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高中数学导学案(必修1)


中山市东升高中高一年级

数学导学案
2008~2009 学年 第一学期
模块:

必修



章节: 第一章 集合与函数概念 班级: 姓名:

校本教材开发小组编印

http://xb.zsdsgz.com

中山市东升高中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 1.1.1 集合的含义与表示(1)
标目习学

探究 2:“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?

1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关 系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法 或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的 意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合 元素的三个特征.

新知 2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的, 是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的 集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必 有一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序.

程过习学

只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两 个集合 . 试试 2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元 素: ① 不等式 x - 3 > 0 的解; ② 3 的倍数; ③ 方程 x 2 - 2 x + 1 = 0 的解; ④ a,b,c,x,y,z; ⑤ 最小的整数; ⑥ 周长为 10 cm 的三角形; ⑦ 中国古代四大发明; ⑧ 全班每个学生的年龄; ⑨ 地球上的四大洋; ⑩ 地球的小河流.

一、课前准备 (预习教材 P2~ P3,找出疑惑之处) 讨论:军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一 年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生?

引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们 感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、 高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我 们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对 象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要 的数学分支都建立在集合理论的基础上,它还渗透 到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普 读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读物和 以后学习数学知识准备必要的条件.

探究 3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢? 新知 3:集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用 小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to) 集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ? A. 试试 3: 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合, 则 5 B,0.5 B, 0 B, -1 B. 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢? 新知 4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的 集合,记作 N; * 正整数集:所有正整数的集合,记作 N 或 N+; 整数集:全体整数的集合,记作 Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; 实数集:全体实数的集合,记作 R. 试试 4:填∈或 ? :0 3.7 Z, - 3

二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数; ② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形; 2④ x , 3 x + 2 , 5 y 3 - x , x 2+ y 2 ; ⑤ 东升高中高一级全体学生; ⑥ 方程 x 2 + 3x = 0 的所有实数根; ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车; ⑧ 2008 年 8 月,广东所有出生婴儿. 试回答: 各组对象分别是一些什么?有多少个对象?

新知 1:一般地, 我们把研究对 象统称为元素 (element) ,把一些元素组成的总体叫做集合(set) . 试试 1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分 别是什么?

N,0 Q, 3 - 2

R,3.7 R.

N,

1

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第一章 集合与函数概念

探究 5:探究 1 中①~⑧分别组成的集合,以及常 见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描述 一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找 到一种简单的方法呢? 新知 5:列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }” 括起来,这种表示集合的方法叫做列举法. 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同. 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举 法表示出来,试写出其表示.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是(). A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合 C.集合{1, 2,3, 4,5}和{5, 4,3, 2,1}表示同一个集合

1361

D. 1,0.5, , , , 这六个数能组成一个集合
2244

2. 给出下列关系:
1

① = R ;② 2 ?Q ;③ -3 ?N + ;④ - 3 ?Q.
2

※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合: ① 15 以内质数的集合; ② 方程 x( x 2 - 1) = 0 的所有实数根组成的集合; ③ 一次函数 y = x 与 y = 2 x - 1 的图象的交点组成 的集合.

其中正确的个数为( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. 直线 y = 2 x + 1 与 y 轴的交点所组成的集合为 (). A. {0,1} B. {(0,1)}
11

C. {- ,0} D. {(- , 0)}
22

4. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合,则: 深圳 A; 广州 A. (填∈或 ? ) 5. “方程 x 2 - 3x = 0 的所有实数根”组成的集合用 列举法表示为____________.

业作后课

变式:用列举法表示“一次函数 y = x 的图象与二 次函数 y = x 2 的图象的交点”组成的集合.

1. 用列举法表示下列集合: (1)由小于 10 的所有质数组成的集合; (2)10 的所有正约数组成的集合; (3)方程 x 2 - 10 x = 0 的所有实数根组成的集合.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中 元素三特征;③常见数集及表示;④列举法. ※ 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创 立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念:把若干 确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合 并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各 事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那 一天定为集合论诞生日.

2. 设 x∈R,集合 A = {3, x, x 2 - 2 x} . (1)求元素 x 所应满足的条件; (2)若 -2 ?A ,求实数 x.

2

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编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 1.1.1 集合的含义与表示(2)
标目习学

※ 典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x( x 2 - 1) = 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关 系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法 或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的 意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合 元素的三个特征.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P4~ P5,找出疑惑之处) 复习 1:一般地,指定的某些对象的全体称为 . 其中的每个对象叫作 . 集合中的元素具备、、特征. 集合与元素的关系有、 . 复习 2:集合 A = { x 2 + 2 x + 1} 的元素是 若 1∈A,则 x= . 复习 3:集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素 分别是什么?四个集合有何关系? ,

练习:用描述法表示下列集合. (1)方程 x3 + 4 x = 0 的所有实数根组成的集合; (2)所有奇数组成的集合.

二、新课导学 ※ 学习探究 思考: ① 你能用自然语言描述集合{2, 4,6,8} 吗? ② 你能用列举法表示不等式 x - 1 < 3 的解集吗?

小结: 用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看, x ?R 、 x ?Z 明确时可省略,例如 {x | x = 2k - 1, k ?Z } ,{x | x > 0} . 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)抛物线 y = x 2 - 1 上的所有点组成的集合;
ì 3x+2y=2

(2)方程组 í 解集.
2 x + 3 y = 27 ?

探究:比较如下表示法 ① {方程 x 2 - 1 = 0 的根}; ② {-1,1} ; ③ {x ?R | x 2 - 1 = 0} .

新知:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 称为描述法,一般形式为{x ?A | P} ,其中 x 代表 元素,P 是确定条件. 试试:方程 x 2 - 3 = 0 的所有实数根组成的集合,用 描述法表示为 .
3

变式:以下三个集合有什么区别. (1) {( x, y ) | y = x 2 - 1} ; (2) { y | y = x 2 - 1} ; (3) {x | y = x 2 - 1} .

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第一章 集合与函数概念

反思与小结: ① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元 素,如 {( x, y ) | y = x 2 - 1} 与 { y | y = x 2 - 1} 不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略, 例如{x | x > 1} ,{x | x = 3k , k ?Z } . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如: {整数}, 即代表整数集 Z,所以不必写{全体整数}.下列写法 {实数集},{R}也是错误的. ④ 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题 确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较 多或有无限个元素时,不宜采用列举法.

※ 动手试试 练 1. 用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 A = {x ?N |1 ?x < 6} ,则下列正确的是( ) . A. 6 ?AB. 0 ?A C. 3 ?AD. 3.5 ?A 2. 下列说法正确的是(). A.不等式 2 x - 5 < 3 的解集表示为{x < 4} B.所有偶数的集合表示为{x | x = 2k} C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x 2 - 4 = 0 实数根的集合表示为{(- 2)}2, 3. 一次函数 y = x - 3 与 y = -2 的图象的交点组成x 的集合是(). A. {1, - 2}B. {x = 1, y = - 2}

C. {(- 2,1)} )} D. {( x, y | í
y = -2 x ?

ì y=x-3

4. 用列举法表示集合 A = {x ?Z | 5 ?x < 10} 为 练 2. 已 知 集 合 A = {x | -3 < x < 3, x ?Z } , 集 合
B = {( x, y ) | y = x 2 + 1, x ?A} . 试用列举法分别表示

集合 A、B.

. 5.集合 A={x|x=2n 且 n∈N}, B = {x | x2 - 6x + 5 = 0} , 用∈或 ? 填空: 4 A,4 B,5 A,5 B.

业作后课

1. (1)设集合 A = {( x, y ) | x + y = 6, x ?N , y ?N } , 试用列举法表示集合 A. (2)设 A={x|x=2n,n∈N,且 n<10},B={3 的 倍数},求属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的三种表示方法(自然语言、列举法、描述 法); 2. 会用适当的方法表示集合; ※ 知识拓展 1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如:
( 2 1 ) 所 有 直 角 三 角 形 的 集 合 可 以 表 示 为 : 2. 若 集合 A = {-1,3} ,集合 B = { x | x + ax + b = 0} , {x | x是直角三角形} ,也可以写成:{直角三角形}; 且 A = B ,求实数 a、b. (2)集合 {( x, y ) | y = x 2 + 1} 与集合 { y | y = x 2 + 1} 是 同一个集合吗? 2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合,即:文氏图,或称 Venn 图.

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§ 1.1.2 集合间的基本关系
标目习学

1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集 合的子集; 2. 理解子集、真子集的概念; 3. 能利用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图 示对理解抽象概念的作用; 4. 了解空集的含义.

② 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部 代表集合,这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两 个集合间的“包含”关系为: A ?B (或 ? A) . B A B

③ 集合相等:若 A ?B且B ?A ,则 A = B 中的元 素是一样的,因此 A = B . ④ 真子集:若集合 A ?B ,存在元素 x ?B且x ?A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset),记 作:A B(或 B A),读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A).

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P6~ P7,找出疑惑之处) 复习 1:集合的表示方法有、、 ⑤ 空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty . 请用适当的方法表示下列集合. set),记作: ? . 并规定:空集是任何集合的子集, (1)10 以内 3 的倍数;(2)1000 以内 3 的倍数. 是任何非空集合的真子集.

试试:用适当的符号填空. (1){a, b } {a, b, c , a } 复习 2:用适当的符号填空. (1) 0 N; 2 Q; 1.5 R. (2)设集合 A = { x | ( x - 1) 2 ( x - 3) = 0} , B = {b} , 则 1 A;b B;{1,3} A. 思考:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想 集合间是否有类似的“大小”关系呢? (2) ? (3)N (4){0}
{x | x 2 + 3 = 0} ,
?

{a, b, c ;} R;

{0,1},Q N;
{x | x 2 - x = 0} .

反思:思考下列问题. (1)符号“ a ?A ”与“ {a} ?A ”有什么区别? 试举例说明.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的 关系: A = {3,6,9} 与 B = { x | x = 3k , k ?N * 且k ?333} ; C = {东升高中学生} 与 D = {东升高中高一学生} ; E = {x | x( x - 1)( x - 2) = 0} 与 F = {0,1, 2} .

(2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个 集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论.

新知:子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素, 我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset),记作: A ?B (或B ? A) ,读作: A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B .

(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出 什么结论? ① 若a? b, 且b ? a , 则a = b ; ② 若a? b, 且b ? c, 则 ? c.a

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第一章 集合与函数概念

※ 典型例题 例 1 写出集合 {a, b, c 的所有的子集,并指出其中} 哪些是它的真子集.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列结论正确的是(). A. ? A B. ? ?{0} C. {1, 2} ?ZD. {0} ?{0,1}
2. 设 A = { x x > 1} , B = { x x > a} ,且 A ?B ,则实数

变式:写出集合{0,1, 2}的所有真子集组成的集合.

a 的取值范围为(). A. a < 1 B. a ?1 C. a > 1 D. a ? 1 3. 若 {1, 2} = { x | x 2 + bx + c = 0} ,则(). A. b = -3, c = 2 B. b = 3, c = - 2 C. b = -2, c = 3 D. b = 2, c = - 3

例 2 判断下列集合间的关系: (1) A = {x | x - 3 > 2} 与 B = {x | 2 x - 5 ? 0} ;

4. 满足 a, b ? A ?{ , b c d 的集合 A 有 个. { } a , , } 5. 设集合 A = {四边形}, B = {平行四边形}, C = {矩形} , D = {正方形} ,则它们之间的关系是 , 并用 Venn 图表示.

(2)设集合 A={0,1},集合 B = {x | x ?A} ,则 A 与 B 的关系如何?

变式:若集合 A = {x | x > a} , B = {x | 2 x - 5 ? 0} ,且 满足 A ?B ,求实数 a 的取值范围.

业作后课

※ 动手试试 练 1. 已知集合 A = { x | x 2 - 3 x + 2 = 0} ,B={1,2}, C = {x | x < 8, x ?N } ,用适当符号填空: A B,A C,{2} C,2 C.

1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该 产品才合格. 若用 A 表示合格产品的集合,B 表示 质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的 集合.则下列包含关系哪些成立? A ?B, B ?A, A ?C , C ?A 试用 Venn 图表示这三个集合的关系.

练 2. 已知集合 A = {x | a < x < 5} , B = {x | x ? 2} , 且满足 A ?B ,则实数 a 的取值范围为 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图图示;一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等” 两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注意 区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.

2. 已知 A = { x | x 2 + px + q = 0} , = {x | x2 - 3x + 2 = 0} B 且 A ?B ,求实数 p、q 所满足的条件.

※ 知识拓展
n

如果一个集合含有 n 个元素,那么它的子集有

2

个,真子集有 2 n - 1 个.
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§ 1.1.3 集合的基本运算(1)
标目习学

1. 理解交集与并集的概念,掌握交集与并集的区别 与联系; 2. 会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用 它们解决一些简单问题; 3. 能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示 对理解抽象概念的作用.

② 类比说出并集的定义. 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做 A 与 B 的并集(union set),记作: A ??B ,读作:A 并 B,用描述法表示是: A ??B = { x | x ?A, 或 ?B} . x

Venn 图如右表示.

A

B

程过习学

试试: (1) A={3,5,6,8}, B={4,5,7,8},则 A∪B=; (2)设 A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B=;

一、课前准备 (预习教材 P8~ P9,找出疑惑之处) (3)A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B=, 复习 1:用适当符号填空. A∩B= .
2

0 {0}; 0{x|x +1=0,x∈R}; (4)分别指出 A、B 两个集合下列五种情况的交集? ; ? A(B) {0} {x|x<3 且 x>5} ;{x|x> -3} {x|x>2} ; 部分、并集部分 复习 2:已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5} ,则 A B A S, . {x|x>6} {x|x< - 2 或 x>5}. {x|x∈S 且 x ? A}= . 思考:实数有加法运算,类比实数的加法运算,集 合是否也可以“相加”呢? A B

A

B

A

B

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:设集合 A = {4,5, 6,8} , B = {3,5,7,8} . (1)试用 Venn 图表示集合 A、B 后,指出它们的 公共部分(交)、合并部分(并);

反思: (1)A∩B 与 A、B、B∩A 有什么关系?

(2)A∪B 与集合 A、B、B∪A 有什么关系?

(3)A∩A= A∩ ? =

;A∪A= ;A∪ ? =

. .

(2)讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两 个集合的交、并?

※ 典型例题 例 1 设 A = {x | -1 < x < 8} , B = { x | x > 4或x < -5} , 求 A∩B、A∪B.

新知:交集、并集. ① 一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元 素所组成的集合,叫作 A、B 的交集(intersection set),记作 A∩B,读“A 交 B”,即:
A ??B = {x | x ?A, 且 ?B}. x

Venn 图如右表示.

A

B

变式:若 A={x|-5≤x≤8}, B = { x | x > 4或x < -5} , 则 A∩B= ;A∪B= . 小结:有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.

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第一章 集合与函数概念

例 2 设 A = {( x, y) | 4x + y = 6} , = {(x, y)| 3x + 2y = 7} B, 求 A∩B.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设 A = { x ?Z x ?5} , B = { x ?Z x > 1} , 那么 A ??B B.{2,3, 4,5} 变式: (1)若 A = {( x, y) | 4x + y = 6} , B = {(x, y)| 4x + y = 3} , C.{2,3, 4} D. { x 1 < x ?5 } 则 A ??B =; 2. 已知集合 M={(x, y)|x+y=2},N={(x, y)|x-y=4}, (2) A = {( x, y) | 4x + y = 6} , = {(x, y)|8x + 2y =12} 若 B , 那么集合 M∩N 为(). 则 A ??B =. A. x=3, y=-1 B. (3,-1) 反思:例 2 及变式的结论说明了什么几何意义? C.{3,-1} D.{(3,-1)} 3. 设 A = {0,1, 2,3, 4,5} , B = {1,3,6,9}, C = {3,7,8} ,则 ( A ??B) ??C 等于(). A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8} 4. 设 A = {x | x > a} , = {x | 0 < x < 3} ,B若 A ??B = ? , 求实数 a 的取值范围是 . 5. 设 A = x x 2 - 2 x - 3 = 0 , B = x x 2 - 5 x + 6 = 0 , 则 A ??B = . 等于(). A.{1, 2,3, 4,5}

※ 动手试试 练 1. 设集合 A = {x | -2 < x < 3}, B = { x |1 < x < 2} . 求 A∩B、A∪B.

{

}

{

}

业作后课

1. 设平面内直线 l 上点的集合为 L ,l 1 1 直线 练 2. 学校里开运动会, A={ x | x 是参加跳高的同设 学},B={ x | x 是参加跳远的同学},C={ x | x 是参加 投掷的同学},学校规定,在上述比赛中,每个同 学最多只能参加两项比赛,请你用集合的运算说明 这项规定,并解释 A ??B 与 B ??C 的含义. 线 l 的位置关系?2 (1) L1 ??L2 = {点P} ; (2) L1 ??L2 = ? ; (3) L1 ??L2 = L1 = L2 .

2

上点的

集合为 L ,试分别说明下面三种情况时直线 l 与直2 1

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质; 2. 求交集、并集的两种方法:数轴、Venn 图. ※ 知识拓展
A ??B ??C)(A ??B)(A ??C)(=?, A ??B ??C)(A ??B)(A ??C)(=?, (A ??B) C = A ??B ??C)?(, (A ??B) C = A ??B ??C)?(, A ??A ??B) A,A ??A ??B) A . (=(=

若关于 x 的方程 3x +px-7=0 的解集为 A,方程 1 2 3x -7x+q=0 的解集为 B, A∩B={ - }, A ??B .且求
3

2 2.

你能结合 Venn 图,分析出上述集合运算的性质吗?

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§ 1.1.3 集合的基本运算(2)
标目习学

试试: (1)U={2,3,4},A={4,3},B= ? ,则 CU A =
CU B = ;



1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求 给定子集的补集; 2. 能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示 对理解抽象概念的作用.

(2) U={x|x<8,设且 x∈N},A={x|(x2)(x4)(x5) =0},则 CU A =; (3)设集合 A = {x | 3 ?x < 8} , ? A = 则 R ; (4)设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A =. 反思: (1)在解不等式时,一般把什么作为全集?在研 究图形集合时,一般把什么作为全集? (2)Q 的补集如何表示?意为什么?

