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2018人教A版高中数学必修一第一章测试题含答案


第一章

章末检测题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( A.3 C.7 答案 C 解析 含一个元素的有{1},{2},{3},共 3 个;含两个元素的有{1,2},{1,3},{2,3}, 共 3 个;空集是任何非空集合的真子集,故有 7 个. 2.下列五个写法,其中错误写法的个数为( ) ) B.6 D.8

①{0}∈{0,2,3};②??{0};③{0,1,2}?{1,2,0};④0∈?;⑤0∩?=? A.1 C.3 答案 C 解析 ②③正确. 3.已知 M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则 M∩N 等于( A.N C.R 答案 A 解析 M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故 M∩N=N. 4.函数 y=x2+2x+3(x≥0)的值域为( A.R C.[2,+∞) 答案 D 解析 y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为增函数, 故 y≥(0+1)2+2=3. 5.某学生离开家去学校,为了锻炼身体,开始跑步前进,跑累了再走余下的路程,图中 d 轴 表示离学校的距离,t 轴表示所用的时间,则符合学生走法的只可能是( ) ) B.[0,+∞) D.[3,+∞) B.M D.? ) B.2 D.4

答案 D 解析 t=0 时,学生在家,离学校的距离 d≠0,因此排除 A、C 项;学生先跑后走,因此 d 随 t 的变化是先快后慢,故选 D. 6.函数 f(x)= A.(1,+∞) C.[1,2) 答案 D
?x-1≥0, ? 解析 根据题意有? 解得 x≥1 且 x≠2. ? ?x-2≠0,

x-1 的定义域为( x-2

) B.[1,+∞) D.[1,2)∪(2,+∞)

7.在下面的四个选项所给的区间中,函数 f(x)=x2-1 不是减函数的是( A.(-∞,-2) C.(-1,1) 答案 C B.(-2,-1) D.(-∞,0)

)

解析 函数 f(x)=x2-1 为二次函数,单调减区间为(-∞,0],而(-1,1)不是(-∞,0]的 子集,故选 C. 8.函数 f(x)=x5+x3+x 的图像( A.关于 y 轴对称 C.关于坐标原点对称 答案 C 解析 易知 f(x)是 R 上的奇函数,因此图像关于坐标原点对称. ) B.关于直线 y=x 对称 D.关于直线 y=-x 对称

?2x-1(x<2), 1 7 9.已知 f(x)=? 则 f( )+f( )=( 4 6 1 f ( x - 1 )+ 1 ( x ≥ ), ? 2
1 A.- 6 5 C. 6 答案 A 1 B. 6 5 D.- 6

1

)

1 1 1 7 7 1 1 1 1 7 1 解析 f( )=2× -1=- , f( )=f( -1)+1=f( )+1=2× -1+1= , ∴f( )+f( )=- , 4 4 2 6 6 6 6 3 4 6 6 故选 A. 10.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像如下图,则函数 y=f(x)·g(x)的图像可能是( )

答案 A 解析 由于函数 y=f(x)· g(x)的定义域是函数 y=f(x)与 y=g(x)的定义域的交集(-∞, 0)∪(0, +∞), 所以函数图像在 x=0 处是断开的, 故可以排除 C、 D 项; 由于当 x 为很小的正数时, f(x)>0 且 g(x)<0,故 f(x)· g(x)<0,可排除 B 项,故选 A. 11.若 f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数,又 f(-3)=1,则不等式 f(x)<1 的解集为( A.{x|x>3 或-3<x<0} C.{x|x<-3 或 x>3} 答案 C 解析 由于 f(x)是偶函数, ∴f(3)=f(-3)=1, f(x)在(-∞, 0)上是增函数, ∴当 x>0 时, f(x)<1 即 f(x)<f(3),∴x>3,当 x<0 时,f(x)<1 即 f(x)<f(-3),∴x<-3,故选 C. m 12.已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为( M A. 2 2 B. 2 D.2 ) B.{x|x<-3 或 0<x<3} D.{x|-3<x<0 或 0<x<3} )

C.2 2 答案 A 解析 本题考查函数的最值及求法.

∵y≥0,∴y= 1-x+ x+3= 4+2 (x+3)(1-x) (-3≤x≤1), m 2 ∴当 x=-3 或 1 时,ymin=2;当 x=-1 时,ymax=2 2,即 m=2,M=2 2,∴ = . M 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=________. 答案 1 解析 ∵A∩B={3},∴3∈B. ∵a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1.

