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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数之三角函数与其它知识的综合问题 新人教A版


五、三角函数与其它知识的综合问题:
典型例题: 例 1.设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为【
2



(A)-3 【答案】A。

(B)-1

(C)1

(D)3

【考点】两角和与差的三角公式,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】∵ tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,
2

∴根据一元二次方程根与系数的关系,得 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2 。 ∴ tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? ?3 。故选 A。 1 ? tan ? tan ?
2 2 2

例 2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为【



A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C。 【考点】余弦定理,基本不等式的应用。 【解析】通过余弦定理求出 cosC 的表达式,利用基本不等式求出 cosC 的最小值:

a 2 ? b2 ∵ a ? b ? 2c ,∴ c ? 。 2
2 2 2

2

∴由余弦定理得, cos C ? ∴ cos C 的最小值为 例 3.函数 f ( x) ? 【答案】 ? 。

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 1 ? ? 当且仅当 a = b 时取“=”。 2ab 4ab 2

1 。故选 C。 2


sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x

【考点】行列式的基本运算,三角函数的值域,二倍角公式。 【解析】∵ f ( x) ?

sin x 2 1 ? sin x cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2 , ?1 cos x 2 sin x 2 2? ?? 。 的最小正周期是 2 ?1 cos x
1

∴函数 f ( x) ?

例 4.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是
2 ①若 ab ? c ;则 C ?



?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? 【答案】①②③。

?
3

【考点】余弦定理的应用,余弦函数的性质,不等式变形。 【解析】根据余弦定理逐项分析: ①∵ ab ? c ,∴ cos C ?
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? 。∴ C ? 。命题正确。 3 2ab 2ab 2

? a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b 2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? 。∴ C ? 。命题正确。 ②∵ a ? b ? 2c ,∴ cos C ? 3 2ab 8ab 2
③∵ a ? b ? c ,∴ a < c, b < c 。
3 3 3

2 2 3 3 2 2 a 2 ? b2 ? c 2 a c ? b c ? ? a ? b ? a ? c ? a ? ? b ? c ? b ? ∵ cos C ? ? ? >0, 2ab 2abc 2abc

∴C ?

?
2

。命题正确。

④∵ a ? b ? 2, c ? 1, ∴ cos C ?

? a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 4 ? 1 7 ? ? 。∴ C ? 。命题错误。 2 2ab 8 8
2 2 2 2 2

⑤以例反证,取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b )c ? 2a b , 则 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 4 ? 1 7 ? ? 。 2ab 8 8

又∵

? 7 1 ? > 0 ,∴ C ? 。命题错误。 3 8 2

例 5.已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为 ▲ 【答案】 ? .

2 。 4

【考点】等比数列的性质,余弦定理的应用。

2

【解析】∵△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,∴设三角形的三边分别是: ∵最大角所对的边是 2a,

2 a、a、 2a。 2

? 2 ? a +? a ? ? 2a 2 ? ? ∴根据三角形中大边对大角的性质,结合余弦定理得: cos? = 2 2? a?a 2
2

2

?

?

2

=?

2 。 4

∴最大角的余弦值为 ?

2 。 4

2 例 6. ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b ? 3ac ,求 A.

【答案】解:∵ ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,

? A ? B ? C ? 1800 0 0 ∴? 。∴ B ? 60 , A ? C ? 120 。 ?2 B ? A ? C
2 2 又∵ 2b ? 3ac ,∴根据正弦定理,得 2sin B ? 3sin A sin C 。∴ sin A sin C ?
0 ? ? A=60 ? ? , ?600 < ? < 600 。 0 ? ?C =60 ? ?

1 。 2

由“ A ? C ? 120 ”进行均值换元,设 ?
0

则 sin 60 +? sin 60 ? ? ?
0 0

?

? ?

?

1 3 3 2 ,化简,得 cos ? = ? cos ? = ? 。 2 4 2
0

∴ ? = ? 30 。∴ A=90 或 A=30 。
0 0

【考点】解三角形的运用,等差数列的性质,三角形的内角和定理,正弦定理,两角和的三角函数。 【解析】根据角 A 、 B 、 C 成等差数列和三角形内角和定理可得 B ? 60 , A ? C ? 120 。运用均值换元
0
0

法,由 2b ? 3ac 应用正弦定理和两角和的三角函数,化简等式,求出答案。
2

A ? ? 例 7.已知向量 m=(sinx,1) n= ? 3A cos x, cos 2x ? ? A > 0 ? ,函数 f ? x ? ? m ? n 的最大值为 6。 2 ? ?
(Ⅰ)求 A; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象像左平移

? 1 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标 2 12

不变,得到函数 y=g(x)的图象。求 g(x)在 ? 0,

? ?

5? ? 上的值域。 24 ? ?

