到系统的输入端, 图示伺服系统, 速度信号与位置信号同时反馈到系统的输入端,以产生作 用误差信号, 用误差信号,

5.3 二阶系统
因此, 因此,得到伺服系统的闭环传递函数

C ( s) K = 2 R( s ) Js + ( B + KK h ) s + K

比较: 比较:无速度反馈的伺服系统的闭环传递 函数

C (s) K = 2 R ( s ) Js + Bs + K
可见,速度反馈具有增大阻尼的效应。 可见,速度反馈具有增大阻尼的效应。此 时,阻尼比为

ζ =

B + KK h 2 KJ

5.3 二阶系统
虽然速度反馈可以增加阻尼比, 虽然速度反馈可以增加阻尼比,但伺服系统的无阻尼自然频率 ωn = 不受速度反馈的影响。 不受速度反馈的影响。 系统对单位阶跃输入信号响应的最大过调量可以通过改变阻尼比ξ的值加以控制; 系统对单位阶跃输入信号响应的最大过调量可以通过改变阻尼比 的值加以控制; 的值加以控制 通过调整速度反馈常数K 值位于0.4~ 之间 从而减小最大过调量。 之间, 通过调整速度反馈常数 h,使ξ值位于 ~0.7之间,从而减小最大过调量。 值位于 应用举例 如图示伺服系统, 欲使系统在单位阶跃响应中的最大过调量等于0.2, 如图示伺服系统, 欲使系统在单位阶跃响应中的最大过调量等于 ,峰值时 间等于1秒 试确定增益 和速度反馈常数 的值,并确定在此K和 和速度反馈常数K 间等于 秒,试确定增益K和速度反馈常数 h的值,并确定在此 和Kh下,系统的 上升时间和调整时间。其中, 牛顿米/弧度 上升时间和调整时间。其中,J=1千克米2,B=1牛顿米 弧度 秒。 千克米 牛顿米 弧度/秒

K J 则

5.3 二阶系统
6、二阶系统的脉冲响应 、
单位脉冲输入函数r(t), 单位脉冲输入函数 ,其相应的拉 氏变换为1, 氏变换为 ,即 R ( s ) = 1 二阶系统的单位脉冲响应C(s)为 为 二阶系统的单位脉冲响应

ωn2 C (s) = 2 2 R ( s ) s + 2ζωn s + ωn
0≤ξ<1时, ξ<1时

其拉氏反变换即为响应的时域解c(t): 其拉氏反变换即为响应的时域解c(t):

c(t ) =

ωn
1? ζ 2

e ?ζωnt sin ωn 1 ? ζ 2 t

ξ=1时, =1时 ξ>1时, >1时

2 c (t ) = ω n te ? ωn t

c(t ) =

ωn
2 ζ 2 ?1

( e

? ζ ? ζ 2 ?1 ωn t

)

?

ωn
2 ζ 2 ?1

e

? ζ + ζ 2 ?1 ωn t

(

)

5.3 二阶系统
由方程得到相应的单位脉冲响应曲线。 由方程得到相应的单位脉冲响应曲线。 c ( t ) =
ωn
1?ζ 2 对于临界阻尼和过阻尼,单位脉冲响应: 对于临界阻尼和过阻尼,单位脉冲响应:t ) = ω n2 te ? ω n t c( e ? ζω n t sin ω n 1 ? ζ 2 t

c(t)≥0。 。 对于欠阻尼,单位脉冲响应 对于欠阻尼,单位脉冲响应c(t)是围绕 是围绕 零值振荡的函数,即可能为正值, 零值振荡的函数,即可能为正值,也可能 为负值。 为负值。 结论:如果脉冲响应 不改变符号, 结论:如果脉冲响应c(t)不改变符号, 不改变符号 则系统或者为临界阻尼系统,或者为过阻 则系统或者为临界阻尼系统,或者为过阻 临界阻尼系统 尼系统。此时, 尼系统。此时,相应的阶跃响应没有过调 量,而是单调增加或单调减小,且最终趋 而是单调增加或单调减小, 于某一常值。 于某一常值。

c (t ) =

ωn

2 ζ 2 ?1

e

? ζ ? ζ 2 ?1 ω n t

(

)

?

ωn
2 ζ 2 ?1

e

? ζ + ζ 2 ?1 ω n t

(

)

5.3 二阶系统
对于欠阻尼系统, 对于欠阻尼系统,令dc/dt=0,可得单位脉冲 , 响应的最大过调量发生下列时刻: 响应的最大过调量发生下列时刻:
c (t ) =

ωn

1? ζ 2 c ( t ) = ω n2 te ? ω n t

e ? ζω n t sin ω n 1 ? ζ 2 t

tan ?1 t=

1? ζ

2

c (t ) =

ωn

ζ ωn 1 ? ζ 2

2 ζ 2 ?1

e

? ζ ? ζ 2 ?1 ω n t

(

)

?

ωn
2 ζ 2 ?1

e

? ζ + ζ 2 ?1 ω n t

(

)

(0 < ζ < 1)

则有,最大过调量为 则有,

c(t ) max

2 ? ζ ?1 1 ? ζ = ωn exp ? ? tan 2 ζ ? 1? ζ ?

? ? (0 < ζ < 1) ? ?

