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第一篇 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案 理 新人教版


第2讲
【2013 年高考会这样考】

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.考查四种命题的意义及相互关系. 2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解. 3.考查题型主要以选择题、填空题形式出现,常与集合、几何等知识结合命题. 【复习指导】 复习时一定要紧扣概念,联系具体数学实例,理清命题之间的相互关系,重点解决:(1)命 题的概念及命题构成;(2)四种命题及四种命题间的相互关系;(3)充分条件、必要条件、充 要条件的概念的理解及判 定.

基础梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语 句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命 题 表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

1

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)如果 p? q,q? p,则 p 是 q 的充要条件.

一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念: ①否命题是将原命题的条件否定作为条件, 将原命 题的结论否定作为结论构造的一个新的命题; ②命题的否定只是否定命题的结论, 常用于反 证法. 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题; (2)互为逆否命题的两个命题同真假. 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法:直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p ? q”为真,则 p 是 q 的充分条件. (2)等价法:利用 p? q 与綈 q? 綈 p,q? p 与綈 p? 綈 q,p?q 与綈 q?綈 p 的等价关系, 对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)集合法:若 A? B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要 条件. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)以下三个命题:①“a>b”是“a >b ”的充分条件;②“|a| >|b|”是“a >b ”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 其中真命题的 序号是________. 解析 ①由 2>-3? / 2 >(-3) 知,该命题为假; ②a >b ? |a| >|b| ? |a|>|b|,该命题为真; ③a>b? a+c>b+c,又 a+c>b+c? a>b; ∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题. 答案 ②③ 2.(2011·陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( \A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b ).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析 “若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则 a=-b”. 答案 D
2

3. (2011·山东)对于函数 y=f(x), x∈R, “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x) 是奇函数”的( ). B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

解析 若 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, ∴y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,但若 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,如 y=f(x)=x , 而它不是奇函数,故选 B. 答案 B 4.(2011·安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 解析 原命题是全称命题,则其否定是特称命题,故选 D. 答案 D 5.命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为 答案 若 a≤b,则有 2 ≤2 -1
a b a b
2

).

.

考向一 命题正误的判断 【例 1】? (2011·海南三亚)设集合 A、B,有下列四个命题: ①A? ②A? ③A? ④A?

B?对任意 x∈A 都有 x?B; B?A∩B=?; B?B? A; B?存在 x∈A,使得 x?B.

其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上). [审题视点] 对于假命题,举出恰当的反例是一难点. 解析 ①不正确,如 A={1,2,3},B={2,3,4},有 A?

B 但 2∈A 且 2∈B.

②不正确,如 A={1,2},B={2,3},有 A? B 而 A∩B={2}. ③不正确,如 A={1,2},B={2},有 A? B 但 B? A. ④正确. 答案 ④ 正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学

3

思维方式,也是两种不同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样 重要. 【训练 1】 给出如下三个命题: ①四个非零实数 a,b,c,d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ②设 a,b∈R,且 ab≠0,若 <1,则 >1; ③若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( A.①②③ C.②③ ). B.①② D.①③

a b

b a

解析 对于①,可举反例:如 a,b,c,d 依次取值为 1,4,2,8,故①错;对于②,可举反 例:如 a、b 异号,虽然 <1,但 <0,故②错;对于③,y=f(|x|)=log2|x|,显然为偶 函数,故选 B. 答案 B 考向二 四种命题的真假判断 【例 2】? 已知命题“若函数 f(x)=e -mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结 论正确的是( ).
x x

a b

b a

A.否命题是“若函数 f(x)=e -mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”,是真命题 B.逆命题是“若 m≤1,则函数 f(x)=e -mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=e -mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=e -mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键. 解析 f′(x)=e -m≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 m≤e 在(0,+∞)上恒成立,故 m≤1, 这说明原命题正确,反之若 m≤1,则 f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但 对增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选 D. 答案 D 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假, 再判断逆命题的真 假,然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首 先判断其逆否命题的真假. 【训练 2】 已知命题“函数 f(x)、g(x)定义在 R 上,h(x)=f(x)·g(x),如果 f(x)、g(x) 均为奇函数,则 h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数 是( A.0 ). B.1 C.2 D.3
x x x x x

解析 由 f(x)、 g(x)均为奇函数, 可得 h(x)=f(x)·g(x)为偶函数, 反之则不成立, 如 h(x)
4

=x 是偶函数,但函数 f(x)= x,g(x)=e 都不是奇函数,故逆命题不正确,故其否命题也 e 不正确,即只有原命题和逆否命题正确. 答案 C 考向三 充要条件的判断 【例 3】? 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p:(x-1) +(y-2) =0,
2 2

2

x2

x

q:(x-1)(y-2)=0.
[审题视点] 结合充分条件,必要条件的定义判断所给命题间的关系. 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B? sin A=sin B,反之,若 sin A=sin B,因为 A 与 B 不可 能互补(因为三角形三个内角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件. (2)易知,綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6,显然綈 q? 綈 p,但綈 p? / 綈 q,即綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件. (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件. (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2, 所以 p? q 但 q? / p,故 p 是 q 的充分不必要条件. 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q,二 是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想 把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价 性,转化为判断它的等价命题. 【训练 3】 (2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递 增数列”的( ). B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析 a1<a2 且 a1>0,则 a1(1-q)<0,a1>0 且 q>1,则数列{an}递增;反之亦然. 答案:C

难点突破 2——高考中充要条件的求解 从近几年课改区高考试题可以看出, 高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、 必要条

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件内容进行考查,一般难度不大,属中档题,常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、 立体几何等内容结合考查.考查形式主要有两种:一是判断指定的条件与结论之间的关系; 二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件. 判断充分、必要条件要从两方面考虑:一是必须明确哪个是条件,哪个是结论;二是看由条 件推出结论和由结论推出条件哪个成立, 该类问题虽然属于容易题, 但有时会因颠倒条件与 结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分. 一、充要条件与不等式的解题策略 【示例】? (2011·天津)设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

).

二、充要条件与方程结合的解题策略 【示例】? (2011·陕西)设 n∈N ,一元二次方程 x -4x+n=0 有整数根的充要条件是 n= ________.
* 2

6

三、充要条件与数列结合的解题策略 【示例】? (2010·山东)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列” 的( ).

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

四、充要条件与向量结合的解题策略 【示例】? (2010·福建)若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ).

五、充要条件与三角函数结合的解题策略

7

π 【示例】? (2010·上海)“x=2kπ + (k∈Z)”是“tan x=1”成立的( 4 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

).

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