当前位置:首页 >> 数学 >>

【解析版】广东省肇庆市2013届高三第一次模拟数学理试题


2013 年广东省肇庆市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. (5 分)设 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 A.2 B.2+i =( ) C.2﹣i D.2+2i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵ z=1﹣i,∴ , = ∴ = =1+i+1+i=2+2i.

=



故选 D. 点评:熟练掌握复数的运算法则和共轭复数的定义是解题的关键. 2. (5 分) (2013?肇庆一模)集合 M={x|lgx>0},N={x|x ≤9},则 M∩ N=( ) A.(1,3) B.[1,3) C.(1,3] D.[1,3] 考点:交集及其运算. 2 分析:根据对数函数的单调性求出集合 M,解不等式 x ≤9 求出集合 N,再进行交集运算. 2 解答:解:∵ M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x ≤9}={x|﹣3≤x≤3}, ∴ M∩ N={x|1<x≤3}, 故选 C. 点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.
2

3. (5 分) (2013?菏泽二模)已知向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) .若 λ 为实数, ( +λ ) ⊥ ,则 λ=( A. ) B. C. D.

考点:平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析: 由向量的运算可得 的坐标,由向量的垂直可得关于 λ 的方程,解之可得答案. 解答: 解:由题意可知: =(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ)

由( 解之可得 λ=

)⊥ 可得:3(1+λ)+4×2λ=0,

故选 A 点评:本题考查平面向量数量积的运算以及向量的垂直与数量积的关系,属中档题. 4. (5 分) (2013?肇庆一模)公比为 2 的等比数列{an} 的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=( A.1 B.2 C.4 D.8 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意结合等比数列的性质可得 a7=4,由通项公式可得 a6. 解答:解:由题意可得 =a a =16,
4 10



又数列的各项都是正数, 故 a7=4,故 a6= = =2

故选 B 点评:本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 5. (5 分) (2013?肇庆一模)某程序框图如图所示,则输出的结果 S=( )

A.26

B.57

C.120

D.247

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用 循环计算变量 S 的值,并输出 K>4 时,变量 S 的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行 过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 解答:解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:

是否继续循环 循环前/1 1 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 故选 B.

k 是 是 是 是 否

S 2 3 4 5 4 11 26 57

点评:根据流程图 (或伪代码) 写程序的运行结果, 是算法这一模块最重要的题型, 其处理方法是: : ① 分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参 与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?② 建立数 学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模. 6. (5 分) (2013?肇庆一模) 下列函数中, 既是偶函数又在区间 ( 0, +∞) 上单调递增的函数为 ( ﹣1 2 A.y=x B.y=log2x C.y=|x| D.y=﹣x )

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: ﹣1 根据 y=x = 在区间(0,+∞)上单调递减,得 A 项不符合题意;根据 y=log2x 的定义域不 关于原点对称,得 y=log2x 不是偶函数,得 B 项不符合题意;根据 y=﹣x 的图象是开口向下 2 且关于 x=0 对称的抛物线, 得 y=﹣x 的在区间 (0, +∞) 上为减函数, 得 D 项不符合题意. 再 根据函数单调性与奇偶性的定义,可得出只有 C 项符合题意. 解答: ﹣1 解:对于 A,因为函数 y=x = ,在区间(0,+∞)上是减函数 不满足在区间(0,+∞)上单调递增,故 A 不符合题意; 对于 B,函数 y=log2x 的定义域为(0,+∞) ,不关于原点对称 故函数 y=log2x 是非奇非偶函数,故 B 不符合题意; 对于 C,因为函数 y=|x|的定义域为 R,且满足 f(﹣x)=f(x) , 所以函数 y=|x|是偶函数,
2

而且当 x∈(0,+∞)时 y=|x|=x,是单调递增的函数,故 C 符合题意; 对于 D,因为函数 y=﹣x 的图象是开口向下的抛物线,关于直线 x=0 对称 2 所以函数 y=﹣x 的在区间(0,+∞)上为减函数,故 D 不符合题意 故选:C 点评:本题给出几个基本初等函数,要求我们找出其中的偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的 函数,着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识,属于基础题. 7. (5 分) (2013?肇庆一模)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所 示,则其侧视图的面积为( )
2

A.

B.

C.

D.

