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数列求和复习学案


数学学案
一. 考试要求
掌握等差等比数列前 n 项和公式

——数列求和

2、

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

1

1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1



3、

1 n ( n ? 1)( n ? 2 )

?

1

1 1 [ ? ]; 2 n ( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2 )

二. 考点诠释与命题展望
本节在高考题中往往是 21、22 题的第二问,综合程度高,运算量大。

三. 立足课本,激活各个知识点
数列求和的常用方法: 主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?
n (a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

4、

1 k ?k ? n

?

1 k

( n?k ?

n)



5、 C

m ?1 n

? C m?1? C m ; n n
n ( n ? 1)!

6、 n ? n! ? ( n ? 1)! ? n!

=

1 n!



1 ( n ? 1)!

(2)等比数列的求和公式 S n

? na 1 ( q ? 1) ? n ? ? a 1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) ( q ? 1) ? 1? q ?
n ( n ? 1 ) ( 2? n 6
2

7、

1 pq

?

1 q? p 1

(

1 p

?

1 q

)

( p ? q)

2.公式法:

?k
k ?1

n

8、
1)

2

?1 ? 2 ? 3?? ? n ?
2 2 2

2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) 1

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 1

)

?

n

k ?1

? n ( n ? 1) ? k ?1 ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3 3 3

9、 a n ?

( An ? B )( An ? C )

?

1 C ? B

(

1 An ? B

?

1 An ? C

)

四. 检查一下,我们存在哪些问题
1.等比数列 { a n } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n =________________.
2 2 2 2


3.错位相减法:比如 ?a n ?等差 , ?b n ?等比 , 求 a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n的和 . 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求 100
2

2.设 S n ? ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ( ? 1) n (2 n ? 1) ,则 S n =_______________________. 3.求和:
1 1? 4 ? 1 4?7 ?? ? 1 (3 n ? 2 ) ? (3 n ? 1) ?

.

? 99

2

? 98

2

? 97

2

? ? ? 2 ? 1 的和。
2 2

7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 数列裂项的常用技巧: 1、
1 n(n ? k ) ? 1 k ( 1 n ? 1 n?k );

4. 数列 1×4,2×5,3×6,…,n×(n+3),…则它的前 n 项和 S n = 5. 数列 1, (1 ? 2 ), (1 ? 2 ? 22 ),? , (1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 1 ),? 的通项公式 a n ? 项和 S n ? .

. ,前 n

1

五. 典型例题,精讲、点评、反思
题型 1 错位相减与倒序相加 例 1 、求下列各数列前 n 项的和 S n ①
1 , 3
2

例3、已知数列 { a n } 中, ② C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? ( n ? 1) C n
1 2 3 n ?1

an

? n ?1 2    n 为奇数 ?2 ?? n ,试求前 2n 项的和 ? ?2 2    n 为偶数 ?

,

5 2
3

,? ,

2n ? 1 2
n

,? ;

2 2

? nC n

n

变式练习:

Sn ? (x ?

1 x

) ? (x ?
2 2

1 x
2

) ? ? ? (x
2

n

?

1 x
n

)

2

变式训练: 1、已知数列 1,3 a ,5 a , ? , ( 2 n ? 1) a
2 n ?1

( a ? 0 ) ,求前 n 项和。

题型 3 通项分析法 例 4 求和:① S n ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 11? 1 ?? ?
n个

题型 2 并项求和法 例 2、在数列 { a n } 中, a n ? ? 2[ n ? ( ? 1) ] ,求 Sn
n

②求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前 n 项和 S n

变式训练:1。求和 S n ?

2

2

1?3

?

4

2

3?5

?? ?

(2n)

2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

2

2.求1 ?

1

1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3? 4

?

1

?

1

?? ?

1 1? 2 ? 3?? ? n

, (n ? N )
*

(A) ( 2 ? 1)
n

2

(B) ( 2 ? 1)
n

1

(C) 4 ? 1
n

(D)

1 3

(4

n

? 1)

3

5、等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)260
1 1? 2 1 1 1? 2 ? 3 ,4 1 81
4

题型 4 其它方法 例 5 已知 f ( x ) ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x , 且 a 1 , a 2 , a 3 , ? a n 成等差数列,n 为正偶数,
2 n

6、求和: 1 ?
1

? 1

?? ?

1 1? 2 ? 3?? ? n

?

. .

7、数列 1 , 2 , 3
3 9

, ? 的前 n 项和是

27

2 又 f (1) ? n , f ( ? 1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。

1

8、 数列1+3q+5q2+7q3+9q =

_______. ,前 n 项和

2

9 、 数 列 { a n } 满 足 a1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 2 n , 则 通 项 公 式 a n ?
Sn ?
2 2

.
2 2 2 2 2

10、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 99

? 100

2

=________________________.

11、在数列 { a n } 中,已知 a 1 ? ? 20 , a n ? 1 ? a n ? 4 , 则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? a 20 ? ______. 12、非等比数列 { a n } 中,前 n 项和 S n ? ? (1)求数列 { a n } 的通项公式;
1 4 ( a n ? 1) ,
2

六. 过关检测
1、设等差数列 ?a n ? 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,则下列结论中正确的是 A. S n ? na n ? 3 n ( n ? 1) C. S n ? na n ? n ( n ? 1) B. S n ? na n ? 3 n ( n ? 1) D. S n ? na n ? n ( n ? 1)

(2)设 b n ?

1 n (3 ? a n )

( n ? N *) , T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ,是否存在最大的整数 m,使得对任意

的 n 均有 T n ?

m 32

总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由。

2、数列 1,x,x2,…,xn?1,…的前 n 项之和是 (A)
x
n

?1

x?1

(B)

x

n ?1

?1

x ?1

(C)

x

n?2

?1

x?1

(D)以上均不正确

3、数列{an}前 n 项的和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b 为 (A)3 (B) 0 (C)-1 (D)1 4、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+a22+a32+…+an2 等于

七.知识方法小结

3


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