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2013级数学分析第1学期期中考试答案


上 海 交 通 大 学 试 卷 解 答
( 2013 至 2014 学年 第 1 学期 2013 年 11 月 27 日 ) 姓名 成绩 班级号_________________ 课程名称 学号

《数学分析》 (电院、管院期中考试)

一、填空题 (每小题 4 分,共 20 分) 1. 2.

f ( x) ?

sin x
x x ?1

的间断点为 x ? 0; x ? 1 , 其类型为第一类可去; 第一类跳跃.

3. 4.

e ?1 设函数 f 在 x0 处可导,且 f ?( x0 ) ? 1,则 f ( x0 ? sin 2 x) ? f ( x0 ? 3x) lim ? 5. x ?0 x ? dy 1 ? x ? (2 ? ln t ) ln t , 设? 则 ? . ln t y? , dx t ?1 2 ? t ? 设函数 f ( x) 恒正且二阶可导,又 f (1) ? 1, f ?(1) ? 2, f ??(1) ? 1,令
y ? f ( x 2 ) ? ln f ( x) ,则 y??(1) ? 5 .

5.

函数 f ( x) ? sin( x ? x 2 ) 带 Peano 型余项的 4 阶 Maclaurin 公式为:
sin( x ? x 2 ) ? x ? x 2 ?

x3 x4 ? ? o( x 4 ) ? x ? 0 ? . 6 2

二、单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分) 6. 考虑下列函数
1? 1? 1? ? ?1 ? ? ?1 sin ? sin ? , sin ? sin x ? , sin ? x sin ? , sin ? sin ? . x? x? x? ?x ? ? ?x ?

上述函数在 (0, ??) 上一致连续的函数个数为 (A) 1 个. 7. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个.

…… ( B

)

设函数 f 在 x0 处连续, f 2 在 x0 处可导,则 f ( x0 ) ? 0 是 f 在 x0 处可导的 (A)充分条件. (C)充分必要条件. (B)必要条件. (D)既非充分条件,又非必要条件. …… ( A ) …… ( A )

8.

下列断语中

① 设函数 f ? D(a, b) 且 f ( x) 无界,则 f ?( x) 在 (a, b) 内必无界. ② 设函数 f ? D(a, b) 且 f ( x) 有界,则 f ?( x) 在 (a, b) 内必有界.
共3张5页 第1页

(A) ①对,②不对. (C) ①与②都对. 9.

(B) ①不对,②对. (D) ①与②都不对.
x ?0

据 Lagrange 中值定理有 e x ?1 ? xe x??x , (0 ? ? x ? 1) ,则 lim ? x ? … ( C (A) 1 .

)

1 (B) . 4

(C)

1 . 2

(D) 0 .

y

10. 设函数 f 在 \{0} 上可导,且 y ? f ( x) 的图形如右, 则其导函数 y? ? f ?( x) 的图形为
y? y?

…… ( D )
y?

O y?

x

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) 三、(本题共 12 分) 11. 设函数 f 在

(B)

(C)

(D)

上可导且 f ??(a) 存在,又 f (a) ? 0 ,令

? f ( x) , ? g ( x) ? ? x ? a ? ? f ?(a),

x ? a, x ? a.

(1) 求 g ?( x) , x ? ;(2) 试问导函数 g ? 在 x ? a 处是否连续?为什么? 答案:(1) 当 x ? a 时, g ?( x) ? (2) g ? 在 x ? a 处连续. 四、(每小题 9 分,共 27 分) 12. 设方程 e x ? e y ? sin( xy) ? 0 在 x ? 0 某邻域内确定了二阶可导的隐函数 ,求 y ? y( x)
dy dx ,
x ?0

f ?( x)( x ? a) ? f ( x) 1 ; g ?(a) ? f ??(a) . 2 ( x ? a) 2

d2 y d x2

.
x ?0

答案 y?(0) ? 1 ; y??(0) ? ?2 .
1 1 ? cos x ? x 2 2 13. 求极限 lim . x2
x ?0

cos x ? e

?

2

答案

1 2
共3张5页 第2页

14. 设 y ? arccos x . (1) 证明: (1 ? x2 ) y?? ? xy? ? 0 ; (2) 证明: (1 ? x2 ) y ( n?2) ? (2n ? 1) xy ( n?1) ? n2 y ( n) ? 0 ; (3) 求 y ( n ) (0), n ? . 提示 (2) 用 Leibniz 法则;(3) y (2 k ) (0) ? 0 ; y (2k ?1) (0) ? ?[(2k ? 1)!!]2 ( k ? 1, 2, ??? ) 五、(本题共 10 分) 15. 设函数 f 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,证明:存 在 ? ? (a, b) ,使得 2? f (? ) ? f ?(? ) ? 0 . 提示: 令 F ( x) ? e x f ( x) 六、(本题共 8 分) 16. 设函数 f 在 [a, b] 上定义,且无上界. 证明:存在 x0 ?[a, b] ,使得 f ( x) 在 点 x0 的任一邻域内均无上界. 提示:用有限覆盖定理作反证. 七、(本题共 8 分) 17. 设函数 f n ? C[a, b] ( ?n ? ),且函数列 { f n ( x)} 单调增加,即
f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ??? ? f n ( x) ? ??? .
) ? f( x ) (称之为 { f n ( x)} 的极限函数). 证明: 若对任意取定的 x ?[a, b] ,有 lim f ( n x
n ??
2

(1) f ( x) 在 [a, b] 上有下界; (2) f ( x) 在 [a, b] 上必可取到最小值. 证 (1) 因 f1 ? C[a, b] ,故 ?m0 ? 使得 f1 ( x) ? m0 . 而 { f n ( x)} 单调增,于是有
(?x ?[a, b])
x?[ a ,b ]

f ( x) ? f1 ( x) ? m0

(2) 由(1)的结论可知 f ( x) 在 [a, b] 上有下界,故必有下确界,记 m ? inf { f ( x)} . 由下确界定义知 ?k ? , ?xk ?[a, b] 使得
m ? f ( xk ) ? m ? 1 k

?

l i mf x ( ) m . k ?
k ??

现 {xk } ? [a, b] 为有界数列,由致密性定理可知其必有收敛子列 . 不妨设其自 身收敛,也即有 lim xk ? x0 ?[a, b] ,于是对 ?n ? 有
k ??

共3张5页 第3页

f n ( x0 ) ? lim f n ( xk ) ? lim f ( xk ) ? m
k ?? k ??

再令 n ? ? 就有
f ( x0 ) ? lim f n ( x0 ) ? m .
n ??

由下确界定义又有 f ( x0 ) ? m ,从而 f ( x0 ) ? m ,即 f ( x) 在 x0 处取到最小值 m .

共3张5页 第4页


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