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平面向量基本定理习题课


平面向量基本定理习题课

1.











ABC





BD ?

1 DC , AE ? 3ED, 若 AB ? a, AC ? b, 则BE =( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? a? b A. a ? b B. ? a ? b C. a ? b D. 3 3 2 4 2 4 3 3

2. 若 AD,BE 分 别 为 在 △ ABC 的 边 BC,AC 上 的 中 线 , 且
? ? ? ? ? ? AD ? a , BE ? b ,用 a , b 表示 BC

?

3. 设 D 、 E 、 F 分别是 ?ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且 1 1 1 AF ? AB BD ? BC , CE ? CA ,若记 AB ? m , CA ? n ,试 2 3 4 用 m , n 表示 DE 、 EF 、 FD 。

→ 1→ → → 2 → 4.在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ AC, 3 11 则实数 m=________.

5.如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线

AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则

m ? n 的值为



A

N
B
M

O

C

6 如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点, G 为 DE、BF 交点。若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基底 D F 表示 DE 、 BF 、 CG .

C E

G

A

B

→ → 7.如图△OBC 中,A 为 BC 的中点,OD=2DB,CD 与 OA

? → ? → 交于点 E.设OA= a ,OB= b . ? ? → → (1)用 a , b 表示OC,DC;
→ → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值.

? ? 3 ? 1. 已知点 P 在线段 AB 上, 且 AP ? AB , 若 AP ? ? BP 则 ? =__ 8

?

2.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若 OA ? 2OC ? 3OB, 则 的值为( )

BC AB

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 6

3.已知点 O、A、B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点, → → 3OA -OB → 且OP= ,则( ) 2 A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上

4.若 G 是 ?ABC 的重心,则 G 点的坐标为 GA ? GB ? GC ? __。
5. 已 知 ?ABC 和 点 M 满 足 MA ? MB ? MC ? 0 . 若 存 在 实 m 使 得

AB ? AC ? m AM 成立,则 m =_____
→ → → 6.设 O 在△ABC 的内部,D 为 AB 的中点,且OA+2OB+3OC=0, 则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为___

7、O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的三个点, 一动点 P 满足: OP ? OA ? ? ( AB ? AC) , ? ∈(0,∞),则 直线 AP 一定通过△ABC 的 A、外心 B、内心 C、重心

D、垂心

? 1.与 a 共线的单位向量为________

? ? ? ? ? 2.在△ABC 中, OA ? a , OB ? b ,| a |? 2, | b |? 3 则与角 AOB 的
?

角平分线共线的单位向量是_____

3.O是平面上的一定点, A、B、C是 平面上不共线的三个点, 动点P满足 OP ? OA ? ? ( AB AB ? AC AC ), ? ? ?0, ?? ? ,

则P的轨迹一定经过?ABC的(

B

)

A.外心 B. 内心 C.重心 D.垂心

4. △ ABC 中 , 点 D 在 边 AB 上 ,CD 平 分 ∠ ACB, 若

CB ? a, CA ? b, | a |? 1, | b |? 2, 则 CD ? (
1 2 a? b A. 3 3 2 1 a? b B. 3 3 3 4 a? b C. 5 5



4 3 a? b D. 5 5

5. 已知 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 的对边分别为 a, b, c 三角 形的重心为 G . aGA ? bGB ? cGC 则 ?A ? ? 0, ( )

A. 30 ?

B. 60 ?

C. 90 ?

D. 120?

例4、已知O是?ABC的外心, H 为垂心, 求证 : OH ? OA ? OB ? OC

分析: (1)证AHCD 是平行四边形 AH ? DC ? DO ? OC ? ? ( 2)OH ? OA ? AH ? ?

A D
? ?

B

OH

C

如图所示, A, B, C 是圆 O 上的三个点,CO 的延长线与线段

AB 交于圆内一点 D ,若 OC ? xOA ? yOB ,则(
A. 0 ? x ? y ? 1 C. x ? y ? ?1 B. x ? y ? 1 D. ?1 ? x ? y ? 0



如图 2, OM // AB , 点 P 在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长 线围成的区域内 (不含边界 )运动 , 且 OP ? xOA ? yOB , 则 x 的 取值范围是____; 当 x ? ?

1 时, y 的取值范围是____. 2
P M B

O

图2

A


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