【答案】解: (Ⅰ) f (x) ? m ? n ? 3A cos x sin x ?

A 3 A ?? ? cos 2 x ? A sin 2x ? cos 2x ? A sin ? 2x ? ? 。 2 2 2 6? ?
3

?? ? ∵函数 f ? x ? ? m ? n 的最大值为 6。而 sin ? 2x ? ? ? 1 6? ?
∴ A=6 。 (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 当 x ?[0,

5? ] 时, 4x ? ?[ , ], sin(4x ? ) ?[? ,1] , g(x) ?[?3,6] .。 24 3 3 6 3 2

1 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x) ? 6sin(4x ? ) 。 2 3 ? ? 7? ? 1

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6sin[2(x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 ?

∴函数 g(x)在 ? 0,

? ?

5? ? 上的值域为 [?3,6] 。 24 ? ?

【考点】向量的运算,三角函数的值域,函数图象平移的性质。 【解析】 (Ⅰ)求出函数 f ? x ? ? m ? n 关于 x 的表达式,化简后根据三角函数的值域确定 A。 (Ⅱ) 由平移的性质, 求出 g (x) , 由 x ?[0, 上的值域。 例 8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C .

? 5? ? 5? ? 从而求得函数 g (x) 在 ? 0, ? ] 得出 4x ? 的范围, 3 24 4 ? ? 2

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ABC 的面积 S. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C) ? sin A sin C ,即 sin B sin ? A+C? ? sin Asin C 。 ∵ A+C=? ? B,sin ? A+C? =sin ?? ? B? =sinB , ∴ sin 2 B ? sin Asin C 。 由正弦定理,得 b 2 =a ? c ,∴ a, b, c 成等比数列。 (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b 2 =a ? c=2 , 由余弦定理,得 cos B= ∴ sin B= 1 ? cos 2 B=

a 2 +c2 ? b 2 1 ? 4 ? 2 3 = = , 2ac 4 4

7 。 4

1 1 7 7 ? ∴△ABC 的面积 S= ? a ? c ? sin B= ? 1 ? 2 ? 。 2 2 4 4
【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和的三角函数公式,同角三角函数公式,等比数列的判定。 【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简,求得三角正弦之间的关系,由正弦定理推出结论。

4

(Ⅱ)由余弦定理求出 B 的余弦,从而根据同角三角函数公式得到正弦,应用面积公式求解。 例 9. 已 知 向 量 a = ? cos ? x ? sin ? x,sin ? x ? ,b= ? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x

?

?

?

?

, 设 函 数

? ? ?1 ? f ? x ? = a? b+? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ? ,1? ?2 ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ?

? 3? ? ?? ? ,0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上的取值范围。 ? 5 ? ?4 ?

【答案】解: f ? x ? =a ? b+? = ?sin ?x ? cos ?x ??sin ?x+cos ?x ?+2 3 sin ?xcos ?x+ ?

??

?? ? = sin 2 ? x ? cos2 ? x+2 3 sin ? x cos ? x+? = 3 sin 2? x ? cos2?x+? =2sin ? 2? x ? ? +? 。 6? ?
(Ⅰ) ∵函数 f ? x ? =a? ∴ 2? ? ? ? b+? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称, ∴?=

? ?

?
6

=k? +

?
2

,k ? Z 。

k 1 + ,k ? z 。 2 3 5 ?1 ? ,1? ,∴ ? = 。 6 ?2 ?

又∵ ? ? ?

∴ f ? x ? =2sin ?

?? 2? 6? ?5 。 x ? ? +? 的最小正周期为 = 5 6? 5 ?3 3
?5 ? ? ? ?? ? ,0 ? ,则有 2sin ? ? ? ? +? =0 ,∴ ? = ? 2 。 ?3 4 6 ? ?4 ?

(II)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ? ∴ f ? x ? =2sin ?

?? ?5 x? ?? 2 。 6? ?3

∵ x ? ?0,

?? 5 ? ? ? 5? ? ?5 ? 3? ? ,∴ x ? ? ? ? , 。∴ 2sin ? x ? ? ? ? ?1,2? 。 ? ? 6? 3 6 ? 6 6 ? ?3 ? 5 ?
? 3? ? 上的取值范围为 ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? 。 ? ? ? 5 ? ?

∴函数 f ? x ? 在区间 ?0,

【考点】数量积的坐标表达式,三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。 【解析】 (Ⅰ)先利用向量数量积运算性质,求函数 f ? x ? 的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公

5

式将函数 f ? x ? 化为 2sin ? 2? x ? 的最小正周期。

? ?

??

? +? ,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数 6?