由于单位脉冲响应函数是单位阶跃函数对时 间的导数,故单位阶跃响应的最大过调量 间的导数,故单位阶跃响应的最大过调量Mp可 以从相应的单位脉冲响应中求得,即单位脉冲 以从相应的单位脉冲响应中求得, 响应曲线从t=0到曲线第一次达到零这段下面所 响应曲线从 到曲线第一次达到零这段下面所 保围的面积,其值等 保围的面积,其值等1+ Mp。 单位阶跃响应的峰值时间t 单位阶跃响应的峰值时间 p等于单位脉冲响 应与时间轴第一次相交点的时间。 应与时间轴第一次相交点的时间。

5.4 高阶系统
通常,高阶系统的响应是由一阶系统的响应和二阶系统的响应组合构成的。 通常,高阶系统的响应是由一阶系统的响应和二阶系统的响应组合构成的。

1、高阶系统的瞬态响应 、
图示系统的闭环传递函数为: 图示系统的闭环传递函数为:

C (s) G (s) = R(s) 1 + G (s) H (s)
通常, 多项式比值形式出现, 通常,G(s)和H(s)以s多项式比值形式出现,即 和 以 多项式比值形式出现

p(s) G (s) = q(s)

n( s ) H (s) = d (s)

因此,上述闭环传递函数可写成: 因此,上述闭环传递函数可写成:

b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm C (s) p( s)d ( s) = = R ( s ) q ( s ) d ( s ) + p ( s ) n( s ) a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an
为求系统的瞬态响应的解析表达方式,需将分母进行因式分解,写成部分分式的形式。 为求系统的瞬态响应的解析表达方式,需将分母进行因式分解,写成部分分式的形式。

5.4 高阶系统
若分子和分母被分解成因式,则有: 若分子和分母被分解成因式,则有:

C ( s ) K ( s + z1 )( s + z2 ) L ( s + zm ) = R ( s ) ( s + p1 )( s + p2 ) L ( s + pn )
系统对单位阶跃输入信号的响应 闭环极点均为不相同实数的情况 上述方程对单位阶跃的响应为

a n ai C (s) = + ∑ s i =1 s + pi
如果所有的闭环极点位于左半s平面,则留数的大小决定了 如果所有的闭环极点位于左半 平面,则留数的大小决定了C(s)展开式中各 平面 展开式中各 分量的相对重要性: 分量的相对重要性: 如果一个闭环极点和一个闭环零点靠得近,则该极点上的留数很小: ① 如果一个闭环极点和一个闭环零点靠得近,则该极点上的留数很小:对应 于该极点的瞬态响应项的系数也比较小,该瞬态响应项对系统的影响很小, 于该极点的瞬态响应项的系数也比较小,该瞬态响应项对系统的影响很小,可 以忽略。因此,一对靠得很近的极点和零点,彼此可以相互抵消。 以忽略。因此,一对靠得很近的极点和零点,彼此可以相互抵消。

5.4 高阶系统
如果一个极点的位置距离原点很远, 该极点上的留数很小。 ② 如果一个极点的位置距离原点很远,则该极点上的留数很小。 因此,对应于如此遥远的极点的瞬态响应项很小, 因此,对应于如此遥远的极点的瞬态响应项很小,且响应时间也很 短,该瞬态响应项对系统的影响很小,可以忽略。 该瞬态响应项对系统的影响很小,可以忽略。 结论: 的展开项中, 结论:在C(s)的展开项中,具有很小留数的项,对瞬态响应的影响将很小,因而 的展开项中 具有很小留数的项,对瞬态响应的影响将很小, 可以忽略这些项,高阶系统可以用低阶系统来近似。 可以忽略这些项,高阶系统可以用低阶系统来近似。 闭环极点由实数极点和成对的共轭复数极点组成的情况 一对共轭复数极点可以形成一个s的二阶多项式。因此, 一对共轭复数极点可以形成一个 的二阶多项式。因此,高阶系统的特征方程的 的二阶多项式 因式包括一阶项和二阶项。 因式包括一阶项和二阶项。
r bk ( s + ζ k ωk ) + ck ωk 1 ? ζ k a q aj C (s) = + ∑ +∑ s j =1 s + p j k =1 s 2 + 2ζ k ωk s + ωk

a n ai C (s) = + ∑ s i =1 s + pi

(q + 2r = n)

假设所有闭环极点都是不相同的,如果闭环极点包含多个极点, 必然具有多极点项。 假设所有闭环极点都是不相同的,如果闭环极点包含多个极点,则C(s) 必然具有多极点项。 因此,高阶系统的响应是由一些包含简单函数的项组成的, 因此,高阶系统的响应是由一些包含简单函数的项组成的,这些简单函数出现在一阶和二 阶系统的响应中。 阶系统的响应中。

5.4 高阶系统
由上述方程的拉氏反变换得到单位阶跃的响应c(t): 由上述方程的拉氏反变换得到单位阶跃的响应
q r r

c (t ) = a + ∑ a j e
j =1

? p jt

+ ∑ bk e
k =1

?ζ k ωk t

cos ωk 1 ? ζ t + ∑ ck e ?ζ k ωk t sin ωk 1 ? ζ k2 t
2 k k =1

因此,稳定的高阶系统响应曲线是由指数曲线和阻尼正弦曲线之和形成。 因此,稳定的高阶系统响应曲线是由指数曲线和阻尼正弦曲线之和形成。 如果所有闭环极点都位于左半s平面内,则随时间 的增加 的增加, 如果所有闭环极点都位于左半 平面内,则随时间t的增加,指数项和阻尼指数 平面内 项将趋近于零,于是系统的稳态输出为: 项将趋近于零,于是系统的稳态输出为:c(∞)=a。 。 结论:如果所研究的系统是稳定的,则原理 ω轴的闭环极点将具有很大的负实部, 结论:如果所研究的系统是稳定的,则原理jω轴的闭环极点将具有很大的负实部, 与这些极点相对应的指数项将迅速衰减到零。 与这些极点相对应的指数项将迅速衰减到零。 应知1:从闭环极点到 轴的水平距离决定了由该极点引起的瞬态响应的过程的调 应知 :从闭环极点到jω轴的水平距离决定了由该极点引起的瞬态响应的过程的调 整时间,水平距离越小,调整时间越长。 整时间,水平距离越小,调整时间越长。 应知2:瞬态响应的类型由闭环极点确定,而瞬态响应的形状则由闭环零点确定。 应知 :瞬态响应的类型由闭环极点确定,而瞬态响应的形状则由闭环零点确定。

