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1.2.1任意角的三角函数第二课时)


1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数
第二课时

温故而知新
1.1设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y),角α 的三角函数分别为

sin ? ? y

cos ? ? x

1.2 若点P(x,y)为角α终边上任意一点,那么sinα,cosα, tanα对应的函数值分别等于什么? y y sin ? ? x2 ? y 2 x cos ? ? x2 ? y 2 O x y tan ? ? P(x,y) x

y tan ? ? ( x ? 0) x

2. 三角函数的定义域

sinα
定义域 R

cosα
R

tanα
? ? ? ? ? ? k ? ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

3. 各三角函数在各个象限的取值符号

三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

+
+ +

+
- -

- - +

- + -

cos?
tan ?

tan(? ? 2k? ) ? tan ?

公式一: 公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ?, cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z ).其数学意义如 何?

终边相同的角的同一三角函数值相等.

知识探究(一):正弦线和余弦线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos ? ? x都是正数,你能分 sin ? ? y, 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗?

| MP |? y ? sin ?

P (x ,y )

| OM |? x ? cos ?

O

M

x

思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , cos ? ? x 都是负数,此时 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?

M

O

x

P (x ,y )

思考3:为了简化上述表示,我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点,另 一个为终点,使得线段具有方向性,带 有正负值符号.根据实际需要,应如何 规定线段的正方向和负方向?
规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向.

思考4:规定了始点和终点,带有方向的线 段,叫做有向线段.由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时,sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示,即MP= sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时,你能检验这个表示正确吗?
y
P (x ,y )

y x
M

M

O

O

P (x ,y )

x

思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时, 角α 的正弦线和余弦线的含义如何?
y P M O x P O x y

P

思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗?
y
P

O

M

x

MP+OM>OP=1

知识探究(二):正切线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适?
y P T

y tan ? ? ? AT x

O

M A x

思考2:若角α 为第四象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y

y tan ? ? ? AT x

M O

A x

P
T

思考3:若角α 为第二象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
T
y P A T

y tan ? ? ? AT x

A M O

x

思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y T

y tan ? ? ? AT x

A M
O
T

A x

P

思考5:根据上述分析,你能描述正切线 的几何特征吗?
y P O A x T P O A T x y

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何? y
P
P O x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在.

思考7:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合 思想证明吗?
y P
O M A x T

成立的α 的取值范围.
y = 3 2

3 例2 在0~ 2? 内,求使 sin a > 2
y P P1 P2

p 2p a ? ( , ) 3 3

O M

x

例3 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域.
y P2 P O M x P1

p p a ?[ + 2k p, + 2k p ](k ? Z ) 3 3

1 x = 2

小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示, 即用有向线段表示三角函数值,是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化,余弦线和正切线的始点都是定点, 分别是原点O和点A(1,0).

3.利用三角函数线处理三角不等式问题, 是一种重要的方法和技巧,也是一种数形 结合的数学思想.


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