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广东省揭阳一中高三数学第三次模拟试题 文 新人教A版


高三文科数学三模试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

A 1.设全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则
z?
2. 设复数 于( ) A.第一象限 3.设
2

CU B 等于(
D. {x | x ? 1}



A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0}

1 1 ? i (其中 i 是虚数单位) ,则在复平面内,复数 z 的共轭复数 z 对应的点位
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

p在 ? 0,5?
2 B. 5

上随机地取值,则关于 x 的方程 )

x ? px ? 1 ? 0 有实数根的概率为(
1 A. 5 3 C. 5 4 D. 5

4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.下列函数中与函数 奇偶性相同且在 ? (— ,0)上单调性也相同的是( )
| x| y??3

1 3 2 x B. y ? log2 | x | C. y ? x ? 1 D. y ? 1 ? x A. 1 1 x ? 1, y ? 1, 且 ln x, 4 4 ,lny 成等比数列,则 xy( 6.已知 ) y??
A.有最小值 e 7 .若曲线 ( ) A. ?1 B.0

f ? x ? ? a cos x

B.有最小值 e C.有最值大 e 与曲线

g ? x ? ? x2 ? bx ? 1

D.有最大值 e

在交点

? 0, m? 处有公切线,则 a ? b ?

C.1
2

D.2

y x ? 2 ?1 2 2 b 8.已知双曲线 a 的一个焦点与抛物线 x ? 4 y 的焦点重合,且双曲线的实轴长是虚
轴长的一半,则该双曲线的方程为 (
2 2
2

2



x y y2 x2 5 2 5 ? ?1 ? ?1 5y ? x ?1 5x2 ? y 2 ? 1 4 4 4 4 A. B. 5 C. 5 D. 9.已知函数 y ? f ( x ) 的定义域是 R, 若对于任意的正数 a, 函数 g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域
上的减函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象可能是( )

10. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为 1,第二名为 2,以此类推且没有并列名次情况) 不超过 3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续 3 次考试名次 数据,推断一定不是尖子生的是( )
1

A.甲同学:均值为 2,中位数为 2 C.丙同学:中位数为 2,众数为 2

B.乙同学:均值为 2,方差小于 1 D.丁同学:众数为 2,方差大于 1

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11?13 题)

1 e1 , e2满足e1 ? e2 ? ? , 则 e1 ? 2e2 ? 2 11.设单位向量 . ? 24 ? ? ( ? ,0 ) sin 2? ? ? 2 ,则 sin ? ? cos ? ? 25 , 12.已知



13 .实数 x 、 y 满足 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4 ,则实数 a 的值 为 . (二)选做题(14?15 题,考生只能从中选做一题)

? x ? 1, ? ? y ? a ( a ? 1), ? x ? y ? 0, ?

? x ? 2 cos? ? y ? 2 ? 2 sin ? (θ 14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数力程是 ?
为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆心 C 的极坐标是 15. (几何证明选讲选做题)如图,在 ?ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则 .

BF ? FC __________.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , ? 的终边在第一象限且与单位
2

圆的交点 Q 的纵坐标为 10 . (Ⅰ)求 tan(2? ? ? ) 的值;
?

y P?

(Ⅱ)若 2

?? ?? 0 ? ? ?
,

?

2 ,求 ? ?

?.
O

?

?

Q ?
x

17. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ),…,第八组 [ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人 数相同,第六组的人数为 4 人.
2

(Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为

x, y ,事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E
频率/ 组距 频率 / 组距 0.06

F) .

0.04

0.016 0.008 O

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 (Ⅰ)求证: EF //平面

身高(cm) (cm) 155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
D1 A1 E B1 C1

ABC1D1 ;

EF ? B1C ; (Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求三棱锥

B1 ? EFC 的体积.

D F A B

C

19. (本小题满分 14 分) 在数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . ?a ? n? 是等比数列; (Ⅰ)证明数列 n S ?a ? (Ⅱ)求数列 n 的前 n 项和 n ;
(Ⅲ)证明不等式

Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

20.(本小题满分 14 分)

3

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 已知椭圆 C: a 的离心率为 2 ,以原点为圆心,椭圆 c 的短半轴长为 半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.A、 B 是椭圆的左右顶点, 直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直,
如图. (I)求椭圆的标准方程; (II)设 G 是椭圆上异于 A、 B 的任意一点, GH 丄 x 轴, H 为垂足, 延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ, 连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,点 N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的 位置关系,并证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分)

1 3 x ? ax ? 1. 3 已知函数 (1)当 x ? 1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值; f ( x) ?
(2)求 f ( x) 在[0,1]上的最小值; (3)若对任意 m ? R, 直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,求 a 的取值范围。

高三文科数学三模参考答案及评分标准 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 B 10 D

11. 3 12. 13.2 16. (本小题满分 12 分) 解:解:⑴由三角函数的定义知

?

7 5

(2, ) 2 14.
tan ? ? ?
4 3

?

1 15. 2

tan 2? ?


2 ? (? 4 3) 2 1? (4 3)

?

24 7

.
2 10 ,

…………………2 分

又由三角函数线知

sin ? ?

tan ? ? 7, ∵ ? 为第一象限角,∴

1

…………………4 分

4



24 ? 1 tan(2? ? ? ) ? 724 7 1 1? 7 ? 7

?

