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【五年高考三年模拟】2017届高三数学(理)新课标一轮复习练习:6.3 等比数列


§6.3
考点一 等比数列的概念及运算

等比数列

14.(2012 安 徽 ,4,5 分 ) 公 比 为 2 的 等 比 数 列 {an} 的 各 项 都 是 正 数 , 且 a3a11=16, 则 log2a10=( A.4 ) B.5 C.6 D.7

答案 B 由题意得 an=a1×2n-1,且 a1>0, ∵a3a11=16,∴a1= , ∴log2a10=log216×29=log225=5,故选 B. 评析 本题考查了等比数列及对数的知识,重点考查等比数列的基本运算. 15.(2013 江苏,14,5 分)在正项等比数列{an}中,a5= ,a6+a7=3.则满足 a1+a2+…+an>a1a2…an 的 最大正整数 n 的值为 答案 12 解析 设等比数列的首项为 a1,公比为 q>0, 由 1 ·4 = ,
5

1 16

1

1 2

.

得 a1=32,q=2. 1 · + 1 · = 3,
6
(-1)(-10) 2

1 2

1

由 a1+a2+…+an>a1a2…an,得 2n-1>2

.

检验知 n=12 时,212-1>211;n=13 时,213-1<218,故满足 a1+a2+…+an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值是 12. 16.(2012 北 大 保 送 生 ,2) 在 正 项 等 比 数 列 {an} 中 ,a4+a3-a2-a1=5, 则 a5+a6 的 最 小 值 为 答案 20 解析 设等比数列 {an} 的公比为 q, 则由条件 , 得 (a2+a1)· q2-a2-a1=5,a2+a1=
5 .据 2 -1

.

a2+a1>0

知,q2-1>0,

从而 a5+a6=(a1+a2)q4=5· 2 =5 (2 -1) + ≥5 2 (2 -1)
1 +2 2 -1

4 -1

1 +2 2 -1 1 ,即 2 -1

=20,当且仅当 q2-1=

q2=2 时取等号,故 a5+a6 的最小值为 20.

17.(2012 浙 江 ,13,4 分 ) 设 公 比 为 q(q>0) 的 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn. 若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q= 答案
3 2

.

解析 由 S2=3a2+2,S4=3a4+2 作差可得 a3+a4=3a4-3a2,即 2a4-a3-3a2=0,所以 2q2-q-3=0,解 得 q= 或 q=-1(舍). 评析 本题考查等比数列的概念和性质,考查运算求解能力.
2 18.(2012 辽宁,14,5 分)已知等比数列{an}为递增数列,且5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}

3 2

的通项公式 an= 答案 2n

.

解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2an· q2=5an· q, 即 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q=2(舍去).
2 又∵5 =a10=a5· q5,∴a5=q5=25=32,

1

∴32=a1· q4,解得 a1=2,∴an=2×2n-1=2n,故 an=2n. 评析 本题考查等比数列的通项公式,考查学生的运算求解能力及逻辑推理能力. 19.(2011 江 西 ,18,12 分 ) 已 知 两 个 等 比 数 列 {an},{bn}, 满 足

a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解析 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2. 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),

即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2, 所以{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0.(*) 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不等的实根, 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a=3. 评析 本题主要考查等比数列及方程思想,考查学生的逻辑思维能力,属中等难度题.
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