5.4 高阶系统
2、闭环主导极点 、
闭环极点的相对主导作用取决于闭环极点的实部的比值, 闭环极点的相对主导作用取决于闭环极点的实部的比值,同时也取决于在闭环 极点上求得的留数的相对大小。而留数的大小既取决于闭环极点, 极点上求得的留数的相对大小。而留数的大小既取决于闭环极点,又取决于闭环 零点。 零点。 若实部的比值超过5,且在极点附近不存在零点,则距离 轴最近的闭环极点 若实部的比值超过 ,且在极点附近不存在零点,则距离jω轴最近的闭环极点 对瞬态响应特性起主导作用。 因为这些极点对应于瞬态响应中衰减最慢的项。 对瞬态响应特性起主导作用。 因为这些极点对应于瞬态响应中衰减最慢的项。 这些对瞬态响应特性具有主导作用的闭环极点,称为闭环主导极点。 这些对瞬态响应特性具有主导作用的闭环极点,称为闭环主导极点。 闭环主导极点常以共轭复数的形式出现,在所有闭环极点中, 闭环主导极点常以共轭复数的形式出现,在所有闭环极点中,闭环主导极点是 最重要的。 最重要的。 通常对高阶系统的增益进行调整,以使系统具有一对闭环主导共轭复数极点。 通常对高阶系统的增益进行调整,以使系统具有一对闭环主导共轭复数极点。 稳定系统中这样的主导极点的存在,将会减小一些非线性因素,如死区、间隙、 稳定系统中这样的主导极点的存在,将会减小一些非线性因素,如死区、间隙、 库仑摩擦对系统性能的影响。 库仑摩擦对系统性能的影响。

5.4 高阶系统
3、复平面上的稳定性分析 、
闭环系统的稳定性,可以根据 平面上闭环极点的位置予以确定 平面上闭环极点的位置予以确定。 闭环系统的稳定性,可以根据s平面上闭环极点的位置予以确定。 如果有任何一种极点位于右半s平面,则随时间的增长, 如果有任何一种极点位于右半 平面,则随时间的增长,这些极点将上升至主导 平面 作用,从而使瞬态响应呈现为单调上升过程,或是振幅逐渐增大的振荡过程, 作用,从而使瞬态响应呈现为单调上升过程,或是振幅逐渐增大的振荡过程,表 明系统是不稳定的。这类系统一旦被启动,输出量将随时间而增大,并使系统最 明系统是不稳定的。这类系统一旦被启动,输出量将随时间而增大, 终遭到破坏,而不能正常工作。 终遭到破坏,而不能正常工作。 如果全部闭环极点位于jω轴左边,则任何瞬态响应最终会达到平衡状态, 如果全部闭环极点位于 轴左边,则任何瞬态响应最终会达到平衡状态,系统 轴左边 是稳定的。因此,在设计控制系统中,是不允许闭环极点位于右半 平面 平面。 是稳定的。因此,在设计控制系统中,是不允许闭环极点位于右半s平面。 线性系统是否稳定是系统本身的一种属性,与系统的输入量或驱动函数无关。 线性系统是否稳定是系统本身的一种属性,与系统的输入量或驱动函数无关。 输入量或驱动函数的极点不影响系统的稳定性,只影响系统解的稳态响应项。 输入量或驱动函数的极点不影响系统的稳定性,只影响系统解的稳态响应项。 当闭环极点位于jω轴上时,将形成等幅的振荡过程。但在存在噪声的情况下, 当闭环极点位于 轴上时,将形成等幅的振荡过程。但在存在噪声的情况下, 轴上时 振荡的振幅可能会增加,增加的幅度也取决于噪声的电平(幅值)。因此, 振荡的振幅可能会增加,增加的幅度也取决于噪声的电平(幅值)。因此,控制 )。因此 系统不应当有闭环机电位于jω轴上。 系统不应当有闭环机电位于 轴上。 轴上

5.4 高阶系统
应当注意:即使所有的闭环极点都位于左半 平面 平面, 应当注意:即使所有的闭环极点都位于左半s平面,也不能保证系统具备满意的 瞬态响应特性。如果主导共轭复数闭环极点的位置靠近 轴 瞬态响应特性。如果主导共轭复数闭环极点的位置靠近jω轴,则瞬态响应可能呈 现强烈的振荡特性,或缓慢的瞬态响应过程。 现强烈的振荡特性,或缓慢的瞬态响应过程。 因此,为保证系统的瞬态响应特性既快又具备良好的阻尼, 因此,为保证系统的瞬态响应特性既快又具备良好的阻尼,必须使系统的闭环 极点落在复平面内的特定区域内。 极点落在复平面内的特定区域内。 由于闭环控制系统的相对稳定性和瞬态响应 特性与s平面上闭环极点 零点的配置直接 特性与 平面上闭环极点—零点的配置直接 平面上闭环极点 相关。因此, 相关。因此,通常通过调整一个或多个系统 参数,来获得适当的极点 零点配置 零点配置, 参数,来获得适当的极点-零点配置,以改善 系统的控制特性。 系统的控制特性。

5.5 劳斯稳定判据
如何判断一个线性控制系统是否稳定,在什么条件下变成不稳定, 如何判断一个线性控制系统是否稳定,在什么条件下变成不稳定,如何使其 稳定下来,是进行线性控制系统分析的首要问题。 稳定下来,是进行线性控制系统分析的首要问题。 对于一个线性控制系统,通常具有下列形式的闭环传递函数: 对于一个线性控制系统,通常具有下列形式的闭环传递函数:

C ( s ) b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm B ( s ) = = n n ?1 R ( s ) a0 s + a1s + L + an ?1s + an A( s )
基于上述形式的闭环传递函数,采用劳斯稳定判据能够在不进行因式分解的条 基于上述形式的闭环传递函数,采用劳斯稳定判据能够在不进行因式分解的条 劳斯稳定判据 件下,确定位于右半 平面内的闭环极点的数目 平面内的闭环极点的数目, 件下,确定位于右半s平面内的闭环极点的数目,从而对系统的稳定性作出快速的 判定。 判定。

1、劳斯稳定判据 、
能够表示出一个多项方程式中是否存在不稳定的根, 劳斯稳定判据能够表示出一个多项方程式中是否存在不稳定的根 劳斯稳定判据能够表示出一个多项方程式中是否存在不稳定的根,而不必实际 求解方程。该判据只能应用于有限项的多项式,当用于控制系统时, 求解方程。该判据只能应用于有限项的多项式,当用于控制系统时,能够根据 特征方程的系数,直接判断系统的绝对稳定性。 特征方程的系数,直接判断系统的绝对稳定性。

