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2015届高考调研文科专题研究 正、余弦定理应用举例


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正、余弦定理应用举例

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实 际 问 题 中 的 常 用 角 1 ( ) 仰 角 和 俯 角 在 视 线 和 水 平 线 所 成 的 角 中 , 视 线 在 水 平 线 角 , 在 水 平 线

上方 的 角 叫 仰
(如 图 ①) .

下方 的 角 叫 俯 角

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2 ( ) 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点的方 位角为 α(如图②). 3 ( ) 坡 度 : 坡 面 与 水 平 面 所 成 的 二 面 角 的 度 数 .

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例 1 如图所示,为了测量河对岸 A,B 两 点 间 的 距 离 , 在 这一岸定一基线 CD, 现 已 测 出 CD=a 和∠A C D =60° ,∠B C D

=30° ,∠B D C =105° ,∠A D C =60° ,试求 AB 的长.

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【 解 析 】 =6 0 ° , 所 以 在△B C D an 1 i s 0 5 ° BC= n 4 i s 5 ° 在△A C D AC=a. 中 , 由 正 弦 定 理 可 得 3+1 = 2 a. 中 , 已 知

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CD=a, ∠A C D =6 0 ° , ∠A D C ①

② AC 和 BC, 又 因 为 ∠A C B =3 0 ° ,

在△ABC 中 , 已 经 求 得 所 以 利 用 余 弦 定 理 可
2 2

以 求 得

A、B 两 点 之 间 的 距 离 为 2 = 2 a.

AB= AC +BC -2AC· BCc o 3 · s 0 °

【答案】

2 2a
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探究 1 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都 离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合 题 意 的 示 意 图 , 然 后 将 问 题 转 化 为 三 角 形 问 题 去 求 解 . 注 意 : ①

基线的选取要恰当准确; ②选取的三角形及正、 余弦定理要恰当.

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思 考 题 平 方 向 在 内(如 图 所 示 1 为 了 测 量 两 山 顶

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M,N 之 间 的 距 离 , 飞 机 沿 水 A,B,M,N 在 同 一 个 铅 垂 平 面 A, B间 的 距 离 . 请 (用 字 母 表 示 , 并 M,N 间 的 距 离 的 步 骤 .

A,B 两 点 进 行 测 量 .

). 飞 机 能 够 测 量 的 数 据 有 俯 角 和 ①指 出 需 要 测 量 的 数 据

设 计 一 个 方 案 , 包 括 : 在 图 中 标 出

);②用 文 字 和 公 式 写 出 计 算

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【 解 析 】 的 俯 角 方 案 一 :

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①需 要 测 量 的 数 据 有 :

A点 到 M,N 点 d(如

α1,β1,B 点 到 M,N 的 俯 角

α2,β2;A,B 间 的 距 离

图 所 示 ). ②第 一 步 : 计 算 第 二 步 : 计 算 第 三 步 : 计 算 AM.由 正 弦 定 理 , 得 AN.由 正 弦 定 理 , 得 MN.由 余 弦 定 理 , 得 dn i s α2 AM= ; n i s ?α1+α2? dn i s β2 AN= ; n i s ?β2-β1?

MN= AM2+AN2-2AM×ANc o s ?α1-β1?.

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方 案 二 :

①需 要 测 量 的 数 据 有 :

A 到 M,N 点 的 俯 角 d(如 图 所 示

α1,β1; ).

B点 到 M,N 点 的 俯 角

α2,β2;A,B 间 的 距 离

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dn i s α1 ②第一步:计算 BM.由正弦定理,得 BM= ; n i s ?α1+α2? 第二步:计算 BN.由 正 弦 定 理 , 得 第三步:计算 MN.由余弦定理,得 MN= BM2+BN2+2BM×BNc o s ?β2+α2?. dn i s β1 BN= ; n i s ?β2-β1?

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例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后, 望见塔在东北方向, 若沿途测得塔顶的最大仰角为 30° , 求 塔 高 .