14.若函数 f(x)=2x4-|3x+a|为偶函数,则 a=________. 答案 0 解析 f(-x)=2x4-|a-3x|,由偶函数定义得|3x+a|=|a-3x|,∴(a+3x)+(a-3x)=0,∴a =0. 15.函数 f(x)是定义在[-1,3]上的减函数,且函数 f(x)的图像经过点 P(-1,2),Q(3,-4), 则该函数的值域是________. 答案 [-4,2] 解析 ∵f(x)的图像经过点 P,Q, ∴f(-1)=2,f(3)=-4. 又 f(x)在定义域[-1,3]上是减函数, ∴f(3)≤f(x)≤f(-1),即-4≤f(x)≤2. ∴该函数的值域是[-4,2]. 16.偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,若 x1<0,x2>0,且|x1|>|x2|,则 f(x1)与 f(x2)的大小关 系是________. 答案 f(x1)>f(x2) 解析 ∵x1<0,∴-x1>0,又|x1|>|x2|,x2>0,∴-x1>x2>0. ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(-x1)>f(x2). 又∵f(x)为偶函数,∴f(x1)>f(x2). 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知集合 A={x|-4≤x<8},函数 y= x-5的定义域构成集合 B,求: (1)A∩B;(2)(?RA)∪B. 解析 y= x-5的定义域为 B={x|x≥5},则 (1)A∩B={x|5≤x<8}. (2)?RA={x|x<-4 或 x≥8},∴(?RA)∪B={x|x<-4 或 x≥5}. 18.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ax+b 的图像关于直线 x=1 对称. (1)求实数 a 的值; (2)若 f(x)的图像过(2,0)点,求 x∈[0,3]时,f(x)的值域. a a 解析 (1)二次函数 f(x)=x2+ax+b 的对称轴为 x=- ,∴- =1,∴a=-2. 2 2 (2)若 f(x)过(2,0)点,∴f(2)=0. ∴22-2×2+b=0,∴b=0,∴f(x)=x2-2x. 当 x=1 时 f(x)最小为 f(1)=-1,当 x=3 时,f(x)最大为 f(3)=3, ∴f(x)在[0,3]上的值域为[-1,3]. 2x+1 19.(12 分)已知函数 f(x)= . x+1

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 解析 (1)f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,f(x1) 2x1+1 2x2+1 x1-x2 -f(x2)= - = . x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) ∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, ∴f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数,∴最大值为 f(4)= 2×1+1 3 = . 2 1+1 20.(12 分)商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价 5 元,该店推出两种优 惠办法: (1)买 1 个茶壶赠送 1 个茶杯; (2)按总价的 92%付款. 某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干个(不少于 4 个),若购买茶杯数为 x 个,付款数为 y(元), 试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式, 并讨论该顾客买同样多的茶杯时, 两 种办法哪一种更省钱. 解析 由题知,按照第 1 种优惠办法得 y1=80+(x-4)· 5=5x+60(x≥4). 按照第 2 种优惠办法得 y2=(80+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4),y1-y2=0.4x-13.6(x≥4), 当 4≤x<34 时,y1-y2<0,y1<y2; 当 x=34 时,y1-y2=0,y1=y2; 当 x>34 时,y1-y2>0,y1>y2. 故当 4≤x<34 时,第一种办法更省钱;当 x=34 时,两种办法付款数相同;当 x>34 时,第 二种办法更省钱. 2 21.(12 分)函数 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,函数的解析式为 f(x)= -1. x (1)用定义证明 f(x)在(0,+∞)上是减函数; (2)求当 x<0 时,函数的解析式. 解析证明 (1)设 0<x1<x2,则 2×4+1 9 = ,最小值为 f(1)= 5 4+1

2(x2-x1) 2 2 f(x1)-f(x2)=( -1)-( -1)= , x1 x2 x1x2 ∵0<x1<x2,∴x1x2>0,x2-x1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

2 (2)设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=- -1. x 2 又 f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=- -1. x 2 故 f(x)=- -1(x<0). x 22.(12 分)已知函数对任意的实数 a,b,都有 f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求 f(0),f(1)的值; 1 (2)求证:f( )+f(x)=0(x≠0); x (3)若 f(2)=m,f(3)=n(m,n 均为常数),求 f(36)的值. 解析 (1)令 a=b=0,则 f(0×0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 令 a=b=1,则 f(1×1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0. 1 1 (2)f(1)=f(x· )=f(x)+f( ),又 f(1)=0, x x 1 ∴f(x)+f( )=0. x (3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2m, f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2n, ∴f(36)=f(4×9)=f(4)+f(9)=2m+2n.


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