(II)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看 做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f ? x ? 的值域。 例 10.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差 数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】解: (Ⅰ)∵角 A,B,C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C 。 又∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ B =60°。∴ cos B =

1 。 2

(Ⅱ)∵边 a,b,c 成等比数列,∴ b 2 ? ac 。∴根据正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 。 ∵ B =60°,∴ sin B =

3 3 。∴ sin Asin C = 。 4 2

【考点】数列与三角函数的综合,正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。 【解析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由角 A、B、C 成等差数列可知 B =60°,从而可得 cos B 的值。 (Ⅱ) 由 a, b, c 成等比数列, 得 b 2 ? ac , 由 B 的值得到 sin B 的值, 结合正弦定理可求得 sin A sin C 的值。 另解:由余弦定理求得 a=c 得到 ?ABC 是等边三角形,每个内角等于 60 求解。
0

例 11.在 ?ABC 中 ,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【答案】解: (1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B ,即 AC ?cos A=3BC ?cos B 。
(2)若 cos C ?

AC BC cos B 。 ,∴ sin B?cos A=3sin A? = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3? cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 5 ? ?
6

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面向。量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 (2)由 cos C ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而根据两角和的 5

正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 例 12.数列{an}的通项公式 an=ncos A.1006 【答案】A。 【考点】规律探索题。 π 3π 【解析】寻找规律:a1=1cos =0,a2=2cosπ =-2,a3=3cos =0,a4=4cos2π =4; 2 2 5π 7π 8π a5=5cos =0,a6=6cos3π =-6,a7=7cos =0,a8=8cos =8; 2 2 2 ······ ∴该数列每四项的和 ak +ak +1 +ak +2 +ak +3 =2 k =1,5,, 9 ??,4r +1,r ? N ? 。 ∵2012÷4=503,∴S2 012=2×503=1006。故选 A。 例 13.下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 ▲ . B.2012


2

,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于【 D.0



C.503

?

?

【答案】3。 【考点】算法程序框图的应用。 【解析】由程序框图可知: 第一次:T=0,k=1, sin

?
2

? 1 ? sin 0 ? 0 成立, a ? 1,T ? T ? a ? 1, k ? 2 ,2<6,满足判断条件,继续循环;

第二次: sin ? ? 0 ? sin

?
2

? 1 不成立, a ? 0, T ? T ? a ? 1, k ? 3 ,3<6,满足判断条件,继续循环;

7

3? ? ?1 ? sin ? ? 0 不成立, a ? 0, T ? T ? a ? 1, k ? 4 ,4<6, 满足判断条件,继续循环; 2 3? ? ?1 成立, a ? 1, T ? T ? a ? 2, k ? 5 , 5<6, 满足判断条件,继续循环; 第四次: sin 2? ? 0 ? sin 2 5? ? 1 ? sin 2? ? 0 成立, a ? 1, T ? T ? a ? 3, k ? 6 ,6<6 不成立,不满足判断条件,跳 第五次: sin 2
第三次: sin 出循环,故输出 T 的值 3。 例 14.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x ,{an } 是公差为 【 A、 0 【答案】D。 【考点】等差数列性质,三角函数性质。 【解析】∵ f ( x) ? 2 x ? cos x , f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , ∴( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 5? 。 ∵ {an } 是公差为 】 B、

? 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ????? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a 3)] 2 ?a 2a 3 ? 8
1 8 13 2 ? 16

1 2 ? 16

C、 ?

2

D、

? 的等差数列, 8

2 a1 ? a2 ? ? ? a5)=2 ? 5a3 ? 10a3 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 。 ∴(
∴ 10a3 ? 5? ,解得 a3 ?
2 2

?
2

, a2 ?

3? 。 8

3? ? 13? 2 ? ? ∴ [ f (a3 )] ? a2 a3 ? ? ? 。故选 D。 8 2 16
关于 cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 可化为 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 。 由 10a3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 10a3 , 设 f ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos x, g ? x ? ? 5? ? 10 x ,作图可得二者交点在 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 处:

?

?

?

?

?

?

?

?

8

例 15.设函数 f ( x ) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } ; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】解: (I)∵ f ( x ) ?

x 1 ? sin x ,∴ f ?( x) ? ? cos x 。 2 2 2? (k ? Z ) 。 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2k? ? 3 2? 2? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) ; 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? 3 3 2? 4? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 。 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值。 ∴当 x ? 2k? ? 3 2? ∴数列 {xn } : xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: , xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? ∴ Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 。 3 3
当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ; 当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

2? 3 ; ? 3 2 4? 3 。 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

∴当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0 ;
*

9

当 n ? 3k ?1(k ? N * ) 时, sin Sn ?

3 ; 2 3 。 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? ? 【考点】三角函数的极值,导数的应用,数列。 【解析】 (I)求函数 f ( x ) ? 情况,得出结果。

x ? sin x 的所有正的极小值点,即要讨论 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 的 2

(II)求出 {xn } 的前 n 项和为 S n ,分类讨论,求出 sin S n 。

10


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