【 思 路 】

依 题 意 画 图 , 某 人 在

C处 , AB 为 塔 高 , 他 沿

CD

前 进 , CD=4 0 米 , 此 时 角 , 只 有

∠D B F =4 5 ° , 从 C到D沿 途 测 塔 的 仰 a n t

B到 测 试 点 的 距 离 最 短 时 , 仰 角 才 最 大 , 这 是 因 为 BE 最 小 时 , 仰 角 最 大 , 要 求 出 塔 高 BE, 需 先 求 BD(或 BC).
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AB ∠AEB=BE,AB 为 定 值 , AB, 必 须 先 求 BE, 而 求

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【 解 析 】

如 图 所 示 , 某 人 在

C处 , AB 为 塔 高 , 他 沿

CD

前 进 , CD=4 0, 此 时 ∠D B F =4 5 ° , 过 点 ∠AEB=3 0 ° .

B 作 BE⊥CD 于 E,则

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在△B C D

中,CD=40,∠B C D =30° ,∠D B C =1 3 5 ° .

CD BD 由正弦定理,得 = . n i s ∠D B C n i s ∠B C D 4 n 0 3 i s 0 ° ∴BD= n 1 i s 3 5 ° =20 2.

∠B D E =1 8 0 ° -135° -30° =1 5 ° .

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在 Rt△BED 中 , BE=DBn 1 i s 5 ° =2 0 6- 2 2× 4 =1 0 (

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3-1 ).

在 Rt△ABE 中 , ∠A E B =3 0 ° , ∴AB=BEa n t 3 0 ° 故 所 求 的 塔 高 为 1 0 = 3 (3- 3)(米). 1 0 . 3 (3- 3) 米

10 【答案】 3 (3- 3) 米

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探究 2 本题有两处易错点:①图形中为空间关系,极易当 做平面问题处理,从而致错;②对 仰 角 、 俯 角 等 概 念 理 解 不 够 深 入,从而把握不准已知条件而致错.
思考题 2 要测底部不能到达的电视塔 AB 的 高 度 , 在 C

点测得塔顶 A 的仰角是 45° ,在 D 点 测 得 塔 顶 并测得水平面上的∠B C D =120° ,CD=4 m 0

A 的仰角是 30° , , 求 电 视 塔 的 高 度 .

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【 解 析 】

如 图 设 电 视 塔

AB 高 为 x, 则 在

Rt△ABC 中,

由∠A C B =4 5 ° , 得 BC=x.在 Rt△A D B ∴BD= 3x. 在△B D C 中 , 由 余 弦 定 理 , 得

中 , ∠A D B =3 0 ° ,

BD2=BC2+CD2-2BC· CDc o · 1 s 2 0 ° . 即( 3x)2=x2+4 0 2-2 ·x4 c 0 o · 1 s 2 0 ° 解 得 x=4 0 ,∴电 视 塔 高 为
【答案】 40 米
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, 4 0 米 .

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例 3 如图所示, A, B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ( + 3) 海里的两个观测点. 现位于 A 点北偏东 45° , B 点北偏西 60° 的D 点有一艘轮船发出 求 救 信 号 , 位 于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距

20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海 里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

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【 解 析 】 由 题 意 知

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AB=5 3 ( + 3) 海 里 ,

∠D B A =9 0 ° -6 0 ° =3 0 ° ,∠D A B =9 0 ° -4 5 ° =4 5 ° , ∴ ∠A D B =1 8 0 ° -4 ( 5 ° +3 0 ° ) =1 0 5 ° . 在△D A B ∴ DB 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 = AB n i s · ∠D A B n i s ∠A D B DB AB = . n i s ∠DAB n i s ∠A D B = 5?3+ 3? n 4 i s 5 · ° n 1 i s 0 5 ° 3(海 里 ). =

n 4 i s 5 ° c o 6 s 0 °

5?3+ 3? n 4 i s 5 · ° +c o 4 s n 5 6 i ° s 0 °

5 3? 3+1? = =1 0 3+1 2

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又∠D B C =∠D B A +∠ABC=3 0 ° +9 ( 0 ° -6 0 ° ) =6 0 ° ,BC= 2 0 3(海 里 ), 在△D B C 中 , 由 余 弦 定 理 , 得

CD2=BD2+BC2-2BD· BCc o · s ∠D B C =3 0 0 +2 1 0 0 -2×1 0 3 ×2 0 1 3×2=9 0 0 . 3 0 t =3 (小 时 ). 0 =1

∴CD=3 0 ( 海 里 ), 则 需 要 的 时 间 故 救 援 船 到 达
【答案】

D点 需 要
1 小时

1小 时 .