5.5 劳斯稳定判据
劳斯稳定判据具体应用方法: 劳斯稳定判据具体应用方法: 具体应用方法 (1)写出s的多项式特征方程: )写出 的多项式特征方程: 的多项式特征方程

a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an = 0
假设

an ≠ 0

,以排除任何零根的情况。 以排除任何零根的情况。

(2)如果在至少存在一个正系数的情况下,还存在等于零或等于负值的系数,则 )如果在至少存在一个正系数的情况下,还存在等于零或等于负值的系数, 方程必然存在一个或多个虚根或具有正实部的根。此时,系统是不稳定的。 方程必然存在一个或多个虚根或具有正实部的根。此时,系统是不稳定的。 因此,可知系统稳定的必要条件:特征多项式的所有系数必须是正值。 因此,可知系统稳定的必要条件:特征多项式的所有系数必须是正值。即 正值 一个具有实系数的s多项式总可以分解成线性(一次因子)和二次因子形式: 一个具有实系数的 多项式总可以分解成线性(一次因子)和二次因子形式: 多项式总可以分解成线性

( s + a)



( s 2 + bs + c ) ,a、b、c均为实数。线性因子产生的实根,二次 均为实数。 、 、 均为实数 线性因子产生的实根, ( s 2 + bs + c )

因子产生的是多项式的共轭复根。只有当 、 均为正值时 均为正值时, 因子产生的是多项式的共轭复根。只有当b、c均为正值时,因子

才能给出具有负实部的根。为使所有的根具有负实部,所有因子中的 、 、 才能给出具有负实部的根。为使所有的根具有负实部,所有因子中的a、b、c 都必须为正值。 都必须为正值。

5.5 劳斯稳定判据
任意个只包含正系数的线性因子和二次因子的乘积, 任意个只包含正系数的线性因子和二次因子的乘积,必定也是一个具有正系 数的多项式。因此, 的多项式特征方程的所有系数都是存在 的多项式特征方程的所有系数都是存在, 数的多项式。因此, s的多项式特征方程的所有系数都是存在,且都是正值是 保证系统稳定的必要条件,但非充分条件。 保证系统稳定的必要条件,但非充分条件。
a0 s n + a1 s n ?1 + L + an ?1s + an = 0

(2)若所有的系数都是正的,将多项式的系数排列成如下形式 )若所有的系数都是正的,

sn s n ?1 s n?2 s n ?3 s n?4 M s2 s1 s0

a0 a1 b1 c1 d1 M e1 f1 g1

a2 a3 b2 c2 d2 M e2

a4 a5 b3 c3 d3

a6 a7 b4 c4 d4

L L L L L

系数b 系数c 系数 1、b2、b3, 系数 1、c2、c3,

系数d 系数 1、d2

a1a2 ? a0 a3 a1 a1a4 ? a0 a5 b2 = a1 a a ? a0 a7 b3 = 1 6 a1 M b1 =

b1a3 ? a1b2 b1 ba ?ab c2 = 1 5 1 3 b1 ba ?ab c3 = 1 7 1 4 b1 M c1 =

c1b2 ? b1c2 c1 c b ? b bc d2 = 1 3 1 3 c1 M d1 =

在导出阵列的过程中,可以用一个正数去除或乘某一整行, 在导出阵列的过程中,可以用一个正数去除或乘某一整行, 以简化其后的数值运算,而不改变稳定性的特性。 以简化其后的数值运算,而不改变稳定性的特性。

5.5 劳斯稳定判据
劳斯稳定判据说明: 劳斯稳定判据说明: 说明
a0 s n + a1 s n ?1 + L + an ?1s + an = 0

特征多项式方程具有正实部的根数,等于劳斯阵列中第一列系数符号的改 特征多项式方程具有正实部的根数, 变次数。第一列中各项系数的精确值没有必要知道,只需知道它们的符号。 变次数。第一列中各项系数的精确值没有必要知道,只需知道它们的符号。 特征多项式方程的所有根都位于左半s平面的必要充分条件: 特征多项式方程的所有根都位于左半 平面的必要充分条件:特征多项式 平面的必要充分条件 方程的全部系数都是正值,且劳斯阵列第一列中的所有项都具有正号。 方程的全部系数都是正值,且劳斯阵列第一列中的所有项都具有正号。 应用举例 设有一个三阶多项式: ① 设有一个三阶多项式:

a0 s 3 + a1s 2 + a2 s + a3 = 0

式中所有系数均为正数,试应用劳斯稳定性判据, 式中所有系数均为正数,试应用劳斯稳定性判据,求所有根都具有负实部的 条件。 条件。 设有一个高阶多项式: ② 设有一个高阶多项式:

s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0

试应用劳斯稳定性判据判断多项式中具有的正实部根的数目。 试应用劳斯稳定性判据判断多项式中具有的正实部根的数目。

5.5 劳斯稳定判据
2、劳斯稳定判据应用的一些特殊情况 、
(1)如果劳斯阵列中某一行的第一列项等于零,但其余各项不等于零或者没有其余 )如果劳斯阵列中某一行的第一列项等于零, 来代替为零的项, 项,则可以用一个很小的正数ε来代替为零的项,并以此计算阵列中的其余各项。 则可以用一个很小的正数 来代替为零的项 并以此计算阵列中的其余各项。 举例: 举例:

s3 + 2s 2 + s + 2 = 0
s3 s2 s1 s0 1 2 0≈ε 2 1 2

结论1:如果位于零(ε)上面的系数符号与位于零(ε)下面的系数符号相同,表 结论 :如果位于零( )上面的系数符号与位于零( )下面的系数符号相同, 明有一对虚根存在。上述方程中具有一对虚根为: ± ,将引起等幅振荡。 明有一对虚根存在。上述方程中具有一对虚根为:s=±j,将引起等幅振荡。 结论2:如果位于零 )上面的系数符号与位于零( )下面的系数符号相反, 结论 :如果位于零(ε)上面的系数符号与位于零(ε)下面的系数符号相反,表 明有一个符号变化。 举例说明: 明有一个符号变化。 举例说明:

