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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,选修2-1) 第1章 常用逻辑用语 1.1.2 课时作业]


1.1.2

充分条件和必要条件

课时目标 1.结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些 命题的条件关系.

1.一般地,如果 p?q,那么称 p 是 q 的____________,同时 q 是 p 的______________. 2. 如果 p?q, 且 q?p, 就记作________. 这时 p 是 q 的______________条件, 简称________ 条件,实际上 p 与 q 互为 ________ 条件.如果 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 ________________________条件.

一、填空题 1.用符号“?”或“ ? ”填空. (1)a>b________ac2>bc2; (2)ab≠0________a≠0. 2.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的______________条件. 3.不等式(a+x)(1+x)<0 成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则 a 的取值范围为 ________. 4.函数 y=ax2+bx+c (a>0)在[1,+∞)上单调递增的充要条件是__________. 5.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必 要条件,则丙是甲的____________条件. 2 2 ?a+b?2≤a +b , 6. 设 a, b∈R, 已知命题 p: a=b; 命题 q: 则 p 是 q 成立的________________ 2 ? 2 ? 条件. 7.“b2=ac”是“a,b,c 成等比数列”的________________条件. 8.“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的________________条件. 二、解答题 9.设 α、β 是方程 x2-ax+b=0 的两个实根,试分析“a>2 且 b>1”是“两根都大于 1” 的什么条件?

10.设 x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.

能力提升 11. 记实数 x1, x2, ?, xn 中的最大数为 max{x1, x2, ?, xn}, 最小数为 min{x1,x2,?,xn}. 已知△ABC 的三边边长为 a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为 ?a b c ? ?a b c ? l=max?b,c,a? ? min?b,c ,a?, ? ? ? ? 则“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的____________条件. 12.已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0},若 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,求实 数 a 的取值范围.

1.充分条件和必要条件是数学中的重要概念,主要用来区分命题中的条件 p 和结论 q 之 间的关系,主要以其他知识为载体对条件 p 是结论 q 的什么条件进行判断. 2.证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成

立.“A 是 B 的充要条件”的命题的证明:A?B 证明了充分性;B?A 证明了必要性.

1.1.2

充分条件和必要条件

知识梳理 1.充分条件 必要条件 2.p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1.(1) ? (2)? 2.必要不充分 解析 ∵c>d,∴-c<-d,a>b, ∴a-c 与 b-d 的大小无法比较; 当 a-c>b-d 成立时,假设 a≤b,又-c<-d, ∴a-c<b-d,与题设矛盾,∴a>b. 综上可知,“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分条件. 3.(2,+∞) 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1 时不等式成立,所以不等式的解为 -a<x<-1.由题意有(-2,-1) 4.b≥-2a (-a,-1),∴-2>-a,即 a>2.

b 解析 由二次函数的图象可知当- ≤1, 即 b≥-2a 时, 函数 y=ax2+bx+c 在[1, +∞) 2a 上单调递增. 5.充分不必要 解析

∵甲是乙的必要条件, ∴乙?甲. 又∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件, ∴丙?乙,但乙 ? 丙.如图所示. 综上有丙?乙?甲,但乙 ? 丙, 故有丙?甲,但甲 D?/丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 6.充分不必要 a2+b2 2 a+b?2 解析 由 a=b 知,? =a2, =a , 2 ? 2 ? ∴p?q; 反之,若 q 成立,则 p 不一定成立, 例如取 a=-1,b=1, a2+b2 a+b?2 则? =0≤1= ,但 a≠b. 2 ? 2 ? 7.必要不充分 解析 由 b2=ac ? a,b,c 成等比数列, 例如,a=0,b=0,c=5. 若 a,b,c 成等比数列,由等比数列的定义知 b2=ac. 8.充分不必要 解析 把 k=1 代入 x-y+k=0,推得“直线 x-y+1=0 与圆 x2+y2=1 相交”;但“直 线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”不一定推得“k=1”.故“k=1”是“直线 x-y+k =0 与圆 x2+y2=1 相交”的充分不必要条件.

? ?α+β=a 9.解 由根与系数的关系得? , ?αβ=b ? ?a>2 ?α>1 判定的条件是 p:? ,结论是 q:? (Δ≥0). ?b>1 ?β>1 ①由 α>1 且 β>1?a=α+β>2,b=αβ>1?a>2 且 b>1,故 q?p. 1 1 1 ②取 α=4,β= ,则满足 a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,但 p ? q. 2 2 2 综上所述,“a>2 且 b>1”是“两根都大于 1”的必要不充分条件. 10.证明 ①充分性:如果 xy≥0,则有 xy=0 和 xy>0 两种情况,当 xy=0 时,不妨设 x =0, 则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,∴等式成立. 当 xy>0 时,即 x>0,y>0,或 x<0,y<0, 又当 x>0,y>0 时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y, ∴等式成立. 当 x<0,y<0 时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,∴等式成立. 总之,当 xy≥0 时,|x+y|=|x|+|y|成立. ②必要性:若|x+y|=|x|+|y|且 x,y∈R, 则|x+y|2=(|x|+|y|)2, 即 x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|, ∴|xy|=xy,∴xy≥0. 综上可知,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0. 11.必要而不充分 解析 当△ABC 是等边三角形时,a=b=c, ?a b c ? ?a b c ? ∴l=max?b,c ,a?· min?b,c ,a? ? ? ? ? =1×1=1. ∴“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件. ?a b c ? c ∵a≤b≤c,∴max?b,c,a?= . ? ? a ?a b c? a 又∵l=1,∴min?b,c ,a?= , ? ? c a a b a 即 = 或 = , b c c c 得 b=c 或 b=a,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件. 12.解 由题意知,Q={x|1<x<3},Q?P, ? ?a-4≤1 ∴? ,解得-1≤a≤5. ?a+4≥3 ? ∴实数 a 的取值范围是[-1,5].


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