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探 究 3

首 先 应 明 确 方 位 角 的 含 义 , 在 解 应 用 题 时 , 分 析 题

意 , 分 清 已 知 与 所 求 , 再 根 据 题 意 正 确 画 出 示 意 图 , 这 是 最 关 键 、 最 重 要 的 一 步 , 通 过 这 一 步 可 将 实 际 问 题 转 化 成 可 用 数 学 方 法 解 决 的 问 题 , 解 题 中 点 . 也 要 注 意 体 会 正 、 余 弦 定 理 “联 袂 ”使 用 的 优

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思 考 题 鱼 作 业 , 中 国 海 监 船 在 有 一 艘 某 国 军 舰 正 以 每 小 时 驶 , 企 图 抓 捕 正 在 监 船 的 南 偏 东 里 的 速 度 赶 往 3≈7 1 3 . 3

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如 图 所 示 , 中 国 渔 民 在 中 国 南 海 黄 岩 岛 附 近 捕 A地 侦 察 发 现 , 在 南 偏 东 1 3 海 里 的 速 度 向 正 西 方 向 的 C地 捕 鱼 的 中 国 渔 民 . 此 时 , 6 0 ° 方 向 的 B地 , C地 行 C地 位 于 中 国 海 时3 0 海 ( 2≈4 1 . ,

4 5 ° 方 向 的

1 0 海 里 处 , 中 国 海 监 船 以 每 小

C地 救 援 我 国 渔 民 , 能 不 能 及 时 赶 到 ?

, 6≈4 2 5 .)

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【 解 析 】

过 点 A 作 AD⊥BC,交 BC 的 延 长 线 于 点

D.

因 为 ∠C A D =4 5 ° ,AC=1 0 海 里 , 所 以 △A C D 是 等 腰 直 角 三 角 形 .

2 2 所 以 AD=CD= 2 AC= 2 ×1 0 =5 2(海 里 ). 在 Rt△ABD 中 , 因 为 所 以 BD=AD×a n t 6 0 ° ∠D A B =6 0 ° , =5 2× 3=5 6(海 里 ).

所 以 BC=BD-CD=(5 6-5 2) 海 里 .

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因 为 中 国 海 监 船 以 每 小 时 以 每 小 时 1 3 海 里 的 速 度 航 行 , C点 所 用 的 时 间 C 点所用的时间 ? =4 0 ( . 小 时 ).

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3 0 海 里 的 速 度 航 行 , 某 国 军 舰 正

所 以 中 国 海 监 船 到 达 某国军舰到达 ≈ 5×?4 2 5 . 1 3 1 因 为 3< 4 0 . -4 1 .

0 1 AC 1 t1= 3 时 ), 0 =3 0 =3(小 BC 5×? 6- 2? t2 = 1 3 = 1 3

, 所 以 中 国 海 监 船 能 及 时 赶 到 .

1 【答案】 3<0.4,所以中国海监船能及时赶到
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应 用 正 、 余 弦 定 理 解 斜 三 角 形 应 用 题 的 一 般 步 骤 是 : 1 ( ) 分 析 : 理 解 题 意 , 分 清 已 知 与 未 知 , 画 出 示 意 图 ; 2 ( ) 建 模 : 根 据 已 知 条 件 与 求 解 目 标 , 把 已 知 量 与 求 解 量 尽 量 集 中 在 有 关 的 三 角 形 中 , 建 立 一 个 解 斜 三 角 形 的 数 学 模 型 ; 3 ( ) 求 解 : 利 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 有 序 地 解 三 角 形 , 求 得 数 学 模 型 的 解 ; 4 ( ) 检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出 实 际 问 题 的 解 .
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课时作业(二十七 )

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