s 3 ? 3s + 2 = ( s ? 1) 2 ( s + 2) = 0

5.5 劳斯稳定判据
(2)如果劳斯阵列中某一导出行中的所有系数都等于零,则表明在 平面内存 )如果劳斯阵列中某一导出行中的所有系数都等于零,则表明在s平面内存 在大小相等位置径向相反的根, 在大小相等位置径向相反的根,即存在两个大小相等符号相反的实根和两个共 轭虚根。 轭虚根。 这时,可以利用最后一行系数构成一个辅助多项式, 这时,可以利用最后一行系数构成一个辅助多项式,且用该多项式方程导数 的系数组成阵列的下一行。 的系数组成阵列的下一行。 s平面中,这些大小相等位置径向相反的根,可以通过求解辅助方程得到, 平面中,这些大小相等位置径向相反的根,可以通过求解辅助方程得到, 平面中 且根的数目总是成对出现(偶数)。 且根的数目总是成对出现(偶数)。 举例说明: 举例说明: s 5

+ 2 s 4 + 24 s 3 + 48s 2 ? 25s ? 50 = 0
1 24 ?25 2 48 ?50 0 0
s5 s4 1 2

s s4 s3

5

24 ?25 48 ?50

p ( s ) = 2 s 4 + 48s 2 ? 50 = 0

s3 8 96 s2 24 ?50 s1 112.7 0 s 0 ?50

5.5 劳斯稳定判据
3、劳斯稳定判据在控制系统分析中的应用 、
劳斯稳定性判据在线性控制系统分析中应用具有一定局限性:由于该判据只 劳斯稳定性判据在线性控制系统分析中应用具有一定局限性:由于该判据只 解决了绝对稳定性的问题,没有指出如何改善系统的相对稳定性, 解决了绝对稳定性的问题,没有指出如何改善系统的相对稳定性,以及如何使 不稳定的系统达到稳定。 不稳定的系统达到稳定。 但可以利用劳斯稳定性判据检查造成系统不稳定的参数值, 但可以利用劳斯稳定性判据检查造成系统不稳定的参数值,确定一个或两个 劳斯稳定性判据检查造成系统不稳定的参数值 系统参数的变化对系统稳定性的影响。 系统参数的变化对系统稳定性的影响。 举例说明:如何确定参数的稳定范围,如图所示系统,确定 值的稳定范围 值的稳定范围。 举例说明:如何确定参数的稳定范围,如图所示系统,确定K值的稳定范围。

s 4 + 3s 3 + 3s 2 + 2 s + K = 0

C (s) K = R ( s ) s ( s 2 + s + 1)( s + 2) + K

s4 s3 s2 s1 s0

1 3 2? K K
7 3 9 7

3 2 K

K 0

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
1、积分控制作用 、
若控制对象的传递函数中不含积分器1/s,进行比例控制时,存在稳态误差。 若控制对象的传递函数中不含积分器1/s,进行比例控制时,存在稳态误差。 不含积分器1/s 稳态误差 若控制器中包含积分控制作用,可消除稳态误差(偏差) 若控制器中包含积分控制作用,可消除稳态误差(偏差)。 稳态误差 在积分控制器中,控制信号等于某瞬间之前作用误差信号曲线下的面积。 在积分控制器中,控制信号等于某瞬间之前作用误差信号曲线下的面积。 分析: 当作用误差信号e(t)=0 e(t)=0时 控制信号u(t)可能具有非零值。 u(t)可能具有非零值 分析:① 当作用误差信号e(t)=0时,控制信号u(t)可能具有非零值。 ② 在比例控制器中,由于非零控制信号需要非零的作用误差信号,稳态 在比例控制器中,由于非零控制信号需要非零的作用误差信号, 时的非零作用误差信号存在偏差。 时的非零作用误差信号存在偏差。 说明: 说明:积分控制作用在 消除偏差的同时, 消除偏差的同时,也导 致了使振幅缓幅衰减或 不断增加的振荡响应。 不断增加的振荡响应。
积分控制 比例控制

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
2、系统的比例控制 、
对于单位阶跃输入信号,当无积分器时,比例控制将造成稳态误差。 对于单位阶跃输入信号,当无积分器时,比例控制将造成稳态误差。 控制器中包含积分控制器时,可消除稳态误差。 控制器中包含积分控制器时,可消除稳态误差。 举例说明:求系统在单位阶跃响应中的稳态误差。 举例说明:求系统在单位阶跃响应中的稳态误差。

G(s) =

K Ts +1 +1

E ( s) R(s) ? C (s) C (s) 1 = = 1? = R(s) R( s) R( s) 1 + G ( s)

E (s) =

1 R( s) = 1 + G ( s)

E (s) =

Ts + 1 1 ? Ts + 1 + K s Ts + 1 1 ess = lim = s → 0 Ts + 1 + K K +1

1 R( s) K 1+ Ts + 1

结论:阶跃响应中总是存在稳态误差。 结论:阶跃响应中总是存在稳态误差。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
3、系统的积分控制 、
举例说明:求系统在单位阶跃响应中的稳态误差。 举例说明:求系统在单位阶跃响应中的稳态误差。

C (s) K = R( s ) s (Ts + 1) + K E ( s ) R( s ) ? C ( s ) s (Ts + 1) = = R( s) R( s) s (Ts + 1) + K
s 2 (Ts + 1) 1 =0 ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim 2 x →∞ s →0 s → 0 Ts + s + K s
结论:系统的积分控制消除了阶跃输入响应中的稳态误差。 结论:系统的积分控制消除了阶跃输入响应中的稳态误差。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
4、对转矩扰动的响应(比例控制) 、对转矩扰动的响应(比例控制)
分析具有转矩扰动的响应。负载:转动惯量、粘性摩擦,比例控制器: 分析具有转矩扰动的响应。负载:转动惯量、粘性摩擦,比例控制器:T

C (s) 1 = 2 D ( s ) Js + bs + K p

E (s) C ( s) 1 =? =? 2 D( s) D( s) Js + bs + K p

量值为T 的阶跃扰动引起的稳态误差 引起的稳态误差: 量值为 d的阶跃扰动引起的稳态误差:

