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2014届雅安三诊数学(理)


2014 届高三第一轮复习资料

学生卷

OO 专用资料
8 . 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 于 |PA|2+|PB|2 等 |PC|2

雅安市高 2014 届第三次诊断性考试
一、选择题: 1. 已知集合 A={x|-1<x<2},B={x| 0<x<4},则集合 A ? B = (A){x| 0<x<2} (C){x| 2<x<4} (B){x|-1<x ≤ 0} (D){x|-1<x<4}

(A)2

(B)4

(C)5

(D)10

9. 设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈ [0,1]时,f(x)=x3.又 1 3 函数 g(x)=|cos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在[- , ]上的零点个数为 2 2 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

2. 某班有男生 36 人,女生 18 人,用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为 6 的 样本,则抽取的女生人数为 (A)6 (B)4
3

(C)3

(D)2

3. 已知 i 是虚数单位,若 (2 ? i) ? z ? i ,则 z=

2 1 (A) ? ? i 5 5

1 2 (B) ? i 5 5

2 1 (C) ? ? i 5 5

1 2 (D) ? i 5 5

10. f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c有两个极值点1和-2 ,且 f (1) ? 1 .则关于 x 的方程

3( f ( x))2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数是
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
开始

4. sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的 (A)充分不必要条 件 (C)充要条件 (B) 必要不充分条件
3

(D)既不充分又不必要条件
3

二、填空题
11. (1 ? x)(1 ? x) 展开式中 x 的系数是
3
3

输入 p

5 . 某几何体的三视图及部分数据如图所示,则此几何体的表面积 是 (A)
3 2

正(主)视图 侧(左)视图

12.执行右边的程序框图,若 p ? 3 ,则输出的 S ? 13. lg5 ? lg8000 ? (lg 2 3 )2 ? eln1 = .

.

n=0

,S=0

(B) 3 (D)3 ?3 3

1

S=OS=0
n<p?



俯视图

(C) 3 ? 4 3 6.函数 y ? sin(

?
4

14.若直线 l过点P?? 2,2 ? ,以 l 上的点为圆心,1 为半径的圆与圆


n=n+1 输出 S

? 2 x) 的单调递增区间是

C : x 2 ? y 2 ? 12 x ? 35 ? 0 没有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取

3? ?? ? (A) ?k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 8 8? ?
(C) ?k? ?

? 5? ? ? (B) ?k? ? , k? ? (k ?Z ) 8 8 ? ? ?
(D) ?k? ?

S=S+

值范围是

1 2n

结束

? ?

?
8

, k? ?

3? ? (k ?Z ) 8 ? ?

? ?

3? 7? ? (k ?Z ) , k? ? 8 8 ? ?

15.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 a ? (a ,b),从所 得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,则平行四边形的面积等于 2 的概率为 .

?

7. 从 1,3,5,7,9 这 5 个奇数中选取 3 个数字,从 2,4,6,8 这 4 个偶数中选取 2 个数字, 再将这 5 个数字组成没有重复数字的五位数,且奇数数字与偶数数字相间排列.这样的五位 数的个数是 (A)180 (B)360 (C)480 (D)720

三、解答题:(本大题共 6 个小题,75 分)解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤.

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16.已知 m ? (sin ?x ? cos?x, 3 cos?x) , n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x)(? ? 0) .若

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(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

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4 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

f ( x) ? m ? n ,且 f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于
(1)求 ? 的取值范围;

? . 2

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 大时, f ( A) ? 1 ,求边 b, c 的长.

3 , b ? c ? 3 ( b > c ),当 ? 取最

18.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,AC⊥AD.底面 ABCD 为梯形, AB / / DC 17.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为等比数列, 且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .
2

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AB⊥ BC,PA=AB=BC=3,点 E 在棱 PB 上,且 PE=2EB. (1)求证:PD∥ 平面 EA C; (2)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

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产生一组 3 个数的 随机数组,根据下表兑奖.

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P

奖次

一等奖 3个1或3个0

二等奖 只有 2 个 1 或 2 个 0

三等奖 只有 1 个 1 或 1 个 0

E
A D B

随机数组的特征 奖金(单位:元)

5m

2m

m

C

商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,产生 20 组随机数组,每组 3 个数,试验结果如下所示: 235,145,124,754, 353,296,065,379,118,247, 520,356,218,954 ,245,368,035,111,357,265. (1)在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖的概率; (2)根据上述模拟试验的结果,将频率视为概率. (i)若活动期间某单位购买四台电视,求恰好有两台获奖的概率; (ii)若本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元,求 m 的最大值.