161 73
.
4 5.

……6 分 …………………7 分
7 2 10 .

⑵∵ 又 ∴

cos? ? ?
2 10 ,

3 ? 5, 2

?? ??
?

,∴

sin ? ?

sin ? ?

0?? ?

2 ,∴

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?
4

…………………8 分
2 10

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
5

7 2 10

? ?
5

3

?

2 2 .

…………………10 分 ……………………12 分

?

2 ,得 2 由2 , 17. (本小题满分 12 分)

?? ?? 0 ? ? ?

?

?

?? ? ? ?

3? 2 ,∴

? ?? ?

3? 4 .

4 ? 0.08 (Ⅰ)第六组的频率为 50 ,所以第七组的频率为 1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; ………………………4 分 (Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5
所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 ………………6 分 (Ⅲ) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B , 则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况,

x? y ?5 因事件 E ? { }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本 7 P( E ) ? ab , ac , ad , bc , bd , cd , AB 15 .…………10 分 事件为 共 7 种情况,故
由于

x ? y max ? 195 ?180 ? 15

x ? y ? 15 ,所以事件 F ? { }是不可能事件, P( F ) ? 0

由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 18. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)连结

P( E

F ) ? P( E ) ? P( F ) ?

7 15 ………12 分

BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,…………………1 分 EF // D1B , ………………………………………… 则
……………2 分

D1B ? 平面ABC1D1 , EF ? 平面ABC1D1 ………………………………3 分 EF // 平面ABC1D1 ……………………………………………………………4 分 所以
又 (Ⅱ)连结 由于 由于

BC1 ,由于 AB ? 平面B1BCC1 ,所以 B1C ? AB ……………………………5 分

面B1BCC1 为正方形,所以 B1C ? BC1 ………………………………………6 分 AB, B1C ? 平面ABC1D1 , AB BC1 ? B …………………………………7 分
5

所以 又 又

B1C ? 平面ABC1D1 …………………………………………………………8 分

BD1 ? 平面ABC1D1 ,所以 B1C ? BD1 ………………………………………9 分 EF // BD1 ,所以 EF ? B1C …………………………………………………10 分
D1 A1 B1 E C1

CF ? 平面BDD1B1 , (Ⅲ) ?CF ? 平面EFB1 且

D F B

C

CF ? BF ? 2 …………………………………11 分 A 1 EF ? BD1 ? 3 B F ? BF 2 ? BB 2 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 1 2 , 1 ,…………12 分
B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3

EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ,即 ?EFB1 ? 90 ,………………………………13 分 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF 3 1 1 1 1 ? ? EF ? B1 F ? CF ? ? 3? 6 ? 2 ?1 =3 2 =3 2 ………………………………14 分
∴ 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)证明:由题设

an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .


a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.……………………5 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知

an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .
4n ? 1 n(n ? 1) Sn ? ? ?a ? 3 2 .……………………………10 分 所以数列 n 的前 n 项和 * (Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 1 Sn ?1 ? 4Sn ? ? ? 4? ? ? ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 3 2 3 2 ? ? 2 . * S ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.……………………………14 分 所以不等式 n?1
20. (本小题满分 14 分)

c 3 ? 2 . 解: (Ⅰ)由题可得:e= a
∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切,

0?0? 2 12 ? 12 =b,解得 b=1. ∴ 再由 a2=b2+c2,可解得:a=2.

6

x2 ? y2 ? 1 ∴ 椭圆的标准方程: 4 .……………………………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为:x=2. 设 G(x0,y0)(y0≠0),于是 Q(x0,2y0), x0 2 ? y0 2 ? 1 且有 4 ,即 4y02=4-x02. 2 y0 y? ( x ? 2) x0 ? 2 ∴ 直线 AQ 的方程为: ,

2 y0 ? ? x ? 2, ( x ? 2), ?y ? ? x0 ? 2 8 y0 8 y0 ? ? ? x ? 2, ? y ? x ? 2 , M (2,x ? 2 ) 0 0 由? 解得: ? 即 , 4y N (2, 0 ) x0 ? 2 . ∴

kQN
∴ 直线 QN 的斜率为:

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 ?2 x0 y0 ?2 x0 y0 ? x0 ? ? ? ? 2 ? x0 4 ? x0 2 4 y0 2 2 y0 ,

y?
∴直线 QN 的方程为:

4 y0 ? x0 ? ( x ? 2) x0 ? 2 2 y 0

x0 4 y0 x x? y? ? 0 ?0 2 y0 x0 ? 2 y 0 即
∴点 O 到直线 QN 的距离为

d?

4 y0 x 0? ? 0 x0 ? 2 y 0 x ( 0 )2 ?1 2 y0

?

2 2 4 y0 ? x0 ? 2 x0 ( x0 ? 2) y 0 2 2 x0 ? 4 y0 2 4 y0

?2

∴ 直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. ……………………………14 分

21. (本小题满分 14 分)

7

y ? ?x ? m (III)因为 ?m ? R ,直线 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线, ( x) ? x 2 ? a ? ?1 对 x ? R 成立, 所以 f '

( x) ? x 2 ? a 的最小值大于 ?1 即可, 只要 f ' ( x) ? x 2 ? a 的最小值为 f (0) ? ?a 而 f'
所以 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 ……………14 分

8


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