Td Td ?s ess = lim sE ( s ) = lim 2 =? s →0 s → 0 Js + bs + K Kp p s

稳态时,比例控制器的输出转矩: 稳态时,比例控制器的输出转矩:-Td 阶跃扰动转矩引起的稳态输出: 阶跃扰动转矩引起的稳态输出:

Td Css = ?ess = Kp
结论:增大增益Kp,可减小稳态误差,但会造成系统响应的振荡性增大。 结论:增大增益 可减小稳态误差,但会造成系统响应的振荡性增大。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
5、对转矩扰动的响应(比例-积分控制) 、对转矩扰动的响应(比例 积分控制 积分控制)
为消除转矩扰动的造成偏 差,在控制器中加入积分控 制作用(惯量+粘性) 制作用(惯量+粘性)

C (s) = D(s)

s Js + bs + K p s +
3 2

Kp Ti
3

E (s) =
3 2

?s Js + bs + K p s + Kp Ti

D( s)

若系统是稳顶的, 若系统是稳顶的,特征方程

Js + bs + K p s +
2

Kp Ti

=0

具有负实部。 具有负实部。

ess = lim sE ( s ) = lim
s →0 s →0

结论:比例-积分控制器消除了系统对阶跃扰动转矩的稳态误差。 结论:比例 积分控制器消除了系统对阶跃扰动转矩的稳态误差。 积分控制器消除了系统对阶跃扰动转矩的稳态误差

1 =0 Kp s 3 2 Js + bs + K p s + Ti

?s2

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
5、对转矩扰动的响应(比例-积分控制) 、对转矩扰动的响应(比例 积分控制 积分控制)
分析: 增加积分控制作用, 分析:① 增加积分控制作用,会把原来的二阶

C ( s) = 系统变成三阶系统, 系统变成三阶系统,可能使特征方程具有正实部 D ( s )

s Js + bs + K p s +
3 2

Kp Ti

的根,使系统变成不稳定的。 的根,使系统变成不稳定的。

对于二阶系统的微分方程,如方程系数都是正值,系统总是稳定的。 ② 对于二阶系统的微分方程,如方程系数都是正值,系统总是稳定的。 若控制器是一积分控制器,系统总是不稳定的, ③ 若控制器是一积分控制器,系统总是不稳定的,其特征方程具有带正实 部的根: 部的根:

Js 3 + bs 2 + K = 0

结论:比例控制作用趋于使系统稳定,积分控制作用趋于使消除或减小对各种输 结论:比例控制作用趋于使系统稳定,积分控制作用趋于使消除或减小对各种输 趋于使系统稳定 入响应的稳态误差。 入响应的稳态误差。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
6、微分控制作用 、
比例控制器中加入微分控制作用可以获得高灵敏度控制器。 比例控制器中加入微分控制作用可以获得高灵敏度控制器。 控制器中加入微分控制作用可以获得高灵敏度控制器 优点:能够反映误差信号的变化速度,且在作用误差的值变得很大之前, 优点:能够反映误差信号的变化速度,且在作用误差的值变得很大之前,产生 有效的修正。因此,微分控制作用可预测作用误差,使修正提前发生, 有效的修正。因此,微分控制作用可预测作用误差,使修正提前发生,有助于增 强系统的稳定性。 强系统的稳定性。 微分控制作用不直接影响系统的稳态误差,而是通过增加系统的阻尼,使系统 微分控制作用不直接影响系统的稳态误差,而是通过增加系统的阻尼, 获得比较大的增益K 获得比较大的增益K值,来改善系统的稳态精度。 来改善系统的稳态精度。 结论:微分控制作用是基于作用误差的变化速度,而不是基于作用误差本身。 结论:微分控制作用是基于作用误差的变化速度,而不是基于作用误差本身。 因此,这种方法不能单独使用,必须和比例控制作用,或比例+ 因此,这种方法不能单独使用,必须和比例控制作用,或比例+积分控制作用组合 使用。 使用。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
7、带惯性负载系统的比例控制 、
分析具有惯性负载的比例控制系统 闭环传递函数为

Kp C (s) = 2 R ( s ) Js + K p
特征方程: 特征方程:

Js 2 + K p = 0

因此, 因此,特征方程的根为一对虚 根,对单位阶跃输入的响应是 无限的持续振荡。 无限的持续振荡。系统为不稳 定系统,需增加阻尼进行改善, 定系统,需增加阻尼进行改善, 使系统稳定。 使系统稳定。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
8、具有惯性负载系统的比例+微分控制 、具有惯性负载系统的比例 微分控制
分析具有惯性负载的比例+ 分析具有惯性负载的比例+微分控制系统 比例+微分控制器传递函数为 比例 微分控制器传递函数为

K p (1 + Td s )
控制器产生的转矩与

& K p (e + Td e)

成比例。 微分控制作用是超前的,可以测量瞬时误差速度, 成比例。 微分控制作用是超前的,可以测量瞬时误差速度,提前预测大的过 调量,并在产生过调量之前,产生适当的反作用。 调量,并在产生过调量之前,产生适当的反作用。

K p (1 + Td ) C (s) = 2 R ( s ) Js + K pTd s + K p
特征方程: 特征方程:Js 2

+ K pTd s + K p = 0

结论:对与正的 、 特征方程具有两个负实部的根,带来了阻尼效应。 结论:对与正的J、Kp、Td,特征方程具有两个负实部的根,带来了阻尼效应。

5.6 积分和微分控制作用对系统性能的影响
9、二阶系统的比例+微分控制 、二阶系统的比例 微分控制
比例+微分控制作用可以瞬态特性与稳态特性之间取得折衷效果。 比例 微分控制作用可以瞬态特性与稳态特性之间取得折衷效果。 微分控制作用可以瞬态特性与稳态特性之间取得折衷效果 二阶系统的比例+ 二阶系统的比例+微分控制

K p + Kd s C (s) = 2 R ( s ) Js + ( B + K d ) s + K p
单位斜坡输入的稳态误差: 单位斜坡输入的稳态误差: 特征方程: 特征方程:

Js 2 + ( B + K d ) s + K p = 0

B ess = Kp

分析:系统的有效阻尼系数 而不是B。 分析:系统的有效阻尼系数B+Kd,而不是 。系统的阻尼比为

通过减小B,增大 落在0.4~ 之间 之间, 通过减小 ,增大Kp和Kd,使ζ落在 ~0.7之间,使系统对斜坡输入的稳态误 落在 差和对阶跃输入的最大过调量都达到较小的数值。 差和对阶跃输入的最大过调量都达到较小的数值。

B + Kd ζ = 2 Kd J

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
引起控制系统中的稳态误差的因素很多: 引起控制系统中的稳态误差的因素很多: 瞬态过程中的,参考输入信号的变化, 瞬态过程中的,参考输入信号的变化,引起误差及稳态误差 系统中元件的缺陷:静态摩擦、间隙、放大器漂移、老化、 系统中元件的缺陷:静态摩擦、间隙、放大器漂移、老化、磨损等 这些误差形式是由于系统没有能力跟踪特定形式的输入信号而造成的。 这些误差形式是由于系统没有能力跟踪特定形式的输入信号而造成的。 任何物理控制系统,对其特定的输入信号产生的响应,存在固有的稳态误差。 任何物理控制系统,对其特定的输入信号产生的响应,存在固有的稳态误差。 同一系统对阶跃输入可能没有稳态误差,但对斜坡输入可能存在稳态误差。 同一系统对阶跃输入可能没有稳态误差,但对斜坡输入可能存在稳态误差。 对给定形式的输入信号,系统是否产生稳态误差,取决于系统的开环传递函数。 对给定形式的输入信号,系统是否产生稳态误差,取决于系统的开环传递函数。 开环传递函数 能够消除系统因输入信号的不同带来的稳态误差的唯一方法是改变系统结构。 能够消除系统因输入信号的不同带来的稳态误差的唯一方法是改变系统结构。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
1、控制系统的分类 、
实际的输入信号是由阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入等信号的组合, 实际的输入信号是由阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入等信号的组合, 可依据对上述输入信号的跟踪进行分类。 可依据对上述输入信号的跟踪进行分类。 由单独的输入信号引起的稳态误差大小表明了系统的优良度。 由单独的输入信号引起的稳态误差大小表明了系统的优良度。 优良度 考虑单位反馈控制系统的开环传递函数

K (Ta s + 1)(Td s + 1)L (Tm s + 1) G (s) = N s (T1s + 1)(T2 s + 1)L (Tp s + 1)
说明: 项表示在原点处有N重极点。 说明:① sN项表示在原点处有N重极点。依据开环传递函数中包含积分环节的数 目进行分类:N=0,N=1,N=2, 目进行分类:N=0,N=1,N=2,…,则系统分别称为0型,1型,2型,…系统。 则系统分别称为0 系统。 随着类型号数的增加,系统的精度将得到改善, ② 随着类型号数的增加,系统的精度将得到改善,但增加类型号数会使 稳定性变差。 稳定性变差。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
2、稳态误差 、
图示系统的闭环传递函数

C (s) G(s) = R( s) 1 + G ( s)
误差信号 的传递函数: e(t ) 与输入信号 r (t ) 的传递函数:

E ( s) c( s) 1 = 1? = R( s) R( s) 1 + G ( s)

因此, 因此,稳态误差

sR ( s ) ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim t →∞ s →0 s →0 1 + G ( s )

说明: 通常采用静态误差常数作为描述控制系统品质的指标,该常数越大, 静态误差常数作为描述控制系统品质的指标 说明:① 通常采用静态误差常数作为描述控制系统品质的指标,该常数越大, 稳态误差越小。 稳态误差越小。 一般把输出称为“位置” 输出量的变化率称为“速度” ② 一般把输出称为“位置”,输出量的变化率称为“速度”。忽略输出 量的物理形式。 量的物理形式。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
3、静态位置误差常数KP 、静态位置误差常数
系统对单位阶跃输入响应的稳态误差为

s 1 1 ess = lim = s →0 1 + G ( s ) s 1 + G (0)
s →0

定义: 定义:静态位置误差常数

K p : K p = lim G ( s ) = G (0)
1 表示的稳态误差: K p 表示的稳态误差: ess = 1+ K p

因此,用静态位置误差常数 因此,

分析: 对于0型系统: 分析:① 对于0型系统:

K (Ta s + 1)(Td s + 1) L K p = lim =K s → 0 (T s + 1)(T s + 1) L 1 2
p

对于1型系统: ② 对于1型系统: K

K (Ta s + 1)(Td s + 1) L = lim N =∞ s → 0 s (T s + 1)(T s + 1) L 1 2
p

N ≥1

结论:对于0型系统, 为有限值,对于1型或高1型系统, 为无穷大。 结论:对于0型系统,K p 为有限值,对于1型或高1型系统,K 为无穷大。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
3、静态位置误差常数KP 、静态位置误差常数
对于单位阶跃输入响应的稳态误差为 对于0型系统: 对于0型系统:

ess =

1 1+ K

1 ess = 1 + G (0) K p = G (0)

对于1型或高于1型的系统系统: 对于1型或高于1型的系统系统:

ess = 0

结论: 若在单位反馈控制系统的前向通路中没有积分环节, 结论:① 若在单位反馈控制系统的前向通路中没有积分环节,系统对阶跃输入 信号的响应包含稳态误差。 信号的响应包含稳态误差。 若要求阶跃输入信号的稳态误差等于零,系统需为1型或高1型系统。 ② 若要求阶跃输入信号的稳态误差等于零,系统需为1型或高1型系统。

4、静态速度误差常数Kv 、静态速度误差常数
系统对单位斜坡输入响应的稳态误差为 定义: 定义:静态速度误差常数

s 1 1 = lim ess = lim s →0 1 + G ( s ) s 2 s → 0 sG ( s )
s →0

K v : K v = lim sG ( s )