19.某品牌电视专卖店,在五一期间设计一项有奖促销活动:每购买一台电视,即可通过电脑

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21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) .
1 (1)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4

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1 x2 y2 ? 3? 20.椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 过点 A?1, ? ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1、F2 .过点 F1 的直线 l a b 2 ? 2?
交椭圆于 A、B 两点.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(2)当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (3)求证: (1 ?
2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? 2?3 3? 5 5?9 ? [1 ? (2
n ?1

(1)求椭圆 C 的方程. (2) 当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求 l 的方程. 7

2n ] ? e (其中 n ? N* ,e 是自然对 n ? 1)(2 ? 1)

数的底数) .

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? cn ? 4 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 2? 3 3 5 ?( 1 1 ? ? ) 2n ? 1 2 n ? 1 ? ?

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(8 分)

雅安市高中 2011 级第三次诊断性考试 数学试题(理科)参考答案及评分意见
一.选择题 1、A 2、 D 3、 B 4、 A 5、C 二.填空题 11、2 三.解答题 16. (12 分)解 12、

Tn ?
6、D 7、D 8、D 9、A 10、A =

(10 分)

7 8

13、4

14、 ? ??, 0 ? ? ?

?4 ? , ?? ? ?3 ?

15、

1 5

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1 n = 2n ? 1
18. (12 分) 解(1)连接 BD 交 AC于O, 连接OE

(11 分) (12 分)

[来源:学科网]

f ( x) ? cos ?x ? sin ?x ? 2 3 cos?x sin ?x
2 2

(1)

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
6

)



(4 分)

由已知有 AB ? BC ? 3, AB ? BC,

? A C ?3 2 又 , A C? A D ,? A C D ?45
(6 分)

由题意:

(2)∵ ? 的最大值是 1,∴ f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

? ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ 0 ? ? ? 1 。 2? 2 ?

1 ∵ f ( A) ? 1,∴ sin( 2 A ? ) ? , 6 2 ? ? 13? ? 5 ? 而 ? 2A ? ? ,∴ 2 A ? ? ? ,∴ A ? 。 6 6 6 6 6 3
由余弦定理: cos A ?

?

6

),

?CD ? 6, 又AB / /CD得 AOB与 DOC相似 DO DC PE ? ? ? 2, 又由已知 ?2 OB AB EB ? PD / /OE, 又PD ? 平面AEC, OE ? 平面AEC
? PD / /平面AEC
(6 分) ????(7 分) ????(8 分)

(9 分)

(Ⅱ)

AD, AC, AP两两垂直,故可如图建空间直角坐标系
3 2 3 2 2,0 B为 ), ? ( , 2 2 3 2 3 2 ( ,? 2 2 , 3) , 0)

1 b2 ? c2 ? a2 2 2 ? ,即 b ? c ? bc ? 3 ,又 b ? c ? 3(b ? c) 2 2bc
(12 分)

? P为(0, 0 , ) 3 ,C为(0,3

联立解得: b ? 2, c ? 1 。 17. (12 分) 时, a1 ? S1 ? 2; 解: (1) 当 n ? 1

? PC ? ( 0 , 3 2 ? , PB 3 ) ,? ?

设 n1 ? ( x1, y1, z1 )为平面PBC一个法向量
2 2

当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 2(n ? 1) ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
n ?1 ? 2? 故 bn ? b1 q

(3 分) 则 3 2 y1 ? 3z1 ? 0, ?

1 . 4

3 2 3 2 x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 2 2

1 4 n ?1

,即{bn }的通项公式为 bn ?

2 4 n ?1

令 y1 ? 1, 则z1 ? 2, x1 ? ?1,?n1 ? (?1,1, 2)

.

(6 分)

(2)

an ? 4n ? 2

又 A为(0,0,0), C为(0,3 2,0), E为(? 2, 2,1)

[来源:Zxxk.Com]

? A C ?( 0 , 3 2 , 0A )E ,? ?(

2 , 2 , 1)

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设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )为平面AEC一个法向量

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x2 y2 ? 3? 解:(1)? 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 过点 A?1, ? a b ? 2?
1 9 ? 2 ?1 2 a 4b 1 ? 离心率为 2 c 1 ? ? a 2 ?
又? a ? b ? c
2 2
2

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?3 2 y , x2 y2 z2 ? 0 2 ? 0? 2 ? 2 ? ? y2 ?0 ,令 x2 ? 1, 则 z2 ?
? cos ? n1 , n2 ? ? n1 ? n2 n1 n2 ?