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P10~ P11,找出疑惑之处) 复习 1:集合相关概念及运算. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素, 则称集合 A 是集合 B 的,记作 . 若集合 A ?B ,存在元素 x ?B且x ?A ,则称集合 A 是集合 B 的,记作 . 若 A ?B且B ?A ,则 . ② 两个集合的部分、部分,分别 是它们交集、并集,用符号语言表示为: A?B =; A ??B =.

※ 典型例题 例 1 设 U={x|x<13,且 x∈N},A={8 的正约数}, B={12 的正约数},求 CU A 、 CU B .

复习 2:已知 A={x|x+3>0}, B={x|x≤-3},则 A、 B、R 有何关系?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:设 U={全班同学}、A={全班参加足球队的同 学}、B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、 B 有何关系?

例 2 设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求 A∩B、A∪B、 CU A 、 CU B . 新知:全集、补集. ① 全集:如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集 (Universe),通常记作 U. ② 补集:已知集合 U, 集合 A ? U,由 U 中所有不 属于 A 的元素组成的集合,叫作 A 相对于 U 的补 集(complementary set),记作: CU A ,读作:“A 在 U 中补集”,即 CU A = {x | x ? U , 且 ?A} . x 补集的 Venn 图表示如右:

变式:分别求 CU ( A ??B 、 (CU A) ??(CU B .) )

说明:全集是相对于所研究问题而言的一个相对 概念,补集的概念必须要有全集的限制.
9

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第一章 集合与函数概念

※ 动手试试 练 1. 已知全集 I={小于 10 的正整数},其子集 A、 B 满足 (C I A) ??(CI B ) = {1,9} , (C I A) ??B = {4,6,8} , A ??B = {2} . 求集合 A、B.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设全集 U=R,集合 A = { x | x 2 ? 1} , CU A = 则 () A. 1 B. -1,1 C. {1} D. {- 1,1} 2. 已知集合 U={x | x > 0} , CU A = { x | 0 < x < 2} , 那么集合 A = (). A. {x | x ?0或 ? 2} xB. {x | x < 0或 > 2} x C. {x | x ? 2} D. {x | x > 2} 3. 设全集 I = {0, -1, -2, -3, - } ,集合 M = {0, -1, - } ,4 2

N = {0, -3, -4 ,则

( ?I M ) ??N =
B. D. ?

(}

).

A.{0} C.

{-3, - } 4

{-1, - } 2

练 2. 分别用集合 A、B、C 表示下图的阴影部分.

4. 已知 U={x∈N|x≤10},A={小于 11 的质数},则 CU A = . 5. 定义 A—B={x|x∈A,且 x? B},若 M={1,2,3,4,5}, N={2,4,8},则 N—M= .

业作后课

(1)



(2)



1. 已 知 全集 I= {2,3, a 2 + 2a - 3} , 若 A = {b, 2} ,
C I A = {5} ,求实数 a, b .

(3)



(4)

.

反思: 结合 Venn 图分析,如何得到性质: (1) A ??(CU A) =, A ??(CU A) = (2) CU (CU A) = .



三、总结提升 ※ 学习小结 1. 补集、全集的概念;补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法:数轴、Venn 图. ※ 知识拓展 试结合 Venn 图分析,探索如下等式是否成立? (1) CU ( A ??B ) = (CU A) ??(CU B ) ; (2) CU ( A ??B ) = (CU A) ??(CU B ) .

2. 已知全集 U=R,集合 A= { x x 2 + px + 2 = 0 ,}
B=

{ xx

2

-5x+q=0
新疆新敞 王 奎屯

},

若 (CU A) ??B = {2 ,} 试用列

举法表示集合 A

10

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编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 1.1 集合(复习)
标目习学

例 2 已 知 全 集 U = {1, 2,3, 4,5} , 若 A ??B = U ,
A ??B ? ? , A ??(CU B ) = {1, 2} ,求集合 A、B.

1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质, 能运行性质解决一些简单的问题,掌握集合的有关 术语和符号; 2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算,体 会直观图示对理解抽象概念的作用.

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P2~ P14,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫交集、并集、补集?符号语言如何 表示?图形语言? A?B =; A?B =; CU A = .

小结: 列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法.

例 3 若 A = x x2 - 4x + 3 = 0 , B = x x2 - ax + a - 1 = 0 , 复习 2:交、并、补有如下性质. A∩A=;A∩ ? =; A∪A=;A∪ ? =; A ??(CU A) =; A ??(CU A) =
CU (CU A) = .

{

}

{

}

C = x x 2 - mx + 1 = 0 且A ??B = A, A ??C = C ,求实 数 a、m 的值或取值范围. ;

{

}

你还能写出一些吗?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设 U=R, = {x | -5 < x < 5} , = {x | 0 ?x < 7} . AB 求 A∩B、A∪B、C U A 、C U B、(C U A)∩(C U B)、 (C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B).

变式:设 A = {x | x2 - 8x + 15 = 0} , B = {x | ax - 1 = 0} , 若B? A,求实数 a 组成的集合、.

小结: (1)不等式的交、并、补集的运算,可以借助数 轴进行分析,注意端点; (2)由以上结果,你能得出什么结论吗?
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第一章 集合与函数概念

※ 动手试试 练 1. 设 A = {x | x 2 - ax + 6 = 0} , = {x | x2 - x + c = 0} ,B
且 A∩B={2},求 A∪B.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() .
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如果集合 A={x |ax 2 + 2x + 1=0}中只有一个元 素,则 a 的值是(). A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 2. 集合 A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=4k,k∈Z},则 A 与 B 的关系为(). A.A ? B B.A ? B ? ? 练 2. 已知 A={x|x<2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。 C.A=B D.A? B 3. 设全集 U = {1, 2,3, 4,5, 6,7} ,集合 A = {1,3,5} ,集 合 B = {3,5} ,则(). A.U = A ??B B. U = (CU A) ??B

C. U = A ??(CU B ) D. U = (CU A) ??(CU B ) 4. 满足条件{1,2,3} ?M ?{1,2,3,4,5,6}的集合 M 的
??

个数是 . 5. 设集合 M = { y | y = 3 - x 2 } , = { y | y = 2 x 2 - 1} ,N 则 M ??N =. 3. 设 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|x 业作后课 2 -5x+6=0},C={x|x +2x-8=0}. 1. 设全集 U = { x | x ?5, 且x ?N *} ,集合 (1)若 A=B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值. A = { x | x 2 - 5 x + q = 0} , B = {x | x 2 + px + 12 = 0} , 且 (CU A) ??B = {1, 2,3, 4,5} ,求实数 p、q 的值.
222练

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的交、并、补运算. 2. Venn 图示、数轴分析. ※ 知识拓展 集合中元素的个数的研究: 有限集合 A 中元素的个数记为 n( A ,)
则 n( A ??B) = n( A) + n( B) - n( A ??B) . 你能结合 Venn 图分析这个结论吗? 能再研究出 n( A ??B ??C ) 吗?

2 2 2. 已知集合 A={x|x 3x+2=0},B={x|x ax+3a5=0}. 若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围.

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§ 1.2.1 函数的概念(1)
标目习学

归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对 于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数 集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: : A ? B . f 新知:函数定义. 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x 和它对应,那么称 )
f: A ? B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数

1. 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间 的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集 合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画 函数概念中的作用; 2. 了解构成函数的要素; 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P15~ P17,找出疑惑之处) 复习 1:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪 些变量?变量之间有什么关系?

(function),记作: y = f ( x ), x ?A . 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域 (domain) 与 x 的值对应的 y 值叫函数值,,函数值 的集合{ f ( x) | x ?A} 叫值域(range). 试试: (1)已知 f ( x) = x 2 - 2 x + 3 , f (0) 、 (1) 、 (2) 、 求 f f f ( -1) 的值.

复习 2:(初中对函数的定义)在一个变化过程中, 有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是 自变量,y 是因变量. 表示方法有:解析法、列表 法、图象法.

(2)函数 y = x 2 - 2 x + 3, x ?{-1, 0,1, 2} 值域是 反思: (1)值域与 B 的关系是 三要素是、、 (2)常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数
反比例函数

.

;构成函数的 . 定义域 值域

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数模型思想及函数概念 问题:研究下面三个实例: A. 一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高 为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米)与时间 t 秒)( 的变化规律是 h = 130t - 5 2 . t

解析式

y = ax + b ( a ? 0) y = ax2 + bx + c , 其中 a ? 0
y= k (k ? 0) x

B. 近几十年,大气层中 臭氧迅速减少,因而出 现臭氧层空洞问题,图 中曲线是南极上空臭氧 层空洞面积的变化情况.

探究任务二:区间及写法 新知:设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: {x | a ?x ?b} = [ a, b] 叫闭区间; {x | a < x < b} = ( a, b) 叫开区间; {x | a ?x < b} = [ a, b) , x | a < x ?b} = ( a, b] 都叫半{ C. 国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷ 总支出 金额)反映一个国家人民生活质量的高低. “八五” 开半闭区间. 实数集 R 用区间 ( -? , +? ) 表示, “∞” “无其中读 计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 穷大”“-∞”读“负无穷大”“+∞”读“正无穷;; 年份 1991 1992 1993 1994 1995 … 系数% 大”. 试试:用区间表示. 恩格尔 (1){x|x≥a}= 、{x|x>a}= 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 … {x|x≤b}= 、{x|x<b}= 围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应 ( 2 ) { x | x < 0 或 > 1} = x . 关系? 三个实例有什么共同点? (3)函数 y= x 的定义域 值域是 . (观察法)
13

、 .



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第一章 集合与函数概念

※ 典型例题
例 1 已知函数 f ( x) = x + 1 . (1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示); (3)求 f ( a 2 - 1) 的值.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知函数 g (t ) = 2t 2 - 1 ,则 g (1) = (). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 f ( x) = 1 - 2 x 的定义域是().
11

A. [ , +?) B. ( , +?)
22 11

C. ( -? ],D. ( -? ),
22

变式:已知函数 f ( x =)

1 x+1

3. 已知函数 f ( x) = 2 x + 3 , f ( a) = 1 , (若 则 a= ) . A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 函数 y = x 2 , x ?{-2, -1,0,1, 2} 的值域是 . .
2

5. 函数 y = - 的定义域是,
x

(1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示); (3)求 f ( a 2 - 1) 的值.

值域是 .(用区间表示)

业作后课

1. 求函数 y =

1

的定义域与值域.
x-1

※ 动手试试 练 1. 已 知 函 数 f ( x) = 3 x 2 + 5 x - 2 , 求 f (3) 、
f ( - 2) 、 f ( a + 1) 的值.

练 2. 求函数 f ( x =)

1

2. 已知 y = f (t ) = t - 2 , t ( x) = x 2 + 2 x + 3 . (1)求 t (0) 的值; (2)求 f (t ) 的定义域; (3)试用 x 表示 y. 的定义域.

4x+3

三、总结提升 ※ 学习小结 ①函数模型应用思想;②函数概念;③二次函数 的值域;④区间表示. ※ 知识拓展 求函数定义域的规则:
① 分式: y =
f(x)

,则 g ( x) ? 0;

g ( x) ② 偶次根式: y = 2 n f ( x) (n ?N * ) ,则 f ( x ) ? 0;
0

③ 零次幂式:y = [ f ( x )] , 则 f(x)? 0.
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§ 1.2.1 函数的概念(2)
标目习学

1. 会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区 间”的符号表示; 2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.

小结: ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等(或为同一函数); ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关 系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.

※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域 (用区间表示).
(1) f ( x =)
x-3

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P18~ P19,找出疑惑之处) 复习 1:函数的三要素是、、 .
2


1

x2 -2 (2) f ( x) = 2 x - 9 ;

3x

(3) f ( x) = x + 1 +.
x-2

函数 y =与 y=3x 是不是同一个函数?为何?
x

复习 2:用区间表示函数 y=kx+b、 y=ax 2 +bx+c、
k

y= 的定义域与值域,其中 k ? 0,a? 0.
x

试试:求下列函数的定义域 (用区间表示).
x-2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数相同的判别
3

(1) f ( x) =+ -3 x + 4 ;
x-3 1

(2) f ( x) = 9 - x +.
x-4
2

x x

讨论:函数 y=x、 y=( x ) 、 有何关系?

2



4

x 4 、 x 2 y= y= y=

试试:判断下列函数 f ( x 与 g ( x 是否表示同一个) ) 函数,说明理由? ① f ( x = ( x - 1) 0 ; g ( x = 1. ) ) ② f ( x = x; g ( x = ) ) x 2 . ③ f ( x = x 2 ; g ( x = ( x + 1) 2 . ) ) ④ f ( x = | x | ; g ( x = ) )x 2 . 小结: (1)定义域求法(分式、根式、组合式); (2)求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等 式(组).
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第一章 集合与函数概念

例 2 求下列函数的值域(用区间表示): (1)y=x 2 -3x+4; (2) f ( x) = x 2 - 2 x + 4 ;
-5 x - 2

(3)y= ;(4) f ( x =) .
x+3x+3

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 f ( x) = 1 - x + x + 3 - 1 的定义域是( ) . A. [ - 3,1]B. ( - 3,1)C. R D. ?
2x-1

2. 函数 y =的值域是().
3x+2 11 22 A. ( -?, - ) ??( - , +?) B. ( -? , ) ??( , +?) 3333 11 C. ( -?, - ) ??(- , +?) D. R 22 3. 下列各组函数 f ( x)与g ( x 的图象相同的是) ( ) A. f ( x) = x, g ( x) = ( x ) 2 ax + b

B. f ( x) = x 2 , g ( x ) = ( x + 1) 2 C. f ( x) = 1, g ( x) = x0
ì x (x? 0) ) D. f ( x) =| x |, g(x =í

变式:求函数 y =(ac ? 0) 的值域.
cx + d

小结: 求函数值域的常用方法有: 观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

4. <函数 0) f(x) =
+1 +

-? 1 x(x

的定义域用区间表示x
2-x

是. 5. 若 f ( x - 1) = x 2 - 1 ,则 f ( x = ) .
业作后课

※ 动手试试 练 1. 若 f ( x + 1) = 2 x 2 + 1 ,求 f ( x . )

1. 设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的 面积 y 关于 x 的函数的解析式,并写出定义域.

练 2. 一次函数 f ( x 满足 f [ f ( x )] = 1 + 2 , f ( x . ) x 求 )

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 定义域的求法及步骤; 2. 判断同一个函数的方法; 3. 求函数值域的常用方法. ※ 知识拓展 对于两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x) ,通过中间变 量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称它为函数 y = f (u ) 和 u = g ( x) 的复合函数,记作 y = f ( g ( x )) .
例如 y = x 2 - 1 由 y = u 与 u = x 2 - 1 复合.

已知二次函数 f(x)=ax +bx (a, b 为常数,且 a≠0) 满足条件 f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根,求 f(x)的解析式.
2 2.

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编写:高建彪

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§ 1.2.2 函数的表示法(1)
标目习学

※ 典型例题 例 1 某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2,3, 4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法表示函 数y= f(x).

1. 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图 象法),了解三种表示方法各自的优点,在实际情 境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函 数; 2. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单 应用.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P19~ P21,找出疑惑之处) 复习 1: (1)函数的三要素是、、 .
1

(2)已知函数 f ( x = 2 ,则 f (0) =) ,
x-1 1 f ( ) = , f ( x 的定义域为 ) . x

(3)分析二次函数解析式、股市走势图、银行利 变式:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y (元). 试用三种方法表示此实例中的函数. 率表的表示形式. 复习 2:初中所学习的函数三种表示方法?试举出 日常生活中的例子说明.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数的三种表示方法 讨论:结合具体实例,如:二次函数解析式、股市 走势图、银行利率表等,说明三种表示法及优缺点.

反思: 例 1 及变式的函数图象有何特征?所有的函数都 可用解析法表示吗?

例 2 邮局寄信,不超过 20g 重时付邮资 0.5 元,超 过 20g 重而不超过 40g 重付邮资 1 元. 每封 x 克(0<x ≤40)重的信应付邮资数 y(元). 试写出 y 关于 x 的函数解析式,并画出函数的图象.

小结: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应 关系. 优点:简明;给自变量求函数值. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关 系. 优点:不需计算就可看出函数值.
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第一章 集合与函数概念

变式: 某水果批发店, kg 内单价 1 元/kg, 100500 kg 内、100 kg 及以上 0.8 元/kg,500 kg 及以上 0.6 元/kg,试写出批发 x 千克应付的钱数 y(元)的 函数解析式.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如下图可作为函数 y = f ( x ) 的图象的是( ).

试试:画出函数 f(x)=|x-1|+|x+2|的图象. A. B. C. 2. 函数 y =| x - 1| 的图象是( ). D.

A. 小结: 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围 的 x,对应法则不同). 在生活实例有哪些分段函 数的实例?

B.

C.

D.

ì x + 2, ( x ≤ -1) ? 3. 设 f ( x) = í x2 , (-1 < x < 2) , f ( x ) = 3 , x= ) 若 则( ? 2 x, ( x ≥ 2) ? 3 3 A. 1 B. ± 3 C. 2 D. ì x2 2(x? 2) ? +

※ 动手试试
ì 2 x + 3, x ?( -?,0) 练 1. 已知 f ( x = í 2 ) , 求 f (0) 、 ? 2 x + 1, x ?[0, +?)

4. 设函数 f = í (x), f ( -1) = 则 5. 已知二次函数 f ( x 满足 f (2 - x) = f (2 + x) ,且) 图象在 y 轴上的截距为 0,最小值为-1,则函数 f ( x 的解析式为 ) .
2 x ( x<2) ? ?

.

f [ f (-1)] 的值.

业作后课

1. 动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动一 周,设沿正方形 ABCD 的运动路程为自变量 x,写 出 P 点与 A 点距离 y 与 x 的函数关系式,并画出函 数的图象. 练 2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆 形木头锯成矩形木料,如果矩形的边长 为 x ,面积为 y ,把 y 表示成 x 的函数.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数的三种表示方法及优点; 2. 分段函数概念; 3. 函数图象可以是一些点或线段. ※ 知识拓展 任意画一个函数 y=f(x)的图象,然后作出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象,并尝试简要说明三者(图象) 之间的关系.

