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第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图像与性质


第三章

第三节

正弦、余弦、正切函数的图像与性质

题组一

三角函数的定义域问题

π 1.函数 y=tan?4-x?的定义域是 ? ? π A.{x|x≠ ,x∈R} 4 π C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 4 π π 3 解析:∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ π,k∈Z. 4 2 4 答案:D 2.求下列函数的定义域: (1)y= cosx+ tanx; (2)y= lg(2sinx-1)+ -tanx-1 x π cos( + ) 2 8 π B.{x|x≠- ,x∈R} 4 D.{x|x≠kπ+

(

)

3π ,k∈Z,x∈R} 4

解:(1)要使函数有意义,
?cosx≥0, ? 则? 即 ? ?tanx≥0,

?2kπ-2≤x≤2kπ+2, ? π ?kπ≤x<kπ+2,

π

π

(k∈Z),

π 所以 2kπ≤x<2kπ+ (k∈Z). 2 所以函数 y= cosx+ tanx的定义域是 π {x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z}. 2

?2sinx-1>0, ?-tanx-1≥0, (2)由函数式有意义得? ? x π ?cos(2+8)≠0,

?sinx>2, ? 得?tanx≤-1, ?x+π≠kπ+π, ?2 8 2
1 π

(k∈Z).

?2kπ+6<x<2kπ+ 6 , ? π π 即?kπ-2<x≤kπ- 4, ?x≠2kπ+3π, ? 4


(k∈Z).

π 3π 求交集得 2kπ+ <x<2kπ+ (k∈Z). 2 4 π 3π 所以函数的定义域是{x|2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z}. 2 4

题组二

三角函数的单调性 ( D.-cosx )

π 3π 3.若函数 y=sinx+f(x)在[- , ]内单调递增,则 f(x)可以是 4 4 A.1 B.cosx C.sinx

π π π π 解析:y=sinx-cosx= 2sin(x- ),- ≤x- ≤ ,满足题意,所以 f(x)可以是-cosx. 4 2 4 2 答案:D π x 4.求 y=3tan( - )的周期及单调区间. 6 4 π x x π π 解:y=3tan( - )=-3tan( - ),∴T= =4π, 6 4 4 6 |ω| π x ∴y=3tan( - )的周期为 4π. 6 4 π x π π 4π 8π 由 kπ- < - <kπ+ ,得 4kπ- <x<4kπ+ (k∈Z), 2 4 6 2 3 3 x π 4π 8π y=3tan( - )在(4kπ- ,4kπ+ )(k∈Z)内单调递增. 4 6 3 3 π x 4π 8π ∴y=3tan( - )在(4kπ- ,4kπ+ )(k∈Z)内单调递减. 6 4 3 3

题组三

三角函数的值域与最值 )

1 5.已知函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的值不可能是( 2 π A. 3 2π B. 3 C.π 4π D. 3

2π 4π 解析:画出函数 y=sinx 的草图分析知 b-a 的取值范围为[ , ]. 3 3 答案:A π π 6. 已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2, ω 的最小值等于( 则 3 4 2 A. 3 T 3 B. 2 π C.2 D.3 )

? 4 ≤ 3, 解析:由题意知? 2π ?T= ω ,
答案:B

3 解得 ω≥ . 2

π 7.设函数 f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(a 为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4,那么 a 2 的值等于 A.4 B.-6 C.-4 D.-3 ( )

π 解析:y=cos2x+ 3sin2x+a+1=2sin(2x+ )+a+1, 6 π π π 7π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 1 ∴ymin=2×(- )+a+1=a=-4. 2 答案:C π 8.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π. 2 (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0, 解:(1)f(x)= = 2π ]上的取值范围. 3

1-cos2ωx 3 + sin2ωx 2 2

π 1 3 1 1 sin2ωx- cos2ωx+ =sin(2ωx- )+ . 2 2 2 6 2

因为函数 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 所以 2π =π,解得 ω=1. 2ω

π 1 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x- )+ . 6 2 因为 0≤x≤ 2π π π 7π ,所以- ≤2x- ≤ , 3 6 6 6

π 1 所以- ≤sin(2x- )≤1, 2 6

π 1 3 所以 0≤sin(2x- )+ ≤ , 6 2 2 3 即 f(x)的取值范围为[0, ]. 2

题组四

图像和性质的综合应用

9.(2009· 江西高考)函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx 的最小正周期为 A.2π 3π B. 2 C.π π D. 2

