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18版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2第2课时指数函数的图象与性质的应用学案苏教版必修1

3.1.2 第 2 课时 指数函数的图象与性质的应用 1. 能掌握指数函数的图象和性质, 会用指数函数的图象和性质解决相关的问题. (重点、 难点) 2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题.(难点) [基础·初探] 教材整理 指数函数 形如 y=ka (k∈R,且 k≠0,a>0 且 a≠1)的函数是一种指数型函数,这是一种非常有 用的函数模型. 设原有量为 N,每次的增长率为 p,经过 x 次增长,该量增长到 y,则 y=N(1+p) (x∈ N). x x 某人于今年元旦到银行存款 a 万元,银行利率为月息 p,则该人 9 月 1 日取款时,连本 带利共可以取出金额为________. 【解析】 一个月后 a(1+p),二个月后 a(1+p)(1+p)=a(1+p) ,… 9 月 1 日取款时共存款 8 个月,则本利和为 a(1+p) . 【答案】 a(1+p) 8 8 2 [小组合作型] 求函数的定义域、值域 求下列函数的定义域和值域: 1 【精彩点拨】 使式子的每个部分有意义,即可求得各自的定义域,求值域时要把函数 予以分解,求指数的范围,再求整个函数的值域. 1.对于 y=a f (x) 这类函数 (1)定义域是指使 f (x)有意义的 x 的取值范围. (2)值域问题,应分以下两步求解: ①由定义域求出 u=f (x)的值域. ②利用指数函数 y=a 的单调性或利用图象求得函数的值域. 2.对于 y=m(a ) +n(a )+p(m≠0)这类函数值域问题.利用换元法,借助二次函数求 解. x 2 x u [再练一题] 2 1.(1)函数 f (x)= 1-2 + (2)求函数 y=4 -2 -x 1-x x 1 x+3 的定义域为________. +1 在 x∈[-3,2]上的最大值和最小值. 得-3<x≤0. ?1-2 ≥0, ? 【解析】 (1)由? ? ?x+3>0, x 所以函数的定义域是(-3,0]. 【答案】 (-3,0] (2)y=4 -2 -x 1-x ?1?2x ?1?x ??1?x ?2 +1=? ? -2·? ? +1=?? ? -1? , ?2? ?2? ??2? ? ?1?x ?1 ? ∵x∈[-3,2],∴? ? ∈? ,8?, ?2? ?4 ? ?1?x ?1 ? 2 令 t=? ? ,得 y=(t-1) ,其中 t∈? ,8?, 2 ? ? ?4 ? ∴y∈[0,49],即最大值为 49,最小值为 0. 指数函数的应用题 某市现有人口总数为 100 万人,如果年平均增长率为 1.2%,试解答下 列问题: (1)试写出 x 年后该城市人口总数 y 万人与 x 之间的函数关系式; (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 1 万人). 【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题,若设原来人口总数为 N,年平均增长率为 p,则对于 x 年后的人口总数 y,可以用 y=N(1+p)x 表示. 【自主解答】 (1)1 年后城市人口总数为: y=100+100×1.2%=100(1+1.2%). 2 年后城市人口总数为: y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100(1+1.2%) , 同理 3 年后城市人口总数为 y=100(1+1.2%) , … 故 x 年后的城市人口总数为 y=100(1+1.2%) . (2)10 年后该城市人口总数为: x 3 2 y=100(1+1.2%)10=100×1.01210≈100×1.127≈113(万人). 故 10 年后该城市人口总数约为 113 万人. 3 解决实际应用题的步骤 1.领会题意,并把题中的普通语言转化为数学语言; 2.根据题目要求,分析量与量之间的关系,建立恰当的函数模型,并注意对变量的限 制条件,加以概括; 3.对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理,求出解; 4.检验:将数学问题的解代入实际问题检查,舍去不符合题意的解,并作答. [再练一题] 2.某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食 总产量平均每年增长 4%,那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食,求出 y 关于 x 的函数解 析式. 【解】 设该乡镇现在人口数量为 M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M 千克. 经过 1 年后,该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)千克,人口数量为 M(1+1.2%). 360M 则人均占有粮食为 + + M 千克, 经过 2 年后,人均占有粮食为 360M + + 2 2 M … 千克, 经过 x 年后,人均占有粮食为 y= 360M + + x x M 千克, 即所求函数解析式为 y=360? ? 1.04 ?x(x∈N*). ? ?1.012? [探究共研型] 指数函数性质的综合应用 ?1?x x 探究 通过指数函数 y=2 ,y=? ? 的图象,可以抽象出指数函数的性质有哪些? ?2? 【提示】 指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象和性质 x 4 -2 +b 已知定义域为 R 的函数 f (x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f (t -2t)+f (2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围; (3)求 f (x)在[-1,2]上的值域. 【精彩点拨】 (1)根据奇函数的定义,求出 a,b.(2)利用单调性和奇偶性去掉 f 解不 等式求 k 的范围.(3)利用(2)中单调性求 f (x)的值域. 【自主解答】 (1)∵函数 y=f (x)是定义域 R 上的奇函数, ∴? ? ?f ?f ? 2 2 x =0, - =-f , -1+b ? ? 2+a =0, ∴? -2 +b -2 +b ? ? 2 +a =- 2 +a ,