2. 根据下列条件分别求出函数 f ( x 的解析式. )
11 1

(1) f ( x + ) = x 2 + 2 ; (2) f ( x) + 2 f ( ) = 3 .x
xxx

18

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编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 1.2.2 函数的表示法(2)
标目习学

1. 了解映射的概念及表示方法; 2. 结合简单的对应图示,了解一一映射的概念; 3. 能解决简单函数应用问题.

新知:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果 按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射(mapping).记作“ f : A ? B ” 关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f.

程过习学

试试:分析例 1 ①~③是否映射?举例日常生活中 的映射实例?

一、课前准备 (预习教材 P22~ P23,找出疑惑之处) 复习:举例初中已经学习过的一些对应,或者日常 生活中的一些对应实例: ① 对于任何一个,数轴上都有唯一的 点 P 和它对应; ② 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的 和它对应; ③ 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积 和它对应; ④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确 定的座位与它对应. 你还能说出一些对应的例子吗?

反思: ① 映射的对应情况有、, 一对多是映射吗? ② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若 将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空 集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素 之间的对应关系,即映射.

讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点?

※ 典型例题 例 1 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则,哪些 是映射,哪些是一一映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R; (2)A={三角形},B={圆}; (3)A={ P | P 是平面直角体系中的点}, B = {( x, y ) | x ?R, y ?R} ; (4) A={高一学生},B= {高一班级}.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:映射概念 探究 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的 一些对应关系,并用图示意. ① A = {1, 4,9} , B = {-3, -2, -1,1, 2,3} ,对应法则: 开平方; ② A = {-3, -2, -1,1, 2,3} , B = {1, 4,9} ,对应法则: 平方;
231 ,, } , 对应法 222

变式:如果是从 B 到 A 呢?

③ A = {30° , 45° ,60° , B = {1,} 则:求正弦.

试试:下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射 (1)A = { 1,2,3,4} , B ={2,4,6,8 ,;} 对应法则是“乘以 2” (2)A= R*,B=R,对应法则是“求算术平方根”; (3) A = { x | x ? 0} , B = R,对应法则是“求倒数”.

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第一章 集合与函数概念

※ 动手试试 练 1. 下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射?
(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() .
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 对应法则 f : x ? 2 x + 1 ; (2) A = N * , B = {0,1} ,对应法则 f : x ? x 除以 2 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在映射 f : A ? B 中, A = B = {( x, y ) | x, y ?R} , 得的余数; 则与 A 中的元素 ( -1, 2)(3) A = N , B = {0,1, 2} , f : x ? x 被 3 除所得的 且 f : ( x, y ) ? ( x - y , x + y ) , 对应的 B 中的元素为(). 余数; A. ( - 3,1)B. (1,3) C. ( -1, - 3) D. (3,1) 1 1 1 1 (4)设 X = {1, 2,3, 4}, Y = {1, , , } f : x ? ; 2 3 4 x2.下列对应 f : A ? B : ③ A = { x ?R x > 0} , B = R, f : x ? x 2 . (5) A = {x | x > 2, x ?N }, B = N , f : x ? 小于 x 的 A 映射的有() ① A =不是从集合 R,B={ x? R到 x >B 0} ,f:x?x? . A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 最大质数. ② A = N , B = N * , f : x ?ì x0- (1x? < 0)
?

3. 已知 f ( x) = í p ( x = 0) , f { f [ f ( - = 则 1)]} ( ) A. 0
1x ? x + 1( x > 0) ? B. p C. 1 + pD.无法求

4. 若 f ( ) =, 则 f (x = ) .
x1-x
25.

已知 f(x)=x -1,g(x)= x +

.

练 2. 已知集合 A = {a, b} , B = {

1,0,1} , 从集合 A 到-

1 则 f[g(x)] =
业作后课

集合 B 的映射,试问能构造出多少映射?

1. 若函数 y = f ( x ) 的定义域为[-1,1],求函数
11 y = f ( x + )??f ( x - ) 的定义域. 44

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 映射的概念; 2. 判定是否是映射主要看两条:一条是 A 集合中的 元素都要有对应,但 B 中元素未必要有对应;二条 是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多 对一”的对应形式.

2. 中山移动公司开展了两种通讯业务:“全球通”, 月租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元;“神州行” 不缴月租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月 内通话 x 分钟,两种通讯方式费用分别为 y1 , y(元) . 2 (1)写出 y1 , y 与 x 之间的函数关系式?2 (2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费 用相同? (3)若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选 择哪种通讯方式?

※ 知识拓展 在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安 全,规定在此地段内,车距 d 是车速 v(千米/小 时)的平方与车身长 s(米)的积的正比例函数, 且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为 50 公里/小时时,车距恰好等于车身上,试写出 d 关于 v 的函数关系式(其中 s 为常数).

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§ 1.3.1 单调性与最大(小)值(1)
标目习学

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上 是增函数(increasing function).

1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的 单调性及其几何意义; 试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义. 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P27~ P29,找出疑惑之处) 引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型, 那么能否发现变化中保持不变的特征呢?

新知:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减 函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 反思: ① 图象如何表示单调增、单调减? ② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调 区间有什么关系? ③ 函数 f ( x) = x 2 的单调递增区间是, 单调递减区间是 .

复习 1:观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律: ① 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ② 能否看出函数的最大、最小值? ③ 函数图象是否具有某种对称性?

试试:如图,定义在[5,5]上的 f(x),根据图象说出 单调区间及单调性.

复习 2:画出函数 f ( x) = x + 2 、 f ( x) = x 2 的图象.

※ 典型例题 例 1 根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及 单调性,并运用定义进行证明.
(1) f ( x) = -3x + 2 ; 小结:描点法的步骤为:列表→描点→连线.
1

(2) f ( x = . )
x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:单调性相关概念 思考:根据 f ( x) = x + 2 、 f ( x) = x 2 ( x > 0) 的图象 进行讨论: x 的增大,随函数值怎样变化?当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

问题:一次函数、二次函数和反比例函数,在什么 区间函数有怎样的增大或减小的性质?

变式:指出 y = kx + b 、 y =

k (k ? 0) 的单调性. x

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第一章 集合与函数概念

例 2 物理学中的玻意耳定律 p = (k 为正常数),
V

k

告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大时, 压强 p 如何变化?试用单调性定义证明.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x) = x 2 - 2 x 的单调增区间是() A. ( -?,1]B. [1, +?)C. R D.不存在 2. 如果函数 f ( x) = kx + b 在 R 上单调递减,( ) 则 A. k > 0 B. k < 0 C. b > 0 D. b < 0 3. 在区间 ( -? , 0) 上为增函数的是( )

A. y = - x2 小结: ① 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判 别代数式的符号; ② 证明函数单调性的步骤: 第一步:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; 第二步:计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简; 第三步:判断差的符号; 第四步:下结论. C. y = x | |

B. y = x D. y = - x 2 . ,

2

4. 函数 y = - x 3 + 1 的单调性是 5. 函数 f ( x) =| x - 2 | 的单调递增区间是 单调递减区间是 .
业作后课

1. 讨论 f ( x =)

1

的单调性并证明.

x-a

※ 动手试试
练 1.求证 f ( x ) = x + 是增函数.
1

的(0,1)上是减函数,在[1, +? )
x

练 2. 指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x ) =| x | ;(2) f ( x) = x 3 .

2. 讨论 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ? 0) 的单调性并证明.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 增函数、减函数、单调区间的定义; 2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法). 3. 证明函数单调性的步骤:取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展
函数 f ( x) = x +
x ( -? , - a ] ,减区间有 (0, a ] 、[ - a ,0) .
22

a

( a > 0) 的增区间有 [ a , +?) 、

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§ 1.3.1 单调性与最大(小)值(2)
标目习学

※ 典型例题 例 1 一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米)与时 间 t(秒)的变化规律是 h = 130t - 5 2 ,那么什么时t 刻距离地面的高度达到最大?最大是多少?

1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P30~ P32,找出疑惑之处) 复习 1:指出函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a > 0) 的单调 区间及单调性,并进行证明.

变式:经过多少秒后炮弹落地?

试试:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形 菜地,如何设计使菜地面积最大? 复习 2:函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a > 0) 的最小值 为 值为 , f ( x) = ax 2 + bx + c ( a < 0) 的最大 . 小结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数 模型→研究函数最大值.
3

复习 3:增函数、减函数的定义及判别方法.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数最大(小)值的概念 思考:先完成下表, 函数最高点 f ( x) = -2 x + 3 f ( x) = -2 x + 3 , x ?[- 2] 1,
f ( x) = x 2 + 2 x + 1 f ( x) = x 2 + 2 x + 1 , x ? [ -2, 2]

例2求y=

在区间[3,6]上的最大值和最小值.
x-2

最低点

讨论体现了函数值的什么特征? 变式:求 y = 新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值 (Maximum Value). 试试:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.
3+x ,x? [3, 6] 的最大值和最小值. x-2

小结: 先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大 (小)值. 试试:函数 y = ( x + 1) 2 + 2, x ?[0,1] 的最小值为 最大值为 . 如果是 x ?[-2,1] 呢? ,

反思: 一些什么方法可以求最大(小)值?

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第一章 集合与函数概念

※ 动手试试
练 1. 用多种方法求函数 y = 2 x + x - 1 最小值.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x) = 2 x - x 2 的最大值是(). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 y =| x + 1| +2 的最小值是(). A. 0 B. -1 C. 2 D. 3 3. 函数 y = x + x - 2 的最小值是().

变式:求 y = x + 1 - x 的值域.

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数 f ( x 的图象关于 y 轴对称,且在区间 ) ( -? , 0) 上,当 x = -1 时, f ( x 有最小值 3,则在区) 间 (0, +?) 上, x =当时, ( x 有最f ) 值为 . 5. 函数 y = - x 2 + 1, x ?[ -1, 2] 的最大值为 最小值为 . ,

业作后课

练 2. 一个星级旅馆有 房价(元) 住房率(%) 150 个标准房,经过一 160 55 段时间的经营,经理140 65 得到一些定价和住房120 75 100 85率的数据如右: 欲使每天的的营业额最高,应如何定价?

1. 作出函数 y = x 2 - 2 x + 3 的简图,研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最大值与最小值. (1) 1 ?x ?0 ;(2) ?x ?3 ; x ?(-? , +? . (3) ) -0

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数最大(小)值定义;. 2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图象 法、单调法. ※ 知识拓展 求二次函数在闭区间上的值域,需根据对称轴 与闭区间的位置关系,结合函数图象进行研究. 例 如求 f ( x) = - x 2 + ax 在区间[ m, n 上的值域,] 则先求
得 对 称 轴 x= , 再 分 < m 、 m ?<、
2 2 22 m+naa ?< n 、 ? n 等四种情况,由图象观察得解. 22 2 aaam+n

2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆形木 头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x , 面积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画 出函数的大致图象,并判断怎样锯才能 使得截面面积最大?

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§ 1.3.2 奇偶性
标目习学

反思: ① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别? ② 奇函数、偶函数的定义域关于对称, 图象关于对称.
1

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义; 2. 学会判断函数的奇偶性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

试试:已知函数 f ( x =) x2 在 y 轴左边的图象如图所 示,画出它右边的图象.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P33~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:指出下列函数的单调区间及单调性.
1

(1) f ( x) = x 2 - 1 ;(2) f ( x =)
x

※ 典型例题 例 1 判别下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) = 3 x 4 ; (2) f ( x) = 4 x 3 ;
1
3

(3) f ( x) = -3 x 4 + 5 x 2 ; (4) f ( x) = 3 x +

.
x

复习 2:对于 f(x)=x、f(x)=x 2 、f(x)=x 3 、f(x)=x 4 , 分别比较 f(x)与 f(-x).

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:奇函数、偶函数的概念 思考:在同一坐标系分别作出两组函数的图象:
(1) f ( x ) = x 、 f ( x =)
1

、 f ( x) = x 3 ; x 2 (2) f ( x) = x 、 f ( x ) = x | . |

观察各组图象有什么共同特征?函数解析式在 函数值方面有什么特征?

小结:判别方法,先看定义域是否关于原点对称, 再计算 f ( - x ) ,并与 f ( x 进行比较. ) 试试:判别下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|+|x-1|;
x 1

(2)f(x)=x+ ;
x

(3)f(x)= ;
1+x2

(4)f(x)=x 2 , x∈[2,3].

新知:一般地,对于函数 f ( x 定义域内的任意一个 ) x,都有 f ( - x ) = f ( x) ,那么函数 f ( x 叫偶函数) (even function). 试试:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function) 的定义.

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第一章 集合与函数概念

例 2 已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数, 判断 f(x)的(-∞,0)上的单调性,并给出证明.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f ( x 有() ). A. f ( x) - f ( - x) = 0 B. f ( x) + f (- x) = 0 C. f ( x)??f ( - x ) = 0 D. f (0) ? 0 2. 已知 f ( x 是定义 ( -? , +? ) 上的奇函数,且 f ( x ) ) 在 [ 0, +?) 上是减函数. 下列关系式中正确的是( ) A. f (5) > f (- 5) B. f (4) > f (3) C. f ( -2) > f (2) D. f ( -8) = f (8) 3. 下列说法错误的是().

变式:已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数, 试判断 f(x)在[b,a]上的单调性,并给出证明.

A. f ( x ) = x +

1

是奇函数
x

B. f ( x) =| x - 2 | 是偶函数 C. f ( x) = 0, x ?[-6, 6] 既是奇函数,又是偶函数
2

x3 - x x-1

D. f ( x =) 既不是奇函数,又不是偶函数 4. 函数 f ( x) =| x - 2 | + | x + 2 | 的奇偶性是 . 5. 已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值 为 4,那么 f(x)在[7,3]上是函数,且最值 为.

小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

业作后课

1. 已 知 f ( x 是 奇 函 数 , g ( x 是 偶 函 数 , 且 ) )
1

※ 动手试试 f ( x) - g ( x =) ,求 f ( x 、 g ( x . ) ) x+1 练习: f ( x) = ax 3 + bx + 5 , f ( -7) = 17 , f (7) . 若 且 求

2. 设 f ( x 在 R 上是奇函数, x>0 时, (x) = x(1- x) ,) 当f 试问:当 x <0 时, f ( x 的表达式是什么?)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征; 2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函 数的奇偶性是函数的整体性质. 3. 判断函数奇偶性的方法:图象法、定义法.

※ 知识拓展 定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由 图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间 上单调性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单 调性相反.
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§ 1.3 函数的基本性质(练习)
标目习学

变式:y=|x 2 -2x-3| 的图象如何作?

1. 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、 奇偶性); 2. 能应用函数的基本性质解决一些问题; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

反思: 如何由 f ( x 的图象,得到 f (| x |) 、| f ( x | 的图象?) )

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P27~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、 增函数、减函数、最大值、最小值? 例 2 已知 f ( x 是奇函数,在 (0, +?) 是增函数,判) 断 f ( x 在 ( -? , 0) 上的单调性,并进行证明. )

复习 2:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函 数、减函数、最大值、最小值的定义?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图象,指出单调区 间及单调性.

反思: 奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性) 例 3 某产品单价是 120 元,可销售 80 万件. 市场调 查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件,写出 销售金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当降价多 少元时,销售金额最大?最大是多少?

小结:利用偶函数性质,先作 y 轴右边,再对称作.
27

小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决 有关最大值和最大值问题

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第一章 集合与函数概念

※ 动手试试
练 1. 判断函数 y=
x+2

单调性,并证明.
x+1

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y = x 2 + bx + c ( x ?(-? ,1)) 是单调函数时, ). b 的取值范围 ( A. b ? - B. b ?- 2 2 C . b > - D. b < - 2 2 2. 下列函数中,在区间 (0, 2) 上为增函数的是( ) .

A. y = - x + 1 C. y = x 2 - 4 x + 5 练 2. 判别下列函数的奇偶性:
ì - x 2 + x ( x > 0) ? (1)y= 1 + x + 1 - x ;(2)y= í 2. ? x + x( x ?0) ? ax 2 + b

B. y = x
2

D. y =
x

3. 已知函数 y= 为奇函数,则(
x+c A. a = 0 B. b = 0 C. c = 0 D. a ? 0 4. 函数 y=x+ 2 x - 1 的值域为 5. f ( x) = x 2 - 4 x 在[0,3] 上的最大值为

).

. ,

最小值为 .

业作后课

1. 已知 f ( x 是定义在 ( -1,1) 上的减函数,且 ) f (2 - a) - f (a - 3) < 0 . 求实数 a 的取值范围.

练 3. 求函数 f ( x) = x +

1 ( x > 0) 的值域. x

2. 已知函数 f ( x) = 1 - x 2 . (1)讨论 f ( x 的奇偶性,并证明;) (2)讨论 f ( x 的单调性,并证明.)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数单调性的判别方法:图象法、定义法. 2. 函数奇偶性的判别方法:图象法、定义法. 3. 函数最大(小)值的求法:图象法、配方法、单 调法.

※ 知识拓展 形如 f (| x |) 与 | f ( x | 的含绝对值的函数,可以) 化分段函数分段作图,还可由对称变换得到图象. f (| x |) 的图象可由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧 的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧. | f ( x | 的) 图象,先作 f ( x 的图象,再将 x 轴下方的图象沿 x ) 轴对折到 x 轴上方.

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第一章 集合与函数的概念(复习)
标目习学

例 2 已 知 函 数 f ( x 是 偶 函 数 , 且 x ?0 时 , )
1+x f ( x =) . 1-x

1. 理解集合有关概念和性质,掌握集合的交、并、 补等三种运算的,会利用几何直观性研究问题,如 数轴分析、Venn 图; 2. 深刻理解函数的有关概念,理解对应法则、图象 等有关性质,掌握函数的单调性和奇偶性的判定方 法和步骤,并会运用解决实际问题.

(1)求 f (5) 的值; (2)求 f ( x ) = 0 时 x 的值; (3)当 x >0 时,求 f ( x 的解析式.)