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
4、静态速度误差常数Kv 、静态速度误差常数
1 e = lim 1 因此, 表示的稳态误差: 因此,用静态速度误差常数 K 表示的稳态误差: e = ss v ss s → 0 sG ( s ) Kv K v = lim sG ( s ) 说明:速度误差的因次与系统误差的因次相同, 说明:速度误差的因次与系统误差的因次相同,即速度误差
s →0

并不是在速度上的误差,而是由于斜坡输入造成的在位置上的误差。 并不是在速度上的误差,而是由于斜坡输入造成的在位置上的误差。 分析: 对于0型系统: 分析:① 对于0型系统:

sK (Ta s + 1)(Td s + 1) L K v = lim =0 s →0 (T1s + 1)(T2 s + 1)L
v

对于1型系统: ② 对于1型系统: K

sK (Ta s + 1)(Td s + 1)L = lim =K s → 0 s (T s + 1)(T s + 1) L 1 2
N ≥2

对于2型或高于2型系统 型系统: ③ 对于2型或高于 型系统:

sK (Ta s + 1)(Td s + 1)L =∞ K v = lim N s → 0 s (T s + 1)(T s + 1) L 1 2

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
4、静态速度误差常数Kv 、静态速度误差常数
因此, 因此,单位斜坡输入信号的稳态误差 对于0型系统: ① 对于0型系统:

ess 为:

ess =
ss

1 =∞ Kv

对于1型系统: ② 对于1型系统: e ③

1 1 = = Kv K

1型单位反馈系统对斜坡 型单位反馈系统对斜坡 结论: 型系统在稳态时,不能跟踪斜坡输入信号。 结论:① 0型系统在稳态时,不能跟踪斜坡输入信号。 输入信号的响应

1 对于2型或高于2型系统 型系统: 对于2型或高于 型系统: ess = =0 Kv

具有单位反馈的1型系统能够跟踪斜坡输入信号 但具有一定的误差。 斜坡输入信号, ② 具有单位反馈的1型系统能够跟踪斜坡输入信号,但具有一定的误差。 在稳态工作时,输出速度与输入速度相同,但存在位置误差, 在稳态工作时,输出速度与输入速度相同,但存在位置误差,该误差与输入量的 速度成正比,且与增益K成反比。 速度成正比,且与增益 成反比。 成反比 型或高于2型的系统可跟踪斜坡输入信号,且在稳态时的误差为零。 ③ 2型或高于2型的系统可跟踪斜坡输入信号,且在稳态时的误差为零。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
5、静态加速度误差常数Ka 、静态加速度误差常数
定义:单位抛物线信号输入信号(加速度输入信号) 定义:单位抛物线信号输入信号(加速度输入信号)为

?t2 t≥0 ? r (t ) = ? 2 ?0 t<0 ?
系统对上述输入响应的稳态误差为 定义: 定义:静态加速度误差常数

ess = lim
s →0

s 1 1 = lim 2 s →0 1 + G ( s ) s 3 s →0 s G ( s )

K a :K a = lim s 2G ( s )
1 ess = Ka

因此, 因此,系统的稳态误差为

说明:加速度误差,即抛物线输入信号引起的稳态误差,是一位置上的误差。 说明:加速度误差,即抛物线输入信号引起的稳态误差,是一位置上的误差。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
5、静态加速度误差常数Ka 、静态加速度误差常数
分析: 对于0型系统: 分析:① 对于0型系统:

K a = lim s 2G ( s )
s →0

s 2 K (Ta s + 1)(Td s + 1) L K a = lim =0 s →0 (T1s + 1)(T2 s + 1) L



s 2 K (Ta s + 1)(Td s + 1)L =0 对于1型系统: 对于1型系统: K a = lim s →0 s (T1s + 1)(T2 s + 1)L s 2 K (Ta s + 1)(Td s + 1)L 对于2 系统: 对于2型系统: K = lim =K a 2 s → 0 s (T s + 1)(T s + 1) L 1 2 s 2 K (Ta s + 1)(Td s + 1)L K v = lim N =∞ s → 0 s (T s + 1)(T s + 1) L 1 2 N ≥3



对于2型或高于2型系统 型系统: ④ 对于2型或高于 型系统:

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
5、静态加速度误差常数Ka 、静态加速度误差常数
因此, 因此,单位抛物线输入信号的稳态误差
ess = lim
s →0

1 1 = s 2G ( s ) K a

ess 为:

对于0型或1型系统: ① 对于0型或 型系统:

1 ess = =∞ Ka

对于2型系统: ② 对于2型系统: e

ss

1 1 = = Ka K 1 = =0 Ka
2型单位反馈系统对抛物线输 型单位反馈系统对抛物线输 入信号的响应

对于3型或高于3型系统 型系统: ③ 对于3型或高于 型系统: ess

结论: 型或1型系统在稳态时,不能跟踪抛物线输入信号。 结论:① 0型或1型系统在稳态时,不能跟踪抛物线输入信号。 具有单位反馈的2型系统能跟踪抛物线输入信号 但具有一定的误差。 输入信号, ② 具有单位反馈的2型系统能跟踪抛物线输入信号,但具有一定的误差。 具有单位反馈的3型或高于3型的系统可跟踪抛物线输入信号, ③ 具有单位反馈的3型或高于3型的系统可跟踪抛物线输入信号,且在稳 态时的跟踪误差为零。 态时的跟踪误差为零。

5.7 单位反馈控制系统中的稳态误差
6、小结 、

在对角线上出现的稳态误差具有有限值;在对角线以上出的稳态误差, ① 在对角线上出现的稳态误差具有有限值;在对角线以上出的稳态误差,其值无穷 大;在对角线以下出现的稳态误差,其值为零。 在对角线以下出现的稳态误差,其值为零。 ② 描述了单位反馈系统减小或消除稳态误差的能力。 K p , K v , K a 描述了单位反馈系统减小或消除稳态误差的能力。当瞬态响应保持

在一个容许范围内时,通常需要增加稳态误差常数。为改善稳态误差, 在一个容许范围内时,通常需要增加稳态误差常数。为改善稳态误差,可在前向通 道中增加一个或多个积分器,使系统型号增加,但带来附加的稳定性问题。 道中增加一个或多个积分器,使系统型号增加,但带来附加的稳定性问题。


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