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浙江省杭州十四中2012-2013学年高一上学期期中数学试题

一、选择题:共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分。 1.下列集合中,只有一个子集的集合是 .. A. {x | x 2 ? 0} C. {x | x 2 ? 0} B. {x | x3 ? 0} D. { y | y ? x2 ? 1 ? 1 ? x2 }

2.若函数 f ( x) ? x 3 ( x ? R ) ,则函数 y ? ? f ( ? x) 在其定义域是 A.单调递减的偶函数 B.单调递增的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递减的奇 函数 3. log 2 ? 1 ,则 a 的取值范围是 a 3 A. ? 0, 2 ? ? ?1, ?? ? B. ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ? 3? ?3 ? C. ? 2 ,1? D. ? 0, 2 ? ? ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3? ?3 ? 4.若 a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则 a、b、c 的大小关系是 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 5.己知函 数 y ? x 2 的值域是[1,4] ,则其定义域不可能是 . A. [1,2] C. [-2,-1] B. ? ,2] [
3 2

D.[-2,-1)∪{1} 1 6.设函数 f ( x ) ? ( x ? 2011)( x ? 2012) ? ,则 f ( x) ? 0 2013 A.在定义域内无解 B.存在两个解,且分别在 (??, 2011) 、 (2012, ??) 内 C. 存在两个解,且分别在 (??, ?2010) 、 (2010, ??) 内 D.存在两个解,都在 (2011, 2012) 内 7.对任意实数 x ,规定 f (x) 取 4 ? x, x ? 1,

1 (5 ? x) 三个值中的最小值,则函数 f (x) 2

A.有最大值 2,最小值 1 B.有最大值 2,无最小值 C.有最大值 1,无最小值 D.无最大值,无最小值 2 8.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m )与时间 t (月)的关系: y ? a t ,有以下叙述 ①这个指数函数的底数是 2; ②第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等. y/m2 8

4 2 1 0 1 2 3 t/月

其中正 确的是 A.① ③ ② B.① ③ ② ④ C.② ④ ③ D.① ② 9.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如所示,则函数 y=f(x)· g(x)的图象可能为

10.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 则 A. f (?25) ? f (11) ? f (80) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)
[来源:Z&xx&k.Com]

二、填空题:共 7 小题,每小题 4 分,计 28 分。

2 ?x ,则其值域为___________. 3 ? x ? 1,( x ? 0) 12.若函数 f ( x) ? ? ,则 f (?3) _________. ? f ( x ? 2), ? x ? 0 ?
11.已知函数 y ? ( ) 13. -0.01
1 - 2

? log 1 8 ? 3log3 2 ? (lg 2)2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 ?
2



14 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 为 偶 函 数 , 其 定 义 域 为 a ? 3, 2a , 则 a 的 值
2

?

?

为 . 15 . 已 知 y ? f (x)
网]

为 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x(1 ? x) , 则 当 x ? 0 .

时, f (x) ?

16.对于函数 f ( x ) ,若 存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的不动点. 已
2 知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 7) x ? 18的两个不动点分别是 ? 3 和 2. 当函数 f ( x ) 的定义域是

[0,1] 时,函数 f ( x) 的值域为



17.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文 (解密),已知加密规 则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明 文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16。当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到 的明文为 . 三、解答题:共 4 小题,计 42 分。 18. (本小题 10 分) 已 知 集 合 U ? R , A ? ?x y ? log 2 ? x ? 1? ? , B ? ? y y ? ?

1 x ? ? 1 , ?2 ? x ? ?1? , 2

C ? ?x x ? a ? 1? .
(1)求 A ? B ; (2)若 C? ?U A ,求 a 的取值范围.

19. (本小题 10 分) 某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个销售,每天可以卖出 100 个,若这种 商品的销售价每个上涨一元,则销售量就减少 8 个. (1)求销售价为 13 元时每天的销售利润; (2)如果销售利润为 336 元,那么销售价上涨了几元? (3)设销售价上涨 x 元( x ? N )试将利润 y 表示为 x 的函数,并求出上涨几元,可获 最大利润. 20. (本小题 10 分) 已 知定 义域 为 ? ??,0? ? ? 0, ??? 的 偶函 数 g ( x) 在 ? ??,0? 内 为 单调 递减 函数 ,且

g ? x ? y ? ? g ? x ? ? g ? y ? 对任意的 x, y 都成立, g ? 2? ? 1 .
(1)求 g ? 4 ? 的值; (2)求满足条件 g ( x) ? g ( x ? 1) ? 2 的 x 的取值范围. 21. (本小题 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? x ,若不等式 f (? x) ? f ( x) ? 2 | x | 的解集为 C. (1)求集合 C; (2)若方程 f (a x ) ? a x?1 ? 5(a ? 1) 在 C 上有解,求实数 a 的取值范围;
3 (3)已知 t ? 0 ,记 f (x) 在 C 上的值域为 A, 若 g ( x ) ? x ? 3tx ?

t ,在 x ? [0,1] 上 2

为增函数,且其值域为 B,若 A ? B ,求实数 t 的取值范围.

四、附加题:本题两个大题,每小题 10 分,共 20 分。 22. (1)设函数 f ( x) ? ?0 ? A. a
??1 ( x ? 0) a ? b ? (a ? b)?f (a ? b) 的值应为 ( x ? 0) ,则当 a ? b 时, 2 ?1 ( x ? 0) ?
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

B. b

C. a , b 中的较小数 D. a , b 中的较大数 (2) 某大学的信息中心 A 与大学各部门、各院系 B、C、D、E、F、G、H、I 之间拟建立 信息联网工程,实际测算的费用如图所示(单位万元) ,请观 察图形,可以不建部分网线, 而使得中心与各部门、各院系都能连通(直接 或中转) 则最少的建网费用是 __________ , 万元.

23.定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

f ( x) ? M 成立,则称 f (x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f (x) 的上界.已知函
数 f ( x) ? 1 ? x ? ax .
2

0 0 (1)当 a ? ?1 时,求函数 f (x) 在 ?- ?,? 上的值域,判断函数 f (x) 在 ?- ?,? 上是否
为有界函数,并说明理由; (2)若函数 f (x) 在 x ? ?1,4? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

另解:要 g ? x ? ? g ? 4 ? x ? 1? ? ? ?

x?0 ? 4? ? ? 4 ? ? ?? x ?1 ? 0 ? ? ? , ?1? ? ? ?1, ? 。 5? ? 3 ? ? ?| x | > | 4( x ? 1) | ?
22.解: (1)原不等式可转换为 2 x ? 2 | x | , 当 x ? 0时,x ? 2 x,解得0 ? x ? 1 2
2 2

当 x ? 0时,x ? ?2x,解得 ? 1 ? x ? 0 ,所以 C ? [?1,1] 2 2 (2)由 f (a ) ? a
x x ?1

? 5 ? 0 得 (a x ) 2 ? (a ? 1)a x ? 5 ? 0

数. (2) 若函数 f (x) 在 ?1,4? 上是以 3 为上界的有界函数,则 f ( x) ? 3 在 ?1,4? 上恒成立. 即 ? 3 ? f ( x) ? 3,? ?3 ? 1 ? x ? ax2 ? 3,

?4? x 2? x ?4 1 2 1 ? a ? 2 . 即 2 ? ? a ? 2 ? 在 x ? ?1,4? 上恒成立. 2 x x x x x x