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P2~ P45,找出疑惑之处) 复习 1:集合部分. ① 概念:一组对象的全体形成一个集合 ② 特征:确定性、互异性、无序性 ③ 表示:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} ④ 关系:∈、? 、 ? 、 、= ⑤ 运算:A∩B、A∪B、 CU A ⑥ 性质:A ? A; ? ? A,…. ⑦ 方法:数轴分析、Venn 图示. 复习 2:函数部分. ① 三要素:定义域、值域、对应法则; ② 单调性: f ( x 定义域内某区间 D, x1 , x2 ?D , )
x1 < x2 时, f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则 f ( x 的 D 上递增; ) x1 < x2 时, f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则 f ( x 的 D 上递减. ) 1+x2

例 3 设函数 f ( x =) .
1-x2

(1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性;
1

(3)求证: f ( ) = - f ( x ;)
x

③ 最大(小)值求法:配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性:对 f ( x 定义域内任意 x, ) f ( - x ) = - f ( x) ? 奇函数; f ( - x ) = f ( x) ? 偶函数. 特点:定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称.

(4)求证: f ( x 在[1, +? ) 上递增.)

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设集合 A = { x | x 2 - ax + a 2 - 19 = 0} ,
B = { x | x 2 - 5 x + 6 = 0} , C = {x | x 2 + 2 x - 8 = 0} . (1)若 A ??B = A ??B ,求 a 的值; (2)若f A ??B ,且 A ??C = ? ,求 a 的值; (3)若 A ??B = A ??C ? ? ,求 a 的值.

29

2008 年下学期◆高一





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第一章 集合与函数概念

※ 动手试试 练 1. 判断下列函数的奇偶性:
2x2 +2x

(1) f ( x =) ; (2) f ( x) = x 3 - 2 x ;
x+1 0, í f(; ? x (1 + x) x < 0.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
)ì x (1 - x x ?

f )(3) ( x ) = a x ? R) (4) ( x =

1. 若 A = { x | x 2 ?0 ,(}

). 则下列结论中正确的是

A. A = 0 B. 0 A C. A = ? D. ? A 2. 函数 y = x | x | + px , x ?R 是(). A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 3. 在区间 ( -? , 0) 上为增函数的是( ).
x

A. y = 1 B. y =+ 2
1-x

C. y = - x 2 - 2 x - 1 D. y = 1 + x 2 4. 某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 34 人,体育 爱好者 43 人,还有 4 人既不爱好体育也不爱好音 乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人. 5. 函 数 f ( x 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 x > 0 时 , )

f ( x) = x + 1 ,则当 x < 0 , f ( x) =
业作后课

.

练 2. 将长度为 20 cm 的铁丝分成两段,分别围成一 个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最 小,正方形的周长应为多少?

1

1. 数集 A 满足条件:若 a ?A, a ? 1 ,则 ?A .
1+a

(1)若 2 A ,则在 A 中还有两个元素是什么;? (2)若 A 为单元集,求出 A 和 a .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的三种运算:交、并、补; 2. 集合的两种研究方法:数轴分析、Venn 图示; 3. 函数的三要素:定义域、解析式、值域; 4. 函数的单调性、最大(小)值、奇偶性的研究.

2. 已知 f ( x 是定义在 R 上的函数,设 )
f ( x) + f ( - x ) f ( x) - f ( - x ) g ( x ) =, h( x) = . 22 (1)试判断 g ( x)与h( x 的奇偶性;)

(2)试判断 g ( x ), h ( x )与f ( x 的关系;) (3)由此你猜想得出什么样的结论,并说明理由?

※ 知识拓展 要 作 函 数 y = f ( x + a) 的 图 象 , 只 需 将 函 数 y = f ( x ) 的图象向左 ( a > 0) 或向右 ( a < 0) 平移 | a | 个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换. 要 作 函 数 y = f ( x) + h 的 图 象 , 只 需 将 函 数 y = f ( x ) 的图象向上 ( h > 0) 或向下 ( h < 0) 平移 | h | 个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.

30

书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟。
个人成绩榜
自我评价
分值 A级 B级 C级 D级 总分 平均分 5 4 3 2 个数 1 绩成次历 2 3 4 5

当堂检测
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

数学导学案
①修必

念概数函与合集 章一第

本册终审 质量监督 意见信箱 本册成本

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数学导学案
2008~2009 学年 第一学期
模块:



修①

章节: 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 班级: 姓名:

校本教材开发小组编印

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
标目习学

问题 2:生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减 一半(半衰期),则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P
t

1 5730

与死亡时碳 14 关系为 P ?? ( ) . 探究该式意义?
2

1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P48~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:正方形面积公式为;正方体的 体积公式为 . 复习 2:(初中根式的概念)如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的,记作; 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的,记作 .

小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如 人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二:根式的概念及运算 考察: ( ?2) 2 ??4 ,那么 ?2 就叫 4 的 33 ??27 ,那么 3 就叫 27 的 ( ?3) 4 ??81 ,那么 ?3 就叫做 81 的 ; . .



依此类推, x n ?? a ,,若 那么 x 叫做 a 的

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题,了解指数指数概念提出的 背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年 人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万?

新知:一般地,若 x n ?? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ?( n th root ),其中 n ?? 1 , n ???? ?. 简记: n a . 例如: 23 ??8 ,则 3 8 ?? 2. 反思: 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3 27 ??3 , 3 ?27 ???? ?, 记: x ?? ?n a . 3 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: 81 的 4 次方根就是 ,记: ?? n a .

强调:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,即 n 0 ?? 0. 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次?你 能超过 8 次吗? 试试: b 4 ??a ,则 a 的 4 次方根为 b3 ??a ,则 a 的 3 次方根为 ; .

计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进 行对折 x 次后,求对折后的面积与厚度?

新知:像 n a 的式子就叫做根式(radical),这里 n 叫做根指数(radical exponent),a 叫做被开方数 (radicand). 试试:计算 ( 2 3) 2 、 3 4 、 n

3

(?? ?n . 2)

问题 1:国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国 未来 20 年 GDP(国内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍?

反思: 从特殊到一般, ( n a ) n 、 n a n 的意义及结果?

1

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

结论:( n a ) n ?? a . 当 n 是奇数时, n a n ??a ;当 n 是
???????????????????a (a ??0) ?偶数时, n a n ?| a | ?. ??a (a ??0) ??

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.
4

※ 典型例题 例 1 求下类各式的值:
(1 )
3 3

(?3) 4 的值是(

). D. 81 D. 25

(??a ) ; (2)

4

(?7) 4 ;
2

(3) 6 (3 ????)6 ; (4)

2

(a ??b) ( a ??b ).

A. 3 B. -3 C. ??3 2. 625 的 4 次方根是(). A. 5 B. -5 C. ± 5 3. 化简 ( 2 ?b ) 2 是( A. ?? b B. b ). C. ?? b .
4

D. b

1

4. 化简 6 (a ?? b) 6 = 5. 计算: ( 3 ?? ?3 = 5)

;2 3

.

业作后课
10

1. 计算:(1) 5 a ( ; 2)

3

9

7 .

变式:计算或化简下列各式. (1) 5 ?32 ; (2) 3 a 6 .

推广: a mp ??n a m (a ??? )??

np

※ 动手试试
练 1. 化简 5 ??2 6 ??7 ??4 3 ??6 ?? 42. 2. 计算 a3 ??a ?4 和 a3??( ?8) ,它们之间有什么关系? 你能得到什么结论?

练 2. 化简 2 3 ??3 1.5 ?? 6 12 .

3. 对比 ( ab) ??a b 与 ( ) ??n ,你能把后者归入
bb

n

n n nn

a

a

三、总结提升 ※ 学习小结 1. n 次方根,根式的概念; 2. 根式运算性质. ※ 知识拓展 1. 整数指数幂满足不等性质:若 a ??0 ,则 a n ?? 0. 2. 正整数指数幂满足不等性质: ① 若 a ??1 ,则 a n ??1 ; ② 若 0 ??a ??1 ,则 0 ??a n ?? 1 . 其中 n ??N*.

前者吗?

2

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§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
标目习学

反思: ① 0 的正分数指数幂为;0 的负分数指数 幂为 . ② 分数指数幂有什么运算性质?

1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的互化; 3. 掌握有理数指数幂的运算.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P50~ P53,找出疑惑之处) 复习 1:一般地, x n ??a , x 叫做 a 的若 则 ?其中 n ?? 1 , n ???? ?. 简记为: . 像 n a 的式子就叫做 运算性质:
n

小结: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整 数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: ( a ??0, b ??0, r , s ??Q ) ,
r

a ·a r ??a r ??s ; ( a r ) s ??a rs ; ( ab) r ??a r a s .

,具有如下 ; an = ; a mp =
np

※ 典型例题
2 4 3 ?3 25 ? ?? 2 3 3 例 1 求值: 27 ; 16 ; ( ) ; ( ) 549 3

.

(n a) =

n

.

复习 2:整数指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ?;(2) ( a m ) n ? (3) ( ab) n ?? .



二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:分数指数幂
5 引例:a>0 时, a 10 5 ??(a ) 25 ??a ??a 2, 10 5

变式:化为根式.

则类似可得
3

3

a12 ?
2 3

; .

a ??( a ) ??a

2

3

2 33

,类似可得 a ??

新知:规定分数指数幂如下
a?a a
m ? n m n n m

(a ??0, m, n ??N , *n ??1) ; ? 1
n

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ??0) :
3

?

1 a
m n

(1) b 2 ??b ; (2) b 3 ??5 b ; (3) 3 b

a

m

( a ??0, m, n ??N * , n ?? 1) .

4

b .

试试: (1)将下列根式写成分数指数幂形式:
2 5

3 =
m



3

4

5 =

; 例 3 计算(式中字母均正): (1) a b )( ?8a b ) ??(?6 a b ) ; (2) m n ) . (3( .
2 3 1 2 1 1 2 3 1 6 5 6 1 3 4 8 16

a =
2 3 2 5

( a ??0, m ?? N ??) .
4 ?3 5 ?? ??2

(2)求值: 8 ; 5 ; 6 ; a

小结:例 2,运算性质的运用;例 3,单项式运算.
3

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价评习学

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 4 计算:
a3

(1) ( a ??0) ;
3 4

a ???a
3 ? 5 10 1

2 ?3 6 2 (2) (2m n ) ??( ?? ?n ) ( m, n ??N ??) ;m

(3) ( 4 16 ??3 32) ?? 4 64 .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 a ??0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的 是().
A. a ??a ?? a C.
m n m n m ?? n

B. a m ??a n ?? a mn D. 1 ??a n ?? a0 ??n

??a ?? ??? a
3 2

mn

2. 化简 25 的结果是(). A. 5 B. 15 C. 25 3. 计算 ????2 小结:在进行指数幂的运算时,一般地,化指数为 正指数,化根式为分数指数幂,对含有指数式或根 式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 反思: ① 3
2

D. 125 ).
2

??????

?

?

?? ???的结果是(
????

1 ?2 ??2

A. 2
2

B. ??2 .

C. 2

D. ??2

2

4. 化简 27 ?? ??3 = 的结果? 5. 若10 m ??2, 10 ??4n ,则 10

3 ?? nm 2

=

.

结论:无理指数幂.(结合教材 P53 利用逼近的思想 理解无理指数幂意义) ② 无理数指数幂 a??( a ??0,??是无理数) 是一个确定 的实数.实数指数幂的运算性质如何?

业作后课

1. 化简下列各式:
36 49
3

a2

b3 a

(1) ( ) 2 ;

(2)
b
3

.
ab

※ 动手试试
????????1 ? 练 1. 把 ??x 3 ??x ??化成分数指数幂. ?? ????????
3 ?2 8 ?5

练 2. 计算:(1) 3 ??3 ??27 ; (2) 6 () .
125
3

3

4

4

8

3 4

a b

2. 计算:

3

3 a 4 ??8 3 ab b ? ???????????????????????????? ?????????????????????????????1 ??2 3 ??.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①分数指数幂的意义;②分数指数幂与根式的互 化;③有理指数幂的运算性质. ※ 知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为: m ??m0 e ??t ,其 中 t 表示经过的时间, m 表示初始质量,衰减后的0 质量为 m, ??为正的常数.

?a ?

a 2 ??2 3 ab ??4 3 a 4 ???

4

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§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(练习)
标目习学

小结:① 平方法;② 乘法公式; ③ 根式的基本性质 a mp ??n a m (a≥0)等. 注意, a≥0 十分重要,无此条件则公式不成立.
np

1. 掌握 n 次方根的求解; 2. 会用分数指数幂表示根式; 3. 掌握根式与分数指数幂的运算.

例如, 6 (?8) 2 ??3 ?? ?. 8
1 2 1 ?2

变式:已知 a ??a (1) a ??a
1 2 1 ?2

??3 ,求:



(2) a ?? a.

3 2

3 ?2

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P48~ P53,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫做根式? 运算性质? 像 n a 的式子就叫做
n

,具有性质: ; a mp =
np

(n a) =

n

; an =

.

复习 2:分数指数幂如何定义?运算性质? ① a ?; a?? ????????????????* 其中 a ??0, m, n ??N , n ??1 ② a r ?a s ?
( ab) s ??
m n m ? n

. ;

; ( a r) s ? .

复习 3:填空. ① n为 ?时, n x n ?| x |???........... .
?? ( x ??0) ? ( x ??0) 1

例 2 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升,然后用
3 1;

②3 求下列各式的值: 62 = ; 4 16 =
6

; 6 81 = ; .

(?? ?2 = 2)
4 8



15

?? ?= 32

水填满,再倒出 升,又用水填满,这样进行 5 次,
3

x =

; 6 a 2b 4 =

则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1 已知 a ?? a
1 2 1 ?2

=3,求下列各式的值:
a ??a
3 2 1 3 ?2

(1) a ??a ?1 ; (2) a 2 ??a ?2 ; (3)
?????????????????????????????


1

a 2 ??a 2

?

补充:立方和差公式 a 3 ??b3 ??( a ??b)( a 2 ??ab ??b 2 ) . 变式:n 次后?

小结:① 方法:摘要→审题;探究 → 结论; ② 解应用问题四步曲:审题→建模→解答→作答.
5

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试
练 1. 化简: ( x ??y ) ??( x ?? ?y ) .
1 2 1 2 1 4 1 4

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. A. 2.
a 9 的值为( 3
3 5 a ??? a4 3 2

). C. 3 D. 729 ).
1 5 17 10

B. 3 3

(a>0)的值是(

A. 1 B. a C. a D. a 3. 下列各式中成立的是().
1

n

77 7

A. ( ) ?? n m B. 12 ( ?3)

1练
1 2

2. 已知 x+x =3,求下列各式的值.
1 ?2

4

??3 ?? 3 m

(1) x ??x ;

(2) x ?? x.

3 2

3 ?2

C. x ??y ??( x ?? ?y )
25 4
?? 3 2 2 3

4

3

3

3 4

D. .

3

9 ?? ?3 3

4. 化简 ( )

=
1 2 1 1 2 3

1 3

15

5. 化简 ( a b )( ?3a b ) ?? ( a 6b 6) =

.

业作后课

1. 已知 x ??a ?3 ?? b?2 , 求 4 x 2 ??2

?3

x ??a ?6 的值. a

练 3. 已知 f ( x) ????x , x1 ??x2 ??0 ,试求 f ( x1 ) ??f ( x2 ) 的值.

n 2. 探究: a n ??( n a ) n ??2 时, 实数 a 和整数 n 所应a 满足的条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 根式与分数指数幂的运算; 2. 乘法公式的运用. ※ 知识拓展 1. 立方和差公式:
a 3 ??b3 ??( a ??b)( a 2 ??ab ??b 2 ) ; a 3 ??b 3 ??(a ??b )( a 2 ??ab ?? b 2) .

2. 完全立方公式:
( a ??b )3 ??a 3 ??3a 2 b ??3 ( a ??b)3 ??a 3 ??3a 2 b ??3
2 2

??b 3 ; ab

?? b 3 . ab
6

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§ 2.1.2 指数函数及其性质(1)
标目习学

探究任务二:指数函数的图象和性质 引言:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出 研究指数函数性质的内容和方法吗? 回顾: 研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: 1x y ??( ) x , y ??2

1. 了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实 生活及其他学科的联系; 2. 理解指数函数的概念和意义; 3. 能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性 质(单调性、特殊点).

程过习学

2

一、课前准备 (预习教材 P54~ P57,找出疑惑之处) 复习 1:零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的? (1) a 0 ?; ??n (2) a ?; (3) a ?; a?? 其中 a ??0, m, n ??N * , n ??1
m n m ? n

.

讨论:
1

(1)函数 y ??2 x 与 y ??( ) x 的图象有什么关系?如 复习 2:有理指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ?;(2) ( a m ) n ? (3) ( ab) n ?? .
2 1



何由 y ??2 x 的图象画出 y ??( ) x 的图象?
2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型思想及指数函数概念 实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个, 如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细 胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经 过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为 自变量,残留量 y 的函数关系式是什么?

(2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个
1

指数函数的性质. 变底数为 3 或 后呢?
3

新知:根据图象归纳指数函数的性质. a>1 0<a<1 图 象

讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什 么?指数是什么? (1)定义域:R 性 (2)值域:(0,+∞) 质 (3)过点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

新知:一般地,函数 y ??a x ( a ??0, 且a ??1) 叫做指数 函数(exponential function),其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R. 反思:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什 么情况呢?

※ 典型例题 例 1 函数 f ( x) ??a x a ??0,且a ??1 的图象过点 (2, ??) ,( ) 求 f (0) , f ( ?? ?, f (1) 的值.1)

试试:举出几个生活中有关指数模型的例子?

7

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

小结:①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小: 0.5 (1) 20.6 , 2 ;(2) 0.9 ?2 ,0.9 ?1.5 ;
2.1 2 ??3 与 (3) 2.10.5 , 0.5 ; ( 4) ? .1



※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ??(a 2 ??3a ??3) a x 是指数函数,则 a 的值为 (). A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 2. 函数 f(x)= a x ??2 ?? 1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点 (). A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2)

3. 指数函数① f ( x) ??m x ,② g ( x ) ??n x 满足不等式 ). 0 ??m ??n ??1 ,则它们的 图象是(

小结:利用单调性比大小;或间接利用中间数.