(1 分)

2 ? n2 ? ( 1, 0 , 2 )
3 6
3 6

?????(10 分)

(2 分)
2

即平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为

?????(12 分)

(3 分)
2

19. (12 分) 解: (1)设“在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖”为事件 A ,则 由数组知,没中奖的组数为 12,

解①②③得 a ? 4, b ? 3

(4 分)

? P ? A? ? 1 ?

3 C12 46 . ? 3 C20 57

x2 y 2 ?1 ? 椭圆 C的方程为: ? 4 3
(2)由得(1) F1 ?? 1,0 ? ①当 l 的倾斜角是

(6 分)

(3 分)

(2) (i)由题意得,每购买一台电视获奖的概率为 P ?

8 2 ? ,设“购买四台电视, 20 5
2

?
2

时, l 的方程为 x ? ?1 ,焦点 A? ? 1, ?, B? ? 1,?

2 恰有两台获奖”为事件 B ,则 P ? B ? ? C4 ? ? ? ?1 ?

? 2? ?5?

? ?

2 ? 216 .??(6 分) ? ? 5 ? 625

2

? ?

3? 2?

? ?

3? ? 2?
(7 分)

此时 s ?ABF2 ?

(ii)设“购买一台电视获一等奖”为事件 A “购买一台电视获二等奖”为事件 A2 , 1, “购买一台电视获三等奖”为事件 A3 ,

1 1 12 2 ,不合题意. AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7

②当 l 的倾斜角不是

?
2

时,设 l 的斜率为 k ,则其直线方程为 y ? k ? x ? 1?

1 1 3 , P ? A2 ? ? , P ? A3 ? ? . 则 P ? A1 ? ? 20 20 10

??????(8 分)

设 ? 为获得奖金的数额,则 ? 的可能取值为 0, m, 2m,5m ,故 ? 的分布列为

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得: 4k ? 3 x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 3 ? y ? k ? x ? 1? ?

?

?

?
P

0

m

2m

5m

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? 设 A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? ??(9 分) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? S ?F2 AB ? S ?F1F2 B ? S ?F1F2 A ? 1 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 2

3 3 1 1 5 10 20 20 3m 2m 5m 13m ? E? ? 0 ? ? ? ? . ??????(10 分) 10 20 20 20 13m ? 260, 得 m ? 400,? m 的最大值为 400 .????(12 分) 由题意 E? ? 20
20. (13 分)

1 ? ? 2 y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? 2

? k

x1 ? x 2

2

? k

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
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2 ? 8k 2 ? 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 ?k ? ? ? 4k 2 ? 3 ? ? ? 4 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? 2

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(10 分) 又 (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

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x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

已知 S ?F2 AB

12 2 ? 7
12 2 ? ? 17 k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 7

(8 分) 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . (3)据(Ⅱ)知当 a ? 0 时, ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立 又
2n 1 1 ? 2( n ?1 ? ), (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1 2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? 2?3 3? 5 5?9 ? [1 ? 2n ]} (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) ? ln[1 ? (2
n ?1

(9 分) (10 分) (12 分)

?

12 k k 2 ? 1 4k 2 ? 3

? k 2 ? 1 17 k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1 ? 0 解得 k ? ?1
故直线 l 的方程为 y ? ?1? x ? 1? 即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 21.(14 分)
1 1 解: (1)当 a ? ? 时, f ( x) ? ? x2 ? ln( x ? 1) ( x ? ?1 ) , 4 4 1 1 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1 ) , 2 x ?1 2( x ? 1)

?

??

?

∵ ln{(1 ? (13 分)
? ln(1 ?

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5? 9

2n ] ? 1)(2n ? 1)

?

2 4 8 ? ? ? 2 ? 3 3? 5 5? 9

?

2 (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)

n

(2 分)
[来源:Zxxk.Com]

由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n?1 ? n )] ? 2[( ? n )] ? 1 , 2 2 ?1 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? [1 ? n ?1 ]? e. ∴ (1 ? 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

(14 分)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) .?????(4 分) (2)因当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立, 设 g ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,只需 g ( x)max ? 0 即可. 由 g ?( x) ? 2ax ?
1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1

(5 分)

(ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ?

?x ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单 x ?1

调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? 所以 x ? ①若
x[2ax ? (2a ? 1)] ? 0 ,因 x ? [0, ??) , x ?1

(6 分)

1 ? 1 ,或 x ? 0 2a

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递 2a 2 增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不满足条件; 1 1 1 1 ②若 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减, 在区间 ( ? 1, ??) 上 2a 2 2a 2a 单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件.

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