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高中数学排列组合问题的几种基本方法

高中数学排列组合问题的几种基本方法
1. 分组(堆)问题

分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;(④有序 不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则: ①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除 以 m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1.

分组(堆)问题

例 1.有四项不同的工程, 要发包给三个工程队, 要求每个工程队至少要得到一项工程. 共 有多少种不同的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三“堆” ,有 种分法; ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有 3!=6 种给法. ∴共有 6×6=36 种不同的发包方式.
2 1 1 C4 C2C1 ?6 2 A2

2.插空法:
解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. ♀ ♀♀ ♀ ♀♀ ♀

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例 2 . 7 人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 解:分两步进行: 5 第 1 步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 第 2 步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔): 2 有A6 =30种插入法
?共有120 ? 30=3600种排法
几个元素不能相邻时,先排一般元素, 再让特殊元素插孔.

3.捆绑法
相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一 个”元素,然后再进行整体排列. 例 3 . 6 人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解: (1)分两步进行: ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 甲 乙

第一步,把甲乙排列(捆绑):
2 有A2=2种捆法

第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:
5 有A5=120种排法

?共有2 ?120=240种排法
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素, 再与其它的进行排列.

4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序.或者,先让其 它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例 4. 5 个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法? 5 解法 1:将 5 个人依次站成一排,有 A5 种站法, 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
5 A5 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? A5 2 A2

3 解法 2:先让甲乙之外的三人从 5 个位置选出 3 个站好,有 A5 种站法,留下的两个位置 自然给甲乙有 1 种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 ?1 ? A5

4.消序法(留空法)
变式:如下图所示,有 5 横 8 竖构成的方格图,从 A 到 B 只能上行或右行共有多少条不同的 路线?

B

A

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7



:









B

A

将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11 格: 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列,有 11 4 7 A4 ? A7 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 所以从 A 到 B 共有

A11

种排法.

5 4 C(5??11)?(8?1) ? C11

条不同的路径.

5.剪截法(隔板法) :
n 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个 相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪截成 m 段. 例 5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把 16 个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学班, 每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于把 16 个相同小球放入 4 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问 题. 3 将 16 个小球串成一串,截为 4 段有 C15 ? 455 种截断法,对应放到 4 个盒子里. 因此,不同的分配方案共有 455 种 .

5.剪截法:
n 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个 相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪截成 m 段. 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把 16 个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学 班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于先给 2 班 1 个,3 班 2 个,4 班 3 个,再把余下的 10 个相同小球放入 4 个 盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将 10 个小球串成一串,截为 4 段有 C9 ? 84 种截断法,对应放到 4 个盒子里. 因此,不同的分配方案共有 84 种 .

6.错位法:

编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球 与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44. 例 6. 编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为 1 至 6 的 6 个盒子里,每个盒子放一个小球,其 中恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有____种. 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 错位排列有 9 种放法. 故所求方法有 15×9=135 种.

2 C6 ? 15

种,其余 4 组球与盒子需

7.剔除法:
从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从而增加 了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍. 例 7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、 C,所得的经过坐标原点的直线有_________条. 3 解:所有这样的直线共有 A7 ? 210 条, 1 2 其中不过原点的直线有A6 ? A6 ? 180 条, ∴所得的经过坐标原点的直线有 210-180=30 条.

小结:
①分堆问题; ②解决排列、组合问题的一些常用方法:错位法、剪截法(隔板法) 、捆绑法、剔除法、 插孔法、消序法(留空法).

巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( ) A. 3
4

B. 4

3

3 C. A4

3 D. C 4

2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 植,不同的种植方法共有( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( )
4 4 4 A. C12 C8 C4 种 4 4 4 B.3 C12 C8 C4 种

C. C12 C8 A3 种

4

4

3

D.

4 4 C12 C84 C4 种 3 A3


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