※ 动手试试 练 1. 已知下列不等式,试比较 m、n 的大小:
22 n(1) ( ) m ??( ) n ; (2) 1.1m ?? 1.1 . 33

4. 比较大小: ( ?? 2.5)
1

2 3

( ?? 2.5) .

4 5

5. 函数 y ??( ) x ??1 的定义域为
9
业作后课

.

1

1. 求函数 y= 练 2. 比较大小: (1) a ??0.80.7 , b ??0.80.9 , c ??1.2 ; 1.6 (2) 0 , 0.4 ?? 2.5 , 2?? 0.2 , 2.5 . 1
0.8

x

的定义域.

51 ??x ??1

2. 探究:在[m, n]上, ( x) ??a x ( a ??0且a ??1) 值域?f

三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想;②指数函数概念;③指 数函数的图象与性质;③单调法. ※ 知识拓展 因为 y ??a x (a ??0,且a ??1) 的定义域是 R, 所以
y ??a f ( x ) ( a ??0,且a ??1) 的定义域与 f ( x 的定义域)

相 同. 而 y ????( a x ) ( a ??0,且a ??1) 的 定义域, 由 y ????(t ) 的定义域确定.

8

中山市东升高中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 2.1.2 指数函数及其性质(2)
标目习学

试试:2007 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后 每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来 的多少倍?多少年后产值能达到 120 亿?

1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 2. 掌握指数型函数的定义域、值域,会判断其单调 性; 3. 培养数学应用意识.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P57~ P60,找出疑惑之处) 复习 1:指数函数的形式是 其图象与性质如下 a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域: 性 (2)值域: 质 (3)过定点: (4) 单调性:

小结:指数函数增长模型. 设原有量 N,每次的增长率为 p,则经过 x 次增 长后的总量 y= . 我们把形如 y ?? ka x ,
( k ??R, a ??0, 且a ??1) 的函数称为指数型函数.

例 2 求下列函数的定义域、值域:
1 x (1) y ??2 ?? 1 ? (2) y ?? 3 5 x ?1 x ?1 ? (3) y ?? 0.4 .

复习 2:在同一坐标系中,作出函数图象的草图: 111 x x y ?? 2 , y ?? ( ) x , y ?? 5 , y ?? ()x , y ?? 10 x , y ?? ()x .
2 5 10

变式:单调性如何?

思考:指数函数的图象具有怎样的分布规律? 小结:单调法、基本函数法、图象法、观察法.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中 国的人口问题是公认的社会问题. 2000 年第五次人 口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育 成为我国一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年 起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (2) 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少?从

???????

试试:求函数 y ??2

x

?

1

的定义域和值域,并讨
2

论其单调性.

小结:学会读题摘要;掌握从特殊到一般的归纳法.
9

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价评习学

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试
练 1. 求指数函数 y ??2 x 其单调性.
2

?1

的定义域和值域,并讨论

练 2. 已知下列不等式,比较 m, n 的大小.
nn(1) 3 m ??3 ;(2) 0.6m ??0.6 ; (3) a m ??a n (a ??1) ;(4) a m ??a n (0 ??a ?? 1) .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x x 1. 如果函数 y=a (a>0,a≠1)的图象与 函数 y=b (b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称,则有(). A. a>b B. a<b C. ab=1 D. a 与 b 无确定关系 -2. 函数 f(x)=3 x -1 的定义域、 值域分别是 ( ). A. R, R B. R, (0, ??? ) C. R, ( ?1, ??? )D.以上都不对 3. 设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数,则下列 说法错误的是(). -x A. y=a 的图象与 y=a x 的图 象关于 y 轴对称 1-B. 函数 f(x)=a x (a>1)在 R 上递减 C. 若 a 2 >a 2 ?1 ,则 a>1 D. 若 2 x >1,则 x ?? 1 4. 比较下列各组数的大小:
3 ?

2 ?? 13

0.76 2

()(0.4)2 ; ( ) ???0.75 ( 3) .

53
x 5. 在同一坐 标系下,函数 y=a , x x x y=b , y=c , y=d 的图象如右 图,则 a、b、c、d、1 之间从 小到大的顺序是 . 3练

3. 一片树林中现有木材 30000 m ,如果每年增 3 长 5%,经过 x 年树林中有木材 y m ,写出 x,

业作后课

y间 的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材 3 可以增加到 40000m .

2
x

1. 已知函数 f(x)=a-
2 ?? 1 a ??R , f(x)为增函数.

(a∈R),求证:对任何

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 指数函数应用模型 y ??ka x ( k ??R , a ??0且a ??1) ; 2. 定义域与值域; 2. 单调性应用(比大小).

2 x ??1

2. 求函数 y ??x 的定义域和值域,并讨论函数
2 ??1

※ 知识拓展 形 如 y ??a f ( x ) ( a ??0,且a ??1) 的 函 数 值 域 的 研

的单调性、奇偶性.

t 究,先求得 f ( x 的值域,再根 据 a 的单调性,列) 出简单的指数不等式,得出所求值域,注意不能忽 视 y ??a f ( x ) ?? 0 . 而 形 如 y ????( a x ) ( a ??0,且a ??1) 的函数值域的研究,易知 a x ??0 ,再结合函数 ??(t ) 进 行研究. 在求值域的过程中,配合一些常用求值域 的方法,例如观察法、单调性法、图象法等.

10

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 2.2.1 对数与对数运算(1)
标目习学

新知:一般地,如果 a x ?? ?N ( a ??0, a ??1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm). 记作 x ??log a N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数
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1. 理解对数的概念; 2. 能够说明对数与指数的关系; 3. 掌握对数式与指数式的相互转化.

试试:将复习 2 及问题中的指数式化为对数式.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P62~ P64,找出疑惑之处) 复习 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (1)取 4 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

新知:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 (common logarithm) 并把常用对数 log N 简记为 ,
10

lgN 在 科 学 技 术 中 常 使 用 以 无 理 数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然 对数,并把自然对数 log e N 简记作 lnN
新疆新敞 王 奎屯 新疆新敞 王 奎屯

试试:分别说说 lg5 、lg3.5、ln10、ln3 的意义.

复习 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? (只列式)

反思: (1)指数与对数间的关系? a ??0, a ??1 时, a x ??N ?? (2)负数与零是否有对数?为什么? (3) log a 1 ?, log a a ??

. .

※ 典型例题 例 1 下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
????????????????

(1) 53 ??125 ;(2) 2 7 ? ;(3) 3a ??27 ;
128
2

1

(4) 10?2 ??0.01 ; (5) log 1 32 ???5 ;

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数的概念 问题:截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿. 如果 今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么多少 年后人口数可达到 18 亿,20 亿,30 亿?

(6)lg0.001= ?3 ;

(7)ln100=4.606.

变式: log 1 32 ?? ? lg0.001=? 讨论:(1)问题具有怎样的共性? (2)已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如: x 由1.01 ??m ,求 x.
新疆新敞 王 奎屯

2

小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体.
11

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价评习学

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 求下列各式中 x 的值:
2

(1) log 64 x ??; (2) log x 8 ???6 ;
3

(3) lg x ??4 ;(4) ln e3 ?? x.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 log 2 x ??3 ,则 x ??(). A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2. log( ( n ??1 ?? ?n ) = ( ).

n ?1 ??n )

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 对数式 log a ??2 (5 ??a ) ??b 中,实数 a 的取值范围是 (). A. ( ??? ,5)B.(2,5) C. (2, ??? )D. (2,3) ??(3,5) 4. 计算: log 小结:应用指对互化求 x.
(3 ??2 2) ??

2 ?1

.

5. 若 log x ( 2 ??1) ???1 , 则 x=________ , 若
log
2

※ 动手试试 练 1. 求下列各式的值.
(1) log 5 25 ; (2) log 2
1

8 ??y ,则 y=___________.

; (3) lg 10000.
16

业作后课

1. 将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式. 1 ?(1) 35 ??243 ; (2) 2 (3) 4a ??30
32 1

5

?;

(4) ( ) m ??1.03 ; (5) log 1 16 ???4 ;
22 (6) log 2 128 ??7 ;

(7) log 3 27 ?? a.

练 2. 探究 log a a n ?? ?

alog a

N

???

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数概念;②lgN 与 lnN;③指对互化;④如何求 对数值 ※ 知识拓展 对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是 谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上, 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪 初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,15501617 年)男爵. 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳 中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的 热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性,天文 学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 “天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵 时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简 化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于 独立发明了对数.
2. 计算: (1) log 9 27 ; (2) log 3 243 ; (3) log 4 (3) log ( 2 ?
3)

3

81;

(2 ??3) ;

(4) log 3 4 625 .
5

12

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

§ § 2.2.1 对数与对数运算(2)
标目习学

1. 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的 依据和过程; 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

反思: 自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路? (运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数 式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据 对数定义将指数式化成对数式 )
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※ 典型例题 例 1 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:
xy

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P64~ P66,找出疑惑之处) 复习 1: (1)对数定义:如果 a x ?? ?N ( a ??0, a ??1) ,那么数 x 叫做,记作 . (2)指数式与对数式的互化: a x ??N ?? .

(1) log a
z

2



(2) log a

x3 y
5

z

.

复习 2:幂的运算性质. (1) a m ?a n ?;(2) ( a m ) n ? (3) ( ab) n ?? .



复习 3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答: 例 2 计算: (1)设 log a 2 ??m , log a 3 ??n ,求 a m ??n ;(1) log 5 25 ;(2) log 0.4 1 ; (2)设 log a M ??m , log a N ??n ,试利用 m 、 n 表 (3) log (48 ??25 ) ; (4)lg 9 100 . 2 示 log a ( M ·N ) .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数运算性质及推导 问题: a p a q ??a p ??q ,由 如何探讨 log a MN 和 log a M 、
log N 之间的关系?a

探究:根据对数的定义推导换底公式 log a b ? 问题:设 log a M ?? ?p , log a N ??q , ( a ??0 ,且 a ??1 ; c ??0 ,且 c ??1 ; b ??0 ). 由对数的定义可得:M= a p ,N= a q ∴MN= a p a = a p ??q , ∴ log a MN=p+q,即得 log a MN= log a M + log a N 根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ??? ,????? ,? ?N > 0 ,则 (1) log a ( MN ) ??log a M ??log a N ;
q
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log b c log ac

M

(2) log a??log a M ??log N ;a
N

(3) log a M n ??n log a M (n ?? R). 试试:2000 年人口数 13 亿,年平均增长率 1℅, 多少年后可以达到 18 亿?
13

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试 练 1. 设 lg 2 ?? a , lg 3 ??b ,试用 a 、 b 表示 log 5 12 .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列等式成立的是() A. log 2 (3 ??5) ??log 2 3 ?? log 2 5
B. log 2 (?10) 2 ??2 log 2 (?? 10) C. log 2 (3 ??5) ??log 2 3???2 5log D. log 2 (?5) 3 ???? log 2 53 2. 如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( A.x=a+3b-c B. x ?? ?????????????????????????????????????5 c 3ab 3 3 C. x ?? ?5 D.x=a+b -c c 3. 若 2 lg ??y ??2 x ?? ??lg x ??lg y ,那么( A. y ?? x B. y ?? 2x C. y ?? 3x D. y ?? 4x

变式:已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12. lg 3 的值.

3 ab

).

).

练 2. 运用换底公式推导下列结论.
n1

4. 计算:(1) log 9 3 ??log 9 27 ?
??????????1

; . .

(1) log a m b n ??log a b ;(2) log a b ?? .
log amb

(2) log 2 ??log 1 2 ??
??????????2

5. 计算: lg

315 ??lg ?? 523

2

业作后课

1. 计算:
lg 27 ??lg 8 ??3lg 10 7 lg 243

(1) ;
lg1.2 lg 9 3

练 3. 计算:1) ??2 lg ??lg 7 ??lg18 ;2) ( lg14(.

(2) lg 2 2 ??lg 2 ??lg 5 ?? lg 5 .

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数运算性质及推导;②运用对数运算性质;③ 换底公式.
c

2. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ??4b ??6 ,

※ 知识拓展
log N b ; ① 对数的换底公式 log a N ? log ab

求证:
111 ???? ?. ca2b

② 对数的倒数公式 log a b ?? ③ 对数恒等式: log a n N n
log a m N n ? n

1

.

log ab ??log a N ,

log N , log a b ?log b c ???c a ??1 . loga m
14

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

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§ 2.2.1 对数与对数运算(3)
标目习学

(2)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级 地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精 确到 1)

1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题; 2. 加强数学应用意识的训练,提高解决应用问题的 能力.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P66~ P69,找出疑惑之处) 复习 1:对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0,a ??? ,????? ,? ?N > 0 ,则 (1) log a ( MN ) ?;
M

(2) log a ?;
N

小结:读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算. 例 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确 定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的 一半,这个时间称为“半衰期”.根据些规律,人 们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间 的关系.回答下列问题: (1)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P, 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是 我们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该 生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原 始量的 76.7%,试推算古墓的年代?

(3) log a M n ?? . 换底公式 log a b ??

.

复习 2:已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b,用 a,b 表 示 log 42 56.

复习 3:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口 的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪一年我国人口 总数将超过 14 亿? (用式子表示)

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表 明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震 能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲 线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M, 其计算公式为: M ??lg A ??lg A0 ,其中 A 是被测地 震的最大振幅, A 是“标准地震”的振幅(使用标0 准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造 成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米 的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准地震 的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1);

反思: ① P 和 t 之间的对应关系是一一对应;
1

② P 关于 t 的指数函数 P ??(5730 ) x ,则 t 关于 P 的
2

函数为 .
15

2008 年下学期◆高一





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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试 练 1. 计算: (1) 51?log 3 ; (2) log 4 3 ??log 9 2 ?? log 1
0.2

4 2

32 .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. (a≠0)化简得结果是(). 5
2
2 log 5 (

??a )

A.-a B.a C.|a| D. a A. 3 则 m 之值为
ab

2. 若 log7[log3(log2x)]=0,则 x =(

1 2

).

B. 2 3 C. 2 2 D. 3 2 1 1 b 3. 已知 3a ??5 ??m ,且 ????2 ,

(). A.15 B. 15 C.± 15 D.225 a 4. 若 3 =2, log38-2log36 用 a 表示为 则 . 5. 已知 lg 2 ??0.3010 , lg1.0718 ??0.0301 ,则 lg 2.5 ? ;2?
1 10



业作后课

练 2. 我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多 少年后我国的 GDP 在 2007 年的基础上翻两番?

1. 化简:
2

(1) lg 52 ??lg 8 ??lg 5 lg 20 ??(lg 2) 2 ;
3

(2)

??log 2 5+ log 4 0.2 ???log 5 2+log 25 0.5 ?? .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 应用建模思想(审题→设未知数→建立 x 与 y 之 间的关系→求解→验证); 2. 用数学结果解释现象. ※ 知识拓展 在给定区间内,若函数 f ( x 的图象向上凸出,) 则函数 f ( x 在该区间上为凸函数,) 结合图象易得到
f( x1 ??x2f ( x1 ) ??f ( x ) 2 ) ?; 22

2. 若 lg ??x ??y ????lg ??x ??2 y ?? ??lg 2 ??lg x ??lg y ,求 y 的值.

x

在给定区间内,若函数 f ( x 的图象向下凹进,) 则函数 f ( x 在该区间上为凹函数,) 结合图象易得到 x ??x2f ( x1 ) ??f ( x ) 2 f( 1) ?? .
22

16

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 2.2.2 对数函数及其性质(1)
标目习学

1. 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的 数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函 数是一类重要的函数模型; 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图 象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3. 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比 指数函数,探索研究对数函数的性质,培养数形结 合的思想方法,学会研究函数性质的方法.

反思: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义, 注意辨别,如: y ??2 log 2 x , y ??log 5 (5 x) 都不是 对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对 底数的限制 ( a ??0 ,且 a ??1) .

探究任务二:对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提 出研究对数函数性质的内容和方法吗?

研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 试试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象. y ??log x ; y ?? log x . 2 0.5

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P70~ P72,找出疑惑之处)
1

复习 1:画出 y ??2 x 、 y ??( ) x 的图象,并以这两
2

个函数为例,说说指数函数的性质.

反思: (1)根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? 复习 2:生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年, a>1 0<a<1 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时,碳 14 的残余量 约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 图 (列式) (1)定义域: 象 性 (2)值域: 质 (3)过定点: (4)单调性:

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:对数函数的概念 问题:根据上题,用计算器可以完成下表:
碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 0.5 0.3 0.1 0.01

(2)图象具有怎样的分布规律?

0.001

※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ??log a x 2 ;(2) y ??log a (3 ??x) ;

讨论:t 与 P 的关系? (对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t ??log 1 P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对
5730

2

应,从而 t 是 P 的函数) 新知:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y ??log a x 叫做对数函数(logarithmic function),自变量是 x; 函数的定义域是(0,+∞).
17

变式:求函数 y ??log 2 (3 ??x ) 的定义域.

2008 年下学期◆高一





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姓名:
价评习学

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 比较大小: (1) ln 3.4, ln 8.5 ; (2) log 0.3 2.8, log 0.3 2.7 ; (3) log a 5.1, log a 5.9 .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ??a ??x 与 y ??log x 的图象是().
a

小结:利用单调性比大小;注意格式规范.

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域. (1) y ??log 0.2 (??x ??6) ; (2) y ??3 log 2 x ?? 1.

2. 函数 y ??2 ??log 2 x ( x ≥ 1) 的值域为( A. (2, ??? )B. ( ??? ?2), C. ??2, ??? ?? 3. 不等式的 log 4 x ? A. (2, ??? )
1 B. ( , ??? ) 2 1

).

D. ?3, ??? ?? 解集是(
2

).

B. (0, 2)
1

D. (0, )
2

4. 比大小: (1) 6 7 log

log 7 6 ;(2)

3 1.5

log

log 2 0.8. .

5. 函数 y ??log ( x 1) (3 x ) 的定义域是 练 2. 比较下列各题中两个数值的大小. (1) log 2 3和 log 2 3.5 ; (2) log 0.3 4和 log 0.2 0.7 ;
业作后课

(3) log 0.7 1.6和 log 0.7 1.8 ; (4) log 2 3和 log 3 2 .

1. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n ; (2) log 0.3 m> log 0.3 n; (3) log a m> log a n (a>1)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域; 3. 利用单调性比大小. ※ 知识拓展 对数函数凹凸性:函数 f ( x) ??log a x, ( a ??0, a ??1) , x1 , x 是任意两个正实数. 2
f ( x1 ) ??f ( x2 ) x ??x 2 ??f( 1) ; 22 f ( x ) ??f ( x2 ) x ??x 2 当 0 ??a ??1 时, 1?? ?f ( 1) . 22

2. 求下列函数的定义域: (1) y ??log 2 (3 x ??5) ;(2) y ??log 0.5 4 x ?? 3.

当 a ??1 时,

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§ 2.2.2 对数函数及其性质(2)
标目习学

1. 解对数函数在生产实际中的简单应用; 2. 进一步理解对数函数的图象和性质; 3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互 为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两 个函数的图象性质.

新知:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数 的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数 的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为 反函数(inverse function) 例如:指数函数 y ??2 x 与对数函数 y ??log 2 x 互为 反函数.

试试:在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 x y ??2 及其反函数 y ??log x 图象,发现什么性质?2

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P72~ P73,找出疑惑之处) 复习 1:对数函数 y ??loga x(a ??0, 且a ??1) 图象和性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域: 性 (2)值域: 质 (3)过定点: (4)单调性: 复习 2:比较两个对数的大小. (1) 10 7 与 log10 12 ;(2) 反思: (1)如果 P0 ( x0 , y ) 在函数 y ??2 x 的图象上,那么 0 P0 关于直线 y ??x 的对称点在函数 y ??log 2 x 的图象 上吗?为什么?

(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两 个函数的图象关于对称.
0.5

0.7 与 log 0.5 0.8 . loglog

※ 典型例题 例 1 求下列函数的反函数: x (1) y ??3 ;(2) y ??log a ( x ?? 1) .

复习 3:求函数的定义域.
1

(1) y ?; (2) y ??log a (2 x ?? 8) .
1 ??log 3 2 x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反函数 问题:如何由 y ??2 x 求出 x?

小结:求反函数的步骤(解 x →习惯表示→定义域) 变式:点 (2,3) 在函数 y ??log a ( x ??1) 的反函数图象 上,求实数 a 的值.

反思:函数 x ??log 2 y 由 y ??2 x 解出,是把指数函数
x y ??2 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习 惯上我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写 为 y ?? log 2 x .

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计 价评习学 算公式 pH ????lg[ H ??] ,其中[ H ??] 表示溶液中氢离 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . 子的浓度,单位是摩尔/升. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的 变化关系? ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? (2)纯净水 [ H ??] ??10 7 摩尔/升,计算其 1. 函数 y ??log 0.5 x 的反函数是(). A. y ???? log 0.5 xB. y ?? log 2 x 酸碱度.
1

C. y ?? 2x
2
x

D. y ?? ()x ). 2. 函数 y ??2 的反函数的单调性

小结:抽象出对数函数模型,然后应用对数函数模 型解决问题,这就是数学应用建模思想.

是( A. 在 R 上单调递增 B. 在 R 上单调递减 C. 在 (0, ???) 上单调递增 D. 在 (0, ???) 上单调递减 3. 函数 y ??x 2 ( x ??0) 的反函数是( A. y ????x ( x ?? 0) C. y ????x ( x ?? 0)

).

※ 动手试试 练 1. 己知函数 f ( x) ??a x ??k 的图象过点(1,3)其 反函数的图象过点(2,0),求 f ??x ?? 的表达式.

B. y ??x ( x ?? 0) D. y ???? ?x

4. 函数 y ??a x 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的 值为 . 5. 右 图 是 函 数 y ??log a 1 x ,
y ?? log y ??log
4 2

xa

y ??log

3

xa



x 的图象,则底数之a

间的关系为 练 2. 求下列函数的反函数. (1) y= ( 2 ) x (x∈R);
x
业作后课

.

1

(2)y= log a (a>0,a≠1,x>0)
2

1. 现有某种细胞 100 个,其中有占总数 的细胞每
2

小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按 这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以 超过 10 个?10 (参考数据: 3 ??0.477,lg 2 ??0.301 ) lg.

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 函数模型应用思想;② 反函数概念. ※ 知识拓展 函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的 任意一个自变量 x 的值,y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数,反之对应任意 y 值,x 也都有 惟一的值和它对应,从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是 原函数的定义域,即互为反函数的两个函数,定义 域与值域是交叉相等.

ax ??b cx ??d

2. 探究:求 y ? (ac ??0) 的反函数,并求出 两个函数的定义域与值域,通过对定义域与值域的 比较,你能得出一些什么结论?

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§ 2.2 对数函数(练习)
标目习学

例 2 证明函数 f ( x) ??log 2 ( x 2 ??1) 在 (0, ???) 上递增.

1. 掌握对数函数的性质; 2. 能应用对数函数解决实际中的问题.

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P62~ P76,找出疑惑之处) 复习 1:对数函数 y ??loga x(a ??0, 且a ??1) 图象和性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域: 性 (2)值域: 质 (3)过定点: (4)单调性: 复习 2:根据对数函数的图象和性质填空. ① 已知函数 y ??log 2 x ,则当 x ??0 时,y ? 当 x ??1 时,y ?; 0 ??x ??1 时,y ?当 当 x ??4 时, y ?. ② 已知函数 y ??log 1 x ,则当 0 ??x ??1 时,y ?
3

变式:函数 f ( x) ??log 2 ( x 2 ??1) 在 ( ??, 0) 上是减函数 还是增函数?

; ; 例 3 求函数 f ( x) ??log 0.2 ( ?4 x ??5) 的单调区间. ; ; .

当 x ??1 时,y ? 当 0 ??x ??2 时,y ?

; x ??5 时,y ?当 ; y ??2 时,x ?当

小结:数形结合法求值域、解不等式.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 判断下列函数的奇偶性.
1 ??x

变式:函数 f ( x) ??log 2 ( ?4 x ??5) 的单调性是 小结:复合函数单调性的求法及规律:“同增异减” .

.

(1) f ( x ??log ); (2) f ( x) ??ln( 1 ??x 2 ?? x) .
1 ??x

※ 动手试试 练 1. 比较大小: (1) log a ??和 log a e ( a ??0且a ??1) ;
1

(2) log 2 和 log 2 (a 2 ??a ??1) (a ??R ) .
2

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班级:

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

练 2. 已知 log a (3a ??1) 恒为正数,求 a 的取值范围.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列函数与 y ??x 有相同图象的一个函数是()
A. y ?? ?x
2

B. y ??

x2

C. y ??a log a x (a ??0且 ??1) a 练 3. 函数 y ??log a x 在[2,4]上的最大值比最小值 大 1,求 a 的值.
2

??????????x D. y ?? log a a x

2. 函数 y ??log 1 (3 x ??2) 的定义域是( A. [1, ??? )
22 C. [ ,1] D. ( ,1] 33 2 3

).

B. ( , ??? )

3. 若 A. C. 4.函数 为.
loglog

f (ln x ) ??3x ??4 ,则 f ( x 的表达式为() )
3ln x B. 3ln x ?? 4

3

x

e D. 3e x ?? 4

f ( x) ??lg( x 2 ??8) 的定义域为,值域
2

5. 将 0.3 ,

2

0.5 ,

0.5

1.5 由小到大排列的顺序

是. 练 4. 求函数 y ??log 3 ( x 2 ??6 x ??10) 的值域.

业作后课

1. 若定义在区间 ( ?1, 0) 内的函数 f ( x) ??log 2 a ( x ??1) 满足 f ( x ) ??0 ,则实数 a 的取值范围.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对数运算法则的运用; 2. 对数运算性质的运用; 3. 对数型函数的性质研究; 4. 复合函数的单调性.

11 ??x 2. 已知函数 f ( x ?) ??log ,求函数 f ( x 的定) 2 x1 ??x

义域,并讨论它的奇偶性和单调性. ※ 知识拓展 复合函数 y ??f (??( x)) 的单调性研究,遵循一般步 骤和结论,即:分别求出 y ??f (u ) 与 u ????( x ) 两个 函数的单调性,再按口诀“同增异减”得出复合后 的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函 数,则复合后结果为增函数;若两个函数一增一减, 则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我 们 可 以 抓 住 “ x 的 变 化 → u ????( x ) 的 变 化 → y ??f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析

22

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1 2

§ 2.3 幂函数
标目习学

探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象:(1)y ??x ;(2) ??x ;y

1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并 能进行简单的应用.

(3) y ??x 2 ;(4) y ??x ?1 ;(5) y ??x 3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P77~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:求证 y ??x 3 在 R 上为奇函数且为增函数. 观察图象,总结填写下表:
y ?? ?x y ?? ?x 2 y ?? ?x 3
1 2
??????

y ?? ?x

y ??x 1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 复习 2:1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口年 平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 y (亿), 小结: 写出: 幂函数的的性质及图象变化规律: (1) 1993 年底、 1994 年底、 2000 年底世界人口数; ( 1)所有的幂函数在 (0, ???) 都有 (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式. 定义,并且图象都过点( 1,1); (2) ????0 时,幂函数的图象通 过原点,并且在区间[0, ??) 上是 增函数.特别地,当 ????1 时,幂 函数的图象下凸;当 0 ??????1 时, 幂函数的图象上凸;二、新课导学 (3) ??0 时,幂函数的图象在区间 (0, ???) 上是减?※ 学习探究 函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图探究任务一:幂函数的概念 当问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? 象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正 半轴, x 趋于 ?? (1)边长为 a 的正方形面积 S ??a 2 ,S 是 a 的函数; 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. (2)面积为 S 的正方形边长 a ??S , 是 S 的函数; ※ 典型例题a 3 (3)边长为 a 的立方体体积 V ??a , 是 a 的函数;V 例 1 讨论 f ( x) ??x 在[0, ??) 的单调性. (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均 速度 v ??t ?1 km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ??w 元,这里 p 是 w 的函数.
1 2

新知:一般地,形如 y ?? x??( a ??R ) 的函数称为幂函 数,其中a 为常数. 试试:判断下列函数哪些是幂函数.
1

变式:讨论 f ( x) ??3 x 的单调性.

① y ??;② y ??2 x 2 ;③ y ??x 3 ??x ;④ y ?? 1.
x
23

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2 ?3

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2 ?3

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 比较大小: (1) a ??1) 1.5 与 a(
1 1.5 1 ?? ?2

(a ??0) ; (2) ??a ) 2 与 2 ;(2

(3) 1.1 ? 0.9 . ??与 2

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若幂函数 f ( x) ??x??在 (0, ???) 上是增函数,则 (). A.a >0 B.a <0 C.a =0 D.不能确定
4 3

2. 函数 y ??x 的图象是(

).

小结:利用单调性比大小.

※ 动手试试
练 1. 讨论函数 y ??x 的定义域、奇偶性,作出它的 图象,并根据图象说明函数的单调性.
2 3

A. B. C. D. 1 1 ?2 2 3. 若 a ??1.1 , b ??0.9 ,那么下列不等式成立的是 (). A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a D.1< b < a 4. 比大小: (1) 1.3 _____1.5 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?? 2. 5. 已知幂函数 y ??f ( x ) 的图象过点 (2, 2) ,则它的 解析式为 .
1 2 1 2

业作后课
13 ??p 2 ??p ?

练 2. 比大小: (1) 2.3 与 2.4 ; (3) ( 2) 与 ( 3) .
3 ?2 3 ?? ??2 3 4 3 4

(2) 0.31 与 0.35 ;

6 5

6 5

?22 1. 已知幂函数 f(x)= x( p∈Z)在 (0, ???) 上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求 p 的值, 并写出相应的函数 f(x).

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂函数的的性质及图象变化规律; 2. 利用幂函数的单调性来比较大小. ※ 知识拓展 幂函数 y ??x??的图象,在第一象限内,直线 x ??1 的右侧,图象由下至上,指数 ??由小到大. y 轴和 直线 x ??1 之间,图象由上至下,指数a 由小到大.

2. 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过 圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方 成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 3 400cm /s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流 量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率.

24

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第二章 基本初等函数Ⅰ(复习)
标目习学

例 2 已知函数 f ( x) ? 性和单调性.

10 ??10

x

??x

,判断 f ( x 的奇偶)
?

10 x ??10

x

1. 掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、 对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对 数函数的性质; 2. 了解五个幂函数的图象及性质.

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P48~ P83,找出疑惑之处) 复习 1:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性 质?

例 3 已知定义在 R 上的偶函数 f ??x ?? 在 ( ??, 0] 上是
1
aa

f ( ) ??0 ,求不等式 f ??log 4 x ?? ??0 的解 复习 2: 已知 0<a<1, 试比较 a , ( a a ) , a ( a减函数,若 ) 的
a

大小.

2

集.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域:
1

(1) y ??( ) x ??1 ;
2 1

(2) f ( x ?) ;
log 2 ( x ??1) ??3 (3) f ( x) ??log 2 x ?1 3 x ?? 2.

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域与值域.
(1) y ??8
1 2 x ?1



(2) y ??1 ??2 x

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班级:

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

12

练 2. 讨论函数 y ??( ) x ?3 x ??2 的单调性.
2

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
?????????????????

1. 函数 y ??2

2

x ?3 x ??2

的单调递增区间为().

33 A. ( ??? ?),B. ( , ??? ) 22 33 C. ( ??, ?? ?)D. ( ??, ??? ) 22 2. 设 f (log 2 x ) ??2 x ( x ??0) , f (3) 的值是则 () .

练 3. 函数 f ( x) ??log a

x ??b

A. 128 .??

B. 256

C. 512

D. 8

??a ??0, b ??0且a ??1

???????????x ?b
1)讨论 )求 f ( fx( x 的定义域; ) ) (2 的奇偶性; (3)讨论 f ( x 的单调性.)

3. 函数 y ??log 2 ( x ??x 2 ??1) 的奇偶性为(). A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数
1

4. 函数 y ??x ?2 在区间 [ , 2] 上的最大值是 .
2

5. 若函数 y ??(log 1 a ) x 为减函数,则 a 的取值范围
2



.

业作后课

1. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期 利率为 r ,设本利和为 y 元,存期为 x ,写出本利 和 y 随存期 x 变化的函数解析式. 如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利 和是多少(精确到 1 元)?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂、指、对函数的图象与性质; 2. 指数、对数运算; 3. 函数定义域与值域; 4. 函数单调性与奇偶性; 5. 应用建模问题.
2. 某公司经过市场调查,某种商品在最初上市的几 个月内销路很好,几乎能将所生产的产品全部销售 出去. 为了追求最大的利润,该公司计划从当月开 始,每月让产品生产量递增,且 10 个月后设法将 该商品的生产量翻两番,求平均每月生产量的增长 率.

※ 知识拓展 1. 图象平移变换: ①水平平移: y=f(x± a)(a>0)的图象,可由 y=f(x) 的图象向左或右平移 a 个单位得到. ②竖直平移: y=f(x)± b(b>0)的图象,可由 y=f(x) 的图象向上或向下平移 b 个单位而得到. 2. 图象翻折变换: ①y=f(|x|)的图象在 y 轴右侧(x>0)的部分与 y=f(x) 的图象相同,在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴对称. ②y=|f(x)|的图象在 x 轴上方部分与 y=f(x)的图象 相同,其他部分图象为 y=f(x)图象下方部分关于 x 轴的对称图形.

26

书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟。
个人成绩榜
自我评价
分值 A级 B级 C级 D级 总分 平均分 5 4 3 2 个数 1 绩成次历 2 3 4 5

当堂检测
6 7 8 9 10 11 12 13

数学导学案
①修必

数函等初本基 章二第

(Ⅰ)

本册终审 质量监督 意见信箱 本册成本

高建彪 076086853660 zssxzb@163.com 2.7 元

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2008~2009 学年 第一学期
模块:


第三章

修①
函数的应用

章节: 班级: 姓名:

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§ 3.1.1 方程的根与函数的零点
标目习学

新知:对于函数 y ??f ( x ) ,我们把使 f ( x ) ??0 的实 数 x 叫做函数 y ??f ( x ) 的零点(zero point). 反思: 函数 y ??f ( x ) 的零点、方程 f ( x ) ??0 的实数根、函 数 y ??f ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标,三者有什 么关系?

1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的 联系; 2. 掌握零点存在的判定定理.

试试: 一、课前准备 (1)函数 y ??x 2 ??4 x ??4 的零点为 (预习教材 P86~ P88,找出疑惑之处) 2 复习 1:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a ??0)的解法. (2)函数 y ??x 2 ??4 x ??3 的零点为 判别式 ???? . 当 ?? 0,方程有两根,为 x1,2 ?; 当 ?? 当 ?? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根. ;

程过习学

; .

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ???? 的根与二次函数? y=ax 2 +bx+c (a ??0)的图象之间有什么关系? 判别式
???? 0 ???? 0 ??0

小结:方程 f ( x ) ??0 有实数根 ??函数 y ??f ( x ) 的图 象与 x 轴有交点 ??函数 y ??f ( x ) 有零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ??x 2 ??4 x ??3 的图象, f (2), f (1), f (0) 的求 值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

一元二次方程

二次函数图象

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x 2 ??2 x ??3 ??0 的解为,函数 2 y ??x ??2 x ??3 的图象与 x 轴有个交点,坐标 为. ② 方程 x 2 ??2 x ??1 ??0 的解为,函数 2 y ??x ??2 x ??1 的图象与 x 轴有个交点,坐标 为. ③ 方程 x 2 ??2 x ??3 ??0 的解为,函数 y ??x 2 ??2 x ??3 的图象与 x 轴有个交点,坐标 为.

② 观察下面函数 y ??f ( x ) 的图象,

在区间[ a, b 上] 在区间[b, c 上] 在区间[c, d ] 上

零点; f ( a)??f (b ) 零点; f (b)??f (c ) 零点; f (c )??f (d )

0; 0; 0.

根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax 2 ??bx ??c ??0 ( a ??0) 的根就是相 应二次函数 y ??ax 2 ??bx ??c ??0 ( a ??0) 的图象与 x 轴交点的 . 你能将结论进一步推广到 y ??f ( x ) 吗?