(

)

解析:f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx π 2π =2sin(x+ ),T= =2π. 6 |ω| 答案:A π 10.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像关于直线 x= 对称,它的最小正周期 3 是 π,则函数 f(x)的图像的一个对称中心是 π A.( ,1) 3 5π C.( ,0) 12 2π 解析:∵T= ω =π,∴ω=2, π 又∵函数 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π ∴sin(2× +φ)=± 1,∴φ=k1π- ,k1∈Z, 3 6 π 由 sin(2x+k1π- )=0 得 6 π 2x+k1π- =k2π,k1,k2∈Z, 6 π π ∴x= +(k2-k1) , 12 2 π 当 k1=k2 时,x= , 12 π ∴函数 f(x)的图像的一个对称中心为( ,0). 12 答案:B π π π π π 11.已知 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0),f( )=f( ),且 f(x)在区间( , )有最小值,无最大值, 3 6 3 6 3 则 ω=________. π B.( ,0) 12 π D.(- ,0) 12 ( )

π π 解析:由 f( )=f( ), 6 3 π π π π π 10 知 f(x)的图像关于 x= 对称. 且在 x= 处有最小值, ω+ =2kπ- , ω=8k- ∴ 有 4 4 4 3 2 3 (k∈Z). π π π π 1 又∵ T=ω> - = ,∴ω<6, 2 3 6 6 14 故 k=1,ω= . 3 答案: 14 3

12.(文)若 a=( 3cosωx,sinωx),b=(sinωx,0),其中 ω>0,记函数 f(x)=(a+b)· b+k. π (1)若函数 f(x)的图像中相邻两条对称轴间的距离不小于 ,求 ω 的取值范围; 2 π π 1 (2)若函数 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈[- , ]时,函数 f(x)的最大值是 ,求函数 6 6 2 f(x)的解析式,并说明如何由函数 y=sinx 的图像变换得到函数 y=f(x)的图像. 解:∵a=( 3cosωx,sinωx),b=(sinωx,0), ∴a+b=( 3cosωx+sinωx,sinωx). 故 f(x)=(a+b)· b+k= 3sinωxcosωx+sin2ωx+k = = 1-cos2ωx 3 sin2ωx+ +k 2 2 3 1 1 sin2ωx- cos2ωx+ +k 2 2 2

π 1 =sin(2ωx- )+k+ . 6 2 T π π (1)由题意可知 = ≥ ,∴ω≤1. 2 2ω 2 又 ω>0,∴0<ω≤1. (2)∵T= 2π =π,∴ω=1. 2ω

π 1 ∴f(x)=sin(2x- )+k+ . 6 2 π π π π π ∵x∈[- , ],∴2x- ∈[- , ]. 6 6 6 2 6 π π π 从而当 2x- = ,即 x= 时, 6 6 6 π π 1 1 f(x)max=f( )=sin +k+ =k+1= , 6 6 2 2 π 1 ∴k=- .故 f(x)=sin(2x- ). 2 6

π π 由函数 y=sinx 的图像向右平移 个单位长度, 得到函数 y=sin(x- )的图像, 再将得到 6 6 1 的函数图像上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变), 2 π 得到函数 y=sin(2x- )的图像. 6 π π π (理)(2009· 重庆高考)设函数 f(x)=sin( x- )-2cos2 x+1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期; 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最 3 大值. π π π π π 解:(1)f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x 4 6 4 6 4 = π π 3 π 3 π sin x- cos x= 3sin( x- ), 2 4 2 4 4 3

2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4 (2)法一:在 y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点为(2-x,g(x)). 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图像上,从而 π π g(x)=f(2-x)= 3sin[ (2-x)- ] 4 3 π π π π π = 3sin( - x- )= 3cos( x+ ). 2 4 3 4 3 π π π 2π π 4 4 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ ,因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 gmax= 3cos = 3 3 4 3 3 3 3 3 . 2 4 2 法二:因区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2],且 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于 x 3 3 4 2 =1 对称,故 y=g(x)在[0, ]上的最大值即为 y=f(x)在[ ,2]上的最大值. 3 3 π π 由(1)知 f(x)= 3sin( x- ), 4 3 π π π π 2 当 ≤x≤2 时,- ≤ x- ≤ . 3 6 4 3 6 π 4 3 因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 gmax= 3sin = . 3 6 2


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