新知:如果函数 y ??f ( x ) 在区间[ a, b 上的图象是连] 续不断的一条曲线,并且有 f ( a)??f (b <0,那么,) 函 数 y ??f ( x ) 在 区 间 ( a, b 内 有 零 点 , 即 存 在 ) c ??( a, b) , 使 得 f (c ) ??0 , 这 个 c 也 就 是 方 程 f ( x ) ??0 的根.

讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗? 试结合图形来分析.

1

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第三章 函数的应用

※ 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ??ln x ??2 x ??6 的零点的个数.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函 数 f ( x) ??( x 2 ??2)( x 2 ??3 x ??2) 的 零 点 个 数 为 (). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若 函 数 f ( x 在 ??a, b 上 连 续 , 且 有 ) ??
f ( a)??f (b) ??0 .则函数 f ( x 在 A. C. 3. 函 (). A.

变式:求函数 f ( x) ??ln x ??x ??2 的零点所在区间.

??a, b

). 上() ??

小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x ) ??0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将 它与函数 y ??f ( x ) 的图象联系起来,并利用函数的 性质找出零点.

一定没有零点 B. 至少有一个零点 只有一个零点 D. 零点情况不确定 数 f ( x) ??e x ?1 ??4 x ??4 的 零 点 所 在 区 间 为 ( ?? ?0)1,B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)

4. 函数 y ????x 2 ??x ??20 的零点为 . 5. 若函数 f ( x 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x 在 ) ) (0, ???) 上有一个零点. f ( x 的零点个数为 则 ) .

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的零点: (1) y ??x 2 ??5 x ??4 ;
(2) y ??( x ??1)( x 2 ??3 x ?? 1) .

业作后课

1. 求函数 y ??x 3 ??2 x 2 ??x ??2 的零点所在的大致区 间,并画出它的大致图象.

练 2. 求函数 y ??2 x ??3 的零点所在的大致区间.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①零点概念;②零点、与 x 轴交点、方程的根的关 系;③零点存在性定理 ※ 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质: (1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非 偶次零点),函数值变号. 推论:函数在区间 [ a, b 上的图象是连续的,且 ] f ( a) f (b) ??0 ,那么函数 f ( x 在区间[ a, b 上至少有) ] 一个零点. (2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.

2. 已知函数 f ( x) ??2( m ??1) x 2 ??4 mx ??2 m ?? 1. (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 值.

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§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解
标目习学

新知:对于在区间[ a, b 上连续不断且 f ( a)??f (b <0 ] ) 的函数 y ??f ( x ) ,通过不断的把函数的零点所在的 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求 相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数 零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处 理问题的意识.

反思: 给定精度ε,用二分法求函数 f ( x 的零点近似值) 的步骤如何呢?

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P89~ P91,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性 定理? 对于函数 y ??f ( x ) ,我们把使的实数 x 叫做函数 y ??f ( x ) 的零点. 方程 f ( x ) ??0 有实数根 ??函数 y ??f ( x ) 的图象 与 x 轴??函数 y ?? ?f ( x ) . 如果函数 y ??f ( x ) 在区间 [ a, b 上的图象是连续] 不断的一条曲线,并且有,那么, 函数 y ??f ( x ) 在区间 ( a, b 内有零点. )

①确定区间[ a, b ,] 验证 f ( a)??f (b) ??0 ,给定精度ε; ②求区间 ( a, b 的中点 x ;) 1 ③计算 f ( x ) : 若 f ( x1 ) ??0 , x 就是函数的零点;则 若 f ( a )??f ( x1 ) ??0 , 则 令 b ??x1 ( 此 时 零 点
x0 ??(a , x1 ) ) 若 f ( x1 )??f (b ) ??0 ,则令 a ??x1 (此时;
11

零点 x0 ??( x1 , b) ); ④判断是否达到精度ε;即若| a ??b | ??,则得到零? 点零点值 a(或 b);否则重复步骤②~④.

复习 2:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四 次方程?

※ 典型例题 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2 x ??3x ??7 的近似解.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别 的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要 求次数越少越好. 解法: 第一次,两端各放个球,低的那一端一定 有重球; 第二次,两端各放个球,低的那一端一 定有重球; 第三次,两端各放个球,如果平衡,剩下 的就是重球,否则,低的就是重球.
变式:求方程 2 x ??3x ??7 的根大致所在区间. 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想, 采用类似的方法,如何求 y ??ln x ??2 x ??6 的零点所 在区间?如何找出这个零点?

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第三章 函数的应用

※ 动手试试 练 1. 求方程 log 3 x ??x ??3 的解的个数及其大致所 在区间.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若函数 f ( x 在区间 ??a, b ?? 上( ).

??a, b

上为减函数, f ( x 在) 则 ) ??

练 2.求函数 f ( x) ??x 3 ??x 2 ??2 x ??2 的一个正数零点 (精确到 0.1 )

A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分 法求函数零点近似值的是().

零点所在区间

中点函数值符号

区间长度

3. 函 数 f ( x) ??2 x ln( x ??2) ??3 的 零 点 所 在 区 间 为 (). A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5,6) 4. 用二分法求方程 x3 ??2 x ??5 ??0 在区间[2,3]内的 实 根 , 由 计 算 器 可 算 得 f (2) ???1 , f (3) ??16 , f (2.5) ??5.625 ,那么下一个有根区间为 . 5. 函数 f ( x) ??lg x ??2 x ??7 的零点个数为, 大致所在区间为 .

练 3. 用二分法求 3 3 的近似值.

业作后课

1. 求方程 0.9 x ??0.1x ??0 的实数解个数及其大致所 在区间.

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想. ※ 知识拓展 高次多项式方程公式解的探索史料 2. 借 助 于 计 算 机 或 计 算 器 , 用 二 分 法 求 函 数 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根 f ( x) ??x 3 ??2 的零点(精确到 0.01 ). 公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直 没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和 伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的 代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运 算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项 式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点近似 解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课题.
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§ 3.1 函数与方程(练习)
标目习学

例 2 若关于 x 的方程 x 2 ??6 x ??8 ??a 恰有两个不等 实根,求实数 a 的取值范围.

1. 体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点 存在的判定条件; 2. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求 相应方程的近似解; 3. 初步形成用图象处理函数问题的意识.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P86~ P94,找出疑惑之处) 复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ??f ( x ) 在区间 [ a, b 上的图象是连续] 不断的一条曲线,并且有,那么, 函数 y ??f ( x ) 在区间 ( a, b 内有零点. ) 小结:利用函数图象解决问题,注意| f ( x | 的图象. ) 复习 2:二分法基本步骤. 例 3 试求 f ( x = x3 ??8x ??1 在区间[2,3]内的零点的) ①确定区间[ a, b ,] 验证 f ( a)??f (b) ??0 ,给定精度ε; 近似值,精确到 0.1. ②求区间 ( a, b 的中点 x ;) 1 ③计算 f ( x ) : 若 f ( x1 ) ??0 , x 就是函数的零点;则 1 1 若 f ( a )??f ( x1 ) ??0 , 则 令 b ??x1 ( 此 时 零 点
x0 ??(a , x1 ) ) 若 f ( x1 )??f (b ) ??0 ,则令 a ??x1 (此时;

零点 x0 ??( x1 , b) ); ④判断是否达到精度ε;即若| a ??b | ??,则得到零? 点零点值 a(或 b);否则重复步骤②~④.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 已 知 f ( x) ??2 ??log 3 x (1 ??x ??9) , 判 断 函 数
g ( x) ??f 2 ( x ) ??f ( x 2 ) 有无零点?并说明理由.

小结:利用二分法求方程的近似解. 注意理解二分 法的基本思想,掌握二分法的求解步骤.
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第三章 函数的应用

※ 动手试试
练 1. 已知函数 f ??x ????e x ?1 ??4, g ??x ?? ??4 x ,两函数 图象是否有公共点?若有,有多少个?并求出其公共 点的横坐标.若没有,请说明理由.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 y ??f ( x ) 的最小值为 2,则 y ??f ( x ) ??1 的零点 个数为(). A. 0 B. 1 C. 0 或 l D. 不确定
2. 若 函 数 f ( x 在

??a, b

上 连 续 , 且 同 时 满 足 ) ??

f ( a)??f (b) ??0 , f ( a )??f ( A. f ( x 在[ a ,)
a ??b a ??b 2

a ??b ) ??0 .则( 2 ] 上有零点

).

B. f ( x 在[) , b ] 上有零点
2 a ??b

C. f ( x 在[ a ,) ] 上无零点 练 2. 选择正确的答案. (1)用二分法求方程在精确度 ??下的近似解时,通 过 逐 步 取 中 点 法 , 若 取 到 区 间
2 a ??b D. f ( x 在[) , b ] 上无零点 3. 方程 | x 2 ??2 |??lg x 的实数根的个数是( 2

??a , b ?? ?且

).

f ( a)??f (b) ??0 ,此时不满足 a ??b ????,通过再次取 中点 c ?
a ??b

,有 f ( a)??f (c) ??0 ,此时 a ??c ????, 2 而 a, b, c 在精确度 ??下的近似值分别为 x1 , x2 , x (互3 不相等). f ( x 在精确度 ??下的近似值为则 ) () . A. x 1 B. x 2 C. x 3 D. ? (2)已知 x1 , x 是二次方程 f ( x 的两个不同实根, ) 2
g ( x1 )??g ( x2 ) ??0 ,则(

A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 x 4. 方 程 2 ??x ??4 的 一 个 近 似 解 大 致 所 在 区 间 为. 2 5. 下列函数:① y= lg x ; ② y ??2 x ; ③ y= x ; ④ y= |x| -1. 其中有 2 个零点的函数的序号是 .
业作后课

1.已知 f ( x) ??2 ??2 x ??x 2 , (1)如果 g ( x ) ??f (2 ??x 2 ) ,求 g ( x 的解析式;) x3 , x 是 二 次 方 程 g ( x) ??0 的 两 个 不 同 实 根 , 若 4 ( 2)求函数 g ( x 的零点大致所在区间. ) ). A. x , x 介于 x 和 x 之间 1 2 3 4 B. x , x 介于 x 和 x 之间 3 4 1 2 C. x 与 x 相邻, x 与 x 相邻 1 2 3 4 D. x , x 与 x , x 相间相列1 2 3 4

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 零点存在性定理; 2. 二分法思想及步骤; ※ 知识拓展 若函数 f ( x 的图象在 x ??x0 处与 x 轴相切,则零) 点 x 通常称为不变号零点;若函数 f ( x 的图象在 ) 0 x ??x0 处与 x 轴相交,则零点 x 通常称为变号零点.0 二分法的条件 f ( a)??f (b ??0 表明用二分法求函数) 的近似零点都是指变号零点.

2. 探究函数 y ??0.3 与函数 y ??log 0.3 x 的图象有无 交点,如有交点,求出交点,或给出一个与交点距 离不超过 0.1 的点.
x

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§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型(1)
标目习学

反思: ① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述 这些数量关系?

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等 不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较 指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列 表)并借助信息技术解决一些实际问题.

② 根据此例的数据,你对三种方案分别表现出的 回报资金的增长差异有什么认识?借助计算器或 计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方 案的特点.

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P95~ P98,找出疑惑之处) 阅读:澳大利亚兔子数“爆炸” 有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使 澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳 洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔 子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子 们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱 的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而 牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不 已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世 纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之 九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备 制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达 到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单 位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而 增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型: y ??0.25 ; y ??log 7 x ??1 ; y ?? 1.002 x . x 问:其中哪个模型能符合公司的要求?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天 多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比 前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

反思: ① 此例涉及了哪几类函数模型?本例实质如何?

② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型 是否符合公司要求?
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第三章 函数的应用

※ 动手试试 练 1. 如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,
某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月)的近

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() .
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 似函数关系: y ?? a t (t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
述 1. 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂
1

① 第 4 个月时,剩留量就会低于 ; 成 4 个,4 个分裂成 8 个……,现有 2 个这样的细
5

胞,分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为(). ② 每月减少的有害物质量都相等; A. y ?? 2 x ?1 B. y=2 x- 1 C. y=2 x D. y=2x
111

③ 若 剩 留 量 为 ,, 所 经 过 的 时 间 分 别 是 2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大
248

调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越
t1 , t2 , t ,则 t1 ??t2 ?? t3 . 3

慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后 其中所有正确的叙述是 . 利润 y 与时间 x 的关系,可选用(). A. 一次函数 B. 二次函数 y C. 指数型函数 D. 对数型函数 1 3. 一等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是关于腰 4 长 x 的函数,它的解析式为(). (2, ) A. y=202x (x≤10) B. y=202x (x<10) 9 C. y=202x (5≤x≤10) D. y=202x(5<x<10) 4. 某新品电视投放市场后第 1 个月销售 100 台,第 1 2 3 t(月) 业作后课 2 个月销售 200 台,第 3 个月销售 400 台,第 4 个 某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打 月销售 790 台,则销量 y 与投放市场的月数 x 之间 了七五折,他打算对该服装定一新价标在价目卡 练 2. 经市场调查分析知,某地明年从年初开始的 上,并注明按该价 20%销售. 这样,仍可获得 25% 对某种商品需 . 前 n 个月, 的纯利 . 求此个体户给这批服装定的新标价与原标 求总量 f ??n ?? ?(万件)近似 的关系可写成 价之间的函数关系 . 5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如 地满足关系

三、总结提升 果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作 ※ 学习小结 1 时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算 1. 两类实际问题:投资回报、设计奖励方案; 2. 几种函数模型:一次函数、对数函数、指数函数; f ?n?? ?n ??n ??1???35 ??2 n ???n ??1, 2,3,??,12 .?? 3. 应用建模(函数模型); ??????????? 150 机. 现在 10 台计算机在第 1 轮病毒发作时被感染, 写出明年第 n 个月这种商品需求量 g ??n ?? ?(万件)与 问在第 5 轮病毒发作时可能有台计算机 被感染. (用式子表示)月份 n 的函数关系式. ※ 知识拓展
解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量 关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学 知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原 为实际问题的意义.

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§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型(2)
标目习学

结论:在区间 (0, ???) 上,尽管
y ??a x ( a ??1) , ??log a x( a ??1) y

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等 不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较 指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列 表)并借助信息技术解决一些实际问题.

和 y ??x n ( n ??0) 都是增函数, 但它们的增长速度不同,而且 不在同一个“档次”上,随着 x 的增大, ??a x ( a ??1) 的增长y 速度越来越快,会超过并远远 大 于 y ??x n ( n ??0) 的 增 长 速 度.而 y ??log a x( a ??1) 的增长 速度则越来越慢.因此,总会 存在一个 x ,当 x ??x0 时,就0

程过习学

一、课前准备 有 log a x ??x n ??a x . (预习教材 P98~ P101,找出疑惑之处) 复习 1:用石板围一个面积为 200 平方米的矩形场 ※ 典型例题 地 , 一 边 利 用 旧 墙 , 则 靠 旧 墙 的 一 边 长 为 例 1 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的 ___________米时,才能使所有石料的最省. 数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估计 以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关 系 , 模 拟 函 数 可 以 选 用 二 次 函 数 或 函 数 y ??ab x ??c(其中a , b, c为常数 . 已知 4 月份该产品) 的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟 复习 2:三个变量 y1 , y2 , y 随自变量 x 的变化情况如3 函数较好,并说明理由. 下表: x 1 3 5 7 9 11
y1 y2 y3 5 5 5 135 29 6.1 625 1715 3645 6633 245 2189 19685 177149 6.61 6.95 7.20 7.40

其中 x 呈对数型函数变化的变量是________,呈指 数型函数变化的变量是________,呈幂函数型变化 的变量是________.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:幂、指、对函数的增长差异 问题:幂函数 y ??x n ( n ??0) 、指数函数 y ??a x ( a ??1) 、 对数函数 y ??log a x( a ??1) 在区间 (0, ???) 上的单调 性如何?增长有差异吗?

实验:函数 y1 ??2 x , y2 ??x 2 , y ??log 2 x ,试计算: x12345678
y1 y2 y3

0

1

1.58

2

2.32 2.58 2.81

3

由表中的数据,你能得到什么结论?

2

思考:

2

x, 2 x , x 大小关系是如何的?增长差异? log 小结:待定系数法求解函数模型;优选模型 .

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第三章 函数的应用

※ 动手试试 练 1. 为了预防流感,某学校 对教室用药熏消毒法进行消 毒. 已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时) 成正比;药物释放完毕后,y
与 t 的函数关系式为 y ??( ) (a 为常数),如图
16 1
t ??a

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物, 生产了一段时间后,由于订货商想再多订一些,但 供货时间不变,该工厂便组织工人加班生产,能反 映该工厂生产的货物数量 y 与时间 x 的函数图象大 致是().

所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y ( 毫 克 )与 时 间 t( 小 时) 之 间 的函 数 关系 式 为. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放 2. 下 列 函 数 中 随 x 增 大 而 增 大 速 度 最 快 的 是 (). 开始,至少需要经过小时后,学生才能回到 A. y ?? 2007 ln xB. y ?? x 2007 教室.
x

e

C. y ?? D. y ??2007 ?? 2x 练 2. 某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一 段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售 价格. 经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时, 每月能卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月 能卖 210 件,假定每月销售件数 y(件)是价格 x (元/件)的一次函数. (1)试求 y 与 x 之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下, 问销售价格定为多少时,才能时每月获得最大利 润?每月的最大利润是多少?
2007

3. 根 据三 个函 数 f ( x) ??2 x, g ( x ) ??2 x , h( x) ??log 2 x 给出以下命题: (1) f ( x), g ( x), h( x 在其定义域上都是增函数;) (2) f ( x 的增长速度始终不变;) (3) f ( x 的增长) 速度越来越快; (4) g ( x 的增长速度越来越快;) (5) h( x 的增长) 速度越来越慢。 其中正确的命题个数为(). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 当 2 ??x ??4时, 2 x, 2 x , x 2 的大小关系是 log. 5. 某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己 生产,如外购,每个价格是 1.10 元;如果自己生产, 则每月的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配 件的材料和劳力需 0.60 元,则决定此配件外购或自 产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

业作后课

某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,

三、总结提升 茶杯每个定价为 5 元,该店推出两种优惠办法: ※ 学习小结(1)买一个茶壶赠送一个茶杯; 直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型 (2)按总价的 92%付款. 某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干(不少于 4 个),的增长的含义. 若需茶杯 x 个,付款数为 y(元),试分别建立两种 优惠办法中 y 与 x 的函数关系,并讨论顾客选择哪※ 知识拓展 在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、 种优惠方法更合算. 决策与管理等许多工作中,常常要制订最优化方 案,优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方 案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、 生产、科技和经济领域中,几乎可以用于凡是有数 值加工的每个领域. 中国数学家华罗庚在推广优选 方法的理论研究和开发研究工作中付出巨大贡献.

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§ 3.2.2 函数模型的应用实例(1)
标目习学

变式:某客运公司定客票的方法是:如果行程不超 过100km ,票价是 0.5 元/ km ,如果超过100km ,则 超过100km 的部分按 0.4 元/ km 定价. 则客运票价 y 元与行程公里 x km 之间的函数关系是 .

1. 通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指 数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体会解 决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加 深对这些函数的理解与应用; 2. 了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型 的应用. 小结:分段函数是生产生活中常用的函数模型,与 生活息息相关,解答的关键是分段处理、分类讨论.
程过习学

一、课前准备 (预习教材 P101~ P104,找出疑惑之处) 复习 1:某列火车众北京西站开往石家庄,全程 253km,火车出发 10min 开出 13km 后,以 120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶 的时间 t 之间的关系式,并求火车离开北京 2h 内行 驶的路程.

复习 2:一辆汽车在某段路程 中的行驶速度 v 与时间 t 的关 系如图所示,则该汽车在前 3 小 时 内 行 驶 的 路 程 为 _________km,假设这辆汽车 的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为 2006km,那么 在 t ??[1, 2] 时,汽车里程表读 数 S 与时间 t 的函数解析式为__________.

例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认 识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长 提供依据. 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯 (1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模 型: ??y0 e rt ,y其中 t 表示经过的时间, 0 表示 t ??0 y 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料:(单位:万人) 1951 1952 1953 1954 年份 1950 人数 55196 56300 57482 58796 60266 1956 1957 1958 1959 年份 1955 人数 61456 62828 64563 65994 67207 1)若以各年人口增长率的平均值作为我国这一时 期的人口增长率(精确到 0.0001),用马尔萨斯人 口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长 模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口将达到 13 亿?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 一辆汽车在某段路程中的 行驶速度与时间的关系如右图: (1)求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际意义; (2)假设这辆汽车的里程表在 汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽 车行驶这段路程时汽车里程表读数 S 和时间 t 的函 数解析式.

小结:人口增长率平均值的计算;指数型函数模型.
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第三章 函数的应用

※ 动手试试 练 1. 某书店对学生实行促销优惠购书活动,规定 一次所购书的定价总额:①如不超过 20 元,则不 予优惠;②如超过 20 元但不超过 50 元,则按实价 给予 9 折优惠;③如超过 50 元,其中少于 50 元包 括 50 元的部分按②给予优惠,超过 50 元的部分给 予 8 折优惠. (1)试求一次购书的实际付款 y 元与所购书的定 价总额 x 元的函数关系; (2)现在一学生两次去购书,分别付款 16.8 元和 42.3 元,若他一次购买同样的书,则应付款多少? 比原来分两次购书优惠多少?

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2%,3 年后支取,则可得利息(单位:万元) 为(). A. 5(1+0.02) 3 B. 5(1+0.02) 2 C. 5(1+0.02) 3 5 C. 5(1+0.02) 2 5 2. x 克 a%盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变为 c%,则 x 与 y 的函数关系式为().
c ??a c ??a

A. y= x B. y= x
c ?? bb ?? c a ??c b ??c

C. y= x D. y= x
b ?? cc ?? a

3. A、B 两家电器公司在今年 1—5 月份的销售量 如下图所示, (万台)
100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 (月) A B

练 2. 在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节 即将来临时,价格呈上升趋势. 设某服装开始时定 价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开 始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去 时,平均每周降价 2 元,直到 16 周末,该服装已 不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系; (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式 为 Q ???0.125(t ??8) 2 ??12, t ????0,16?? , t ??N ,试问该服 装第几周每件销售利润最大?

则 B 相对于 A 其市场份额比例比较大的月份是 (). A. 2 月 B. 3 月 C. 4 月 D. 5 月 4. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f (m) =1.06(0.5× [m]+1)元给出,其中 m>0,[m]是大 于或等于 m 的最小整数(职[3]=3,[3.7]=4),则从 甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为元. 5. 已知镭经过 100 年,质量便比原来减少 4.24%, 设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y ,则 y ??f ( x ) 的函数解析式为 .

业作后课

经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量 和价格均为时间 t ( d )的函数,且销售量近似地
1 109

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 分段函数模型; 2. 人口增长指数型函数模型; ※ 知识拓展 英国物理学家和数学家牛顿(Issac Newton, 16431727 年)曾提出物体在常温环境下温度变化 的冷却模型: ??????0 ??(?1 ????0 ) e ??kt ,其中 t 表示经? 过的时间, 1 表示物体的初始温度, 0 表示环境稳?? 定,k 为正的常数.

满足 g (t ) ????t ?(1 ??t ??100 , t ??N );前 40
33 1

天价格为 f (t ) ??t ??22 ??t ??40 ,t ??N )(1,后 40
4 t

天的价格为 f (t ) ??????52 ( 41 ??t ??100 , t ??N ),
2

试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系.

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编写:高建彪

校审:贺联梅

§ 3.2.2 函数模型的应用实例(2)
标目习学

1. 通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指 数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体会解 决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加 深对这些函数的理解与应用; 2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.

变式:某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租 为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租 金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减 少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高 到多少时,每天客房的租金总收入最高?

程过习学

一、课前准备 (预习教材 P104~ P106,找出疑惑之处) 阅读:2003 年 5 月 8 日,西安交通大学医学院紧急 启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模 型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关, 于 5 月 19 日初步完成了第一批成果,并制成了要 供决策部门参考的应用软件. 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国 和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指 出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析 报告说,就全国而论,菲非典病人延迟隔离 1 天, 就医人数将增加 1000 人左右,推迟两天约增加工 能力 100 人左右;若外界输入 1000 人中包含一个 病人和一个潜伏病人,将增加患病人数 100 人左右; 若 4 月 21 日以后,政府示采取隔离措施,则高峰 期病人人数将达 60 万人. 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资 发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型 和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分 析预测.

小结:找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量 间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题 →小结:二次函数模型。 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值 如下表(身高:cm;体重:kg)
身高 体重 身高 体重 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

(1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏 胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为 175cm ,体重 78kg 的在校男生的体重是否正常?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定 成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元. 销售单价与日 均销售量的关系如下表所示:
销售单价/ 元 日均销售 量/ 桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价 才能获得最大利润?

小结:根据收集到的数据的特点,通过建立函数模 型,解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点 图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实 际,用函数模型解释实际问题;不符合实际,则重 新选择函数模型,直到符合实际为止.
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第三章 函数的应用

※ 动手试试 练 1. 某同学完成一项任务共花去 9 个小时,他记 录的完成工作量的百分数如下:
时间/

1 2
小时 完成

3

4

5

6

7

8

9

45 60 60 70 80 90 100 15 30 ( 1)如果用 T ( h 来表示 h 小时后完成的工作量的) 百分数 百分数,请问 T (5) 是多少?求出 T ( h 的解析式,) 并 画出图象; (2)如果该同学在早晨 8:00 时开始工作,什么 时候他未工作?

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 向高为 H 的圆锥形漏斗内注入化学溶 液(漏斗下口暂且关闭),注入溶液量 V 与溶液深度 h 的大概图象是().

2. 某种生物增长的数量 y 与时间 t 的关系如下表: x 1 2 3 .. .
y

1 3 8 ... 下面函数关系式中,能表达这种关系的是(). 2 x A. y ??x ?? 1 B. y ??2 ?? 1 C. y ??2 x ?? 1 D. y ??1.5 x 2 ??2.5 x ?? 2 3. 某企业近几年的年产值如下图:
(万元) 1000 800

练 2. 有一批影碟(VCD)原销售价为每台 800 元,
600

在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方
400

法促销:买一台单价为 780 元,买两台单价都为 760
200

元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减
00(年)96999798少 20 元,但每台售价不能低于 440 元;乙商场一 律都按原价的 75%销售. 某单位需购买一批此类影 则年增长率(增长率=增长值/原产值)最高的是 碟机,问去哪家商场购买花费较低? (). A. 97 年 B. 98 年 C. 99 年 D. 00 年 4. 某杂志能以每本 1.20 的价格发行 12 万本,设定 价每提高 0.1 元,发行量就减少 4 万本. 则杂志的 总销售收入 y 万元与其定价 x 的函数关系是 . 5. 某新型电子产品 2002 年投产,计划 2004 年使其 成本降低 36℅. 则平均每年应降低成本 %.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 有关统计图表的数据分析处理; 2. 实际问题中建立函数模型的过程; ※ 知识拓展 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: ①一次函数模型: f ( x) ??kx ??b( k ??0)?
②二次函数模型: g ( x ) ??ax 2 ??bx ??c (a ??0)? ③幂函数模型: h( x) ??ax ??b (a ??0)? ④指数函数模型:( x) ??ab x ??c a ??0, b >0, ??1 )l( b
1 2

业作后课

某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产, 并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖, 因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产 品时,接收定单不至于过多或过少,需要估测以后 几个月的产量,你能解决这一问题吗?

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

第三章 函数的应用(复习)
标目习学

例 2 某工厂生产某产品 x 吨所需费用 P 元,而卖出
1 10 x
2

x 吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1000+5x+ x , 1. 体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点 存在的判定条件,能用二分法求方程的近似解,初 步形成用函数观点处理问题的意识; 2. 结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过 程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要 性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会 中的简单问题. Q=a+ .
b

(1)试写出利润 y 关于 x 的函数; (2)若生产出的产品能全部卖掉,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨价格为 40 元,求实数 a、 b 的值.

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P86~ P113,找出疑惑之处) 复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ??f ( x ) 在区间 [ a, b 上的图象是连续] 不断的一条曲线,并且有,那么, 函数 y ??f ( x ) 在区间 ( a, b 内有零点. )

复习 2:二分法基本步骤. ①确定区间[ a, b ,] 验证 f ( a)??f (b) ??0 ,给定精度ε; ②求区间 ( a, b 的中点 x ;) 1 例 3 将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻 ③计算 f ( x ) : 若 f ( x1 ) ??0 , x 就是函数的零点; 温度的数据如下表:则 1 1 若 f ( a )??f ( x1 ) ??0 , 则 令 b ??x1 ( 此 时 零 点 时间(S) 60 120 180 240 300
x0 ??(a , x1 ) ) 若 f ( x1 )??f (b ) ??0 ,则令 a ??x1 (此时;
温度(℃) 86.86 时间(S) 360 温度(℃) 53.03 81.37 420 52.20 76.44 480 49.97 66.11 540 45.96 61.32 600 42.36

零点 x0 ??( x1 , b) ); ④判断是否达到精度ε;即若| a ??b | ??,则得到零? 点零点值 a(或 b);否则重复步骤②~④. 复习 3:函数建模的步骤. 根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型, 解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点图→ 选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际,用 函数模型解释实际问题;不符合实际,则重新选择 函数模型,直到符合实际为止.

(1)描点画出水温随时间变化的图象; (2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x( s 的函数模型,并作出其图象,) 观察它与描点画出的图象的吻合程度如何. (3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模 型分析,至少经过几分钟水温才会降到室温?再经 过几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 已知二次方程 ( m ??2) x 2 ??3mx ??1 ??0 的两个根 分别属于(1,0)和(0,2),求 m 的取值范围.

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第三章 函数的应用

※ 动手试试 价评习学 练 1. 某种商品现在定价每年 p 元,每月卖出 n 件, ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . 因而现在每月售货总金额 np 元,设定价上涨 x 成, A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 卖出数量减少 y 成,售货总金额变成现在的 z 倍. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 2 (1)用 x 和 y 表示 z;(2)若 y= x,求使售货总 1. 函 数 f ( x) ??x 5 ??x ??3 的 实 数 解 落 在 的 区 间 是3 金额保持不变的 x 值.(). A. [0,1] B. [1,2] C. [2,3] D. [3,4] 2. 下 列 函 数 关 系 中 , 可 以 看 着 是 指 数 型 函 数 y ??ka x ( k ??R , a ??0且a ??1) 模型的是(). A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面, 信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B.我国人口年自然增长率为 1﹪,这样我国人口 总数随年份的变化关系 C.如果某人 ts 内骑车行进了 1km,那么此人骑车 练 2. 如图,在底边 BC=60,高 的平均速度 v 与时间 t 的函数关系 AD=40 的△ABC 中作内接矩形 D.信件的邮资与其重量间的函数关系 MNPQ,设矩形面积为 S, MN=x. 3. 用长度为 24 的材料围一个矩形场地,中间且有 (1)写出面积 S 以 x 为自变量 两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 的函数式,并求其定义域; (). (2)求矩形面积的最大值及相应的 x 值. A.3 B.4 C.6 D.12 2 4. 若函数 f ( x) ??x ??2 x ??a 没有零点,则实数 a 的 取值范围是 . 5. 已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满 业作后课 x 足关系 y=a· (0.5) +b,现已知该厂今年 1 月、2 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 挥部的电话线路发生了故障,这是一条 10km 长的 月份该产品的产量为_________. 线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小 三、总结提升 段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电 ※ 学习小结 线杆,10km 长,大约有 200 多根电线杆子呢.想一 零点存在定理及二分法;函数建模. 想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?要把故 障可能发生的范围缩小到 50~100m 左右,即一两根 电线杆附近,要查多少次? ※ 知识拓展 数学模型:对于现实中的原型,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学 工具得到一个数学结构。也可以说,数学建模是利 用数学语言(符号、式子与图象)模拟现实的模型。 把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型 的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态, 或者能预测到对象的未来状况,或者能提供处理对 象的最优决策或控制。 数学建模:(Mathematical Modelling)把现实世界 中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模 型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提 供的解答来解释现实问题,我们把数学知识的这一 应用过程称为数学建模.

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高建彪

校审:贺联梅

必修一模块总复习
标目习学

例 2 对于函数 f ( x) ??a ? x ( a ??R ).
2 ??1

2

(1)探索函数 f ( x 的单调性;) 1. 理解集合有关概念和性质,掌握集合的交、并、 (2)是否存在实数 a 使函数 f ( x 为奇函数?) 补等三种运算的,会利用几何直观性研究问题,如 数轴分析、Venn 图; 2. 深刻理解函数的有关概念,理解对应法则、图象 等有关性质,掌握函数的单调性和奇偶性; 3. 掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、 对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对 数函数的性质;了解五个幂函数的图象及性质; 4. 体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点 存在的判定条件,能用二分法求方程的近似解; 5. 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用.

程过习学

一、课前准备 (复习教材 P2~ P113,找出疑惑之处) 复习 1:集合部分知识结构.

例 3 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销 路. 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告 费之间的差. 如果销售额与广告费的算术平方根成 正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告费,所得的销售额是 1000 元. 问该企业应 该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应,是 不是广告做得越多越好? 复习 2:函数部分知识结构.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 已 知 全 集 U= {x ??N | 0 ??x ??6} , 集 合 A= { x ??N |1 ??x ??5} ,集合 B= ?? x ??N | 2 ??x ?? 6} .求:
(1)A ??B ; (2) ( CU A ) ??B ;(3)(CU A) ??(C U B ) .

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第三章 函数的应用

的四则运算和复合而成的函数. ※ 动手试试 练 1. 如图,△OAB 是边长为 2 的正三角形,记△ 价评习学 OAB 位 于 直 线 x ??t (t ??0) 左 侧 的 图 形 的 面 积 为 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为() . f (t ) ,则函数 f (t ) 的解析式为 _____________. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知集合 M ??{x ??N | x ??8 ??m, m ??N } ,则集合 M 中的元素的个数为(). A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 下列哪一组中的函数 f ( x 与 g ( x 相等() ) ).
2

x x

A. f ( x) ??x ??1 , g ( x ?)?? 1 B. f ( x) ??x 2 , g ( x) ?? (x)4 C. f ( x) ??x 2 , g ( x) ?? ?3 x 6
log D. f ( x ) ??x , g ( x ) ?? 2 2 x 3. 已知集合 A ??{ y | y ??log 2 x, x ??1} , 1 B ??{ y | y ??( ) x , x ??1} ,则 A ??B =(). 2 1 A. { y | 0 ??y ?? ?}B. { y | 0 ??y ?? 1} 2 1 C. { y | ??y ?? 1} D. ?? ?????????????2 1

练 2. 某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商 品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连续两次降价 20%,结果都以每件 23.04 元售出,若商店同时售 出这两种商品各一件,则与价格不升、不降的情况 相比较,商店盈利的情况是( ). A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 D.盈利相同

11 x 4. 函 数 y ??lg x , y ??2 , y ??, y ??, y ??x 2 的 xx

零点个数分别为 .
3

5. 若 log a ??1 ( a ??0, 且a ??0 ),则实数 a 的取值
4

范围为 .

业作后课

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的有关概念及三种运算; 2. 函数的三要素及性质(单调性、奇偶性); 3. 指、对、幂函数的图象及性质; 4. 零点存在定理及二分法; 5. 函数模型的应用.

如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相 同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长 是 30m,那么宽 x 为多少才能使所建造的每间熊猫 居室面积最大?每 间熊猫居室的 最大面积是多 少?

※ 知识拓展 基本初等函数包括以下 6 种: (1)常值函数: y =c(其中 c 为常数); a (2)幂函数 y =x (其中 a 为实常数); x (3)指数函数 y =a (a>0,a≠1); (4)对数函数 y =log ax(a>0,a≠1) ; (5)三角函数; (6)反三角函数. 所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次

18

书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟。
个人成绩榜
自我评价
分值 A级 B级 C级 D级 总分 平均分 5 4 3 2 个数 1 绩成次历 2 3 4 5

当堂检测
6 7 8 9

数学导学案
①修必

用应的数函 章三第

本册终审 质量监督 意见信箱 本册成本

高建彪 076086853660 zssxzb@163.com 2.0 元


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