考点:简单空间图形的三视图;由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由题意可得侧视图为三角形,且边长为边长为 1 的正三角形的高线,高等于正视图的高,分 别求解代入三角形的面积公式可得答案. 解答: 解:∵ 边长为 1 的正三角形的高为 = , ∴ 侧视图的底边长为 , , =

又侧视图的高等于正视图的高 故所求的面积为:S=

故选 A 点评:本题考查简单空间图形的三视图,涉及三角形面积的求解,属基础题. 8. (5 分) (2013?肇庆一模)在实数集 R 中定义一种运算“⊕ ”,具有性质: ① 对任意 a,b∈R,a⊕ b=b⊕ a; ② 对任意 a∈R,a⊕ 0=a; ③ 对任意 a,b,c∈R, (a⊕ b)⊕ c=c⊕ (ab)+(a⊕ c)+(b⊕ c)﹣2c. 函数 f(x)=x⊕ (x>0)的最小值为( A.4 B.3 ) C.2 D.1

考点:进行简单的合情推理;函数的值域. 专题:计算题;新定义. 分析: 根据题中给出的对应法则, 可得 ( f x) = (x⊕ ) ⊕ 0=1+x+ , 利用基本不等式求最值可得 x+ ≥2, 当且仅当 x=1 时等号成立,由此可得函数 f(x)的最小值为 f(1)=3. 解答:解:根据题意,得 f(x)=x⊕ =(x⊕ )⊕ 0=0⊕ (x? )+(x⊕ 0)+( ⊕ 0 )﹣2×0=1+x+ 即 f(x)=1+x+ ∵ x>0,可得 x+ ≥2,当且仅当 x= =1,即 x=1 时等号成立 ∴ 1+x+ ≥2+1=3,可得函数 f(x)=x⊕ (x>0)的最小值为 f(1)=3 故选:B 点评:本题给出新定义,求函数 f(x)的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析 式求法和简单的合情推理等知识,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.必做题(9~13 题) ,选 做题(14、15 题) 9. (5 分) (2013?肇庆一模)不等式|x+2|+|x|≥4 的解集是 (﹣∞,﹣3]∪ [1,+∞) . 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用绝对值的几何意义直接求解即可. 解答:解:不等式|x+2|+|x|≥4,由绝对值的几何意义可知,数轴上的点到 0 与﹣2 点距离之和大于等 于 4 的实数, 所以不等式的解集为: (﹣∞,﹣3]∪ [1,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣3]∪ [1,+∞) .

点评:本题考查绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义的应用,考查计算能力. 10. (5 分) (2013?肇庆一模)2 个好朋友一起去一家公司应聘,公司人事主管通知他们面试时间时 说:“我们公司要从面试的人中招 3 个人,你们都被招聘进来的概率是 试的人有 21 个(用数字作答) . ξ P 0 6 125 1 a 2 b 3 24 125 ”.根据他的话可推断去面

考点:等可能事件. 专题:概率与统计. 分析:设出去公司面试的人数 n,从面试的人数中任取 3 人的方法种数是

,两人都被聘用的方法

种数是

.则两人都被聘用的概率即为



解答:解:设去面试的人数为 n, 则 2 人都被招聘的概率为
2



整理得 n ﹣n﹣420=0.解得 n=﹣20(舍)或 n=21. 所以,去面试的是 21 人. 故答案为 21. 点评:本题考查了等可能事件的概率,解答的关键是正确理解题意,求出从面试人数中任取 3 人的 事件数及两人都被聘用的基本事件个数,是基础题.
2 2

11. (5 分) (2013?肇庆一模)若圆 x +y +mx﹣ =0 与直线 y=﹣1 相切,且其圆心在 y 轴的左侧, 则 m 的值为 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析: 2 2 将圆的方程配方后求出圆心,据圆 x +y +mx﹣ =0 与直线 y=﹣1 相切求出 m 的值. 解答: 2 2 解:圆方程配方得(x+ ) +y = 由条件知﹣ <0,即 m>0.
2

,圆心为(﹣ ,0) .

又圆与直线 y=﹣1 相切,则 0﹣(﹣1)= 点评:本题考查直线和圆的位置关系.

,即 m =3,∴ m=



12. (5 分) (2013?肇庆一模)在△ ABC 中,AC=

,BC=2,B=60°,则△ ABC 的面积等于



考点:余弦定理;三角形的面积公式. 专题:计算题;解三角形. 分析:通过余弦定理求出 AB 的长,然后利用三角形的面积公式求解即可. 2 2 2 解答:解:设 AB=c,在△ ABC 中,由余弦定理知 AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB, 2 2 即 7=c +4﹣2×2×c×cos60°,c ﹣2c﹣3=0,又 c>0,∴ c=3. S△ABC= AB?BCsinB= BC?h

可知 S△ABC= 故答案为:

=



点评:本题考查三角形的面积求法,余弦定理的应用,考查计算能力.

13. (5 分) (2013?肇庆一模)已知不等式组

表示一个三角形区域(包括三角形的内部及

边界) ,则实数 a 的取值范围为 (﹣∞,﹣2]∪ [0,2) . 考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:本题考查的是简单线性规划问题.线性规划要注意数形结合,要综合运用多方面的知识.特 别要注意区域的边界.因此在解答此题时应先根据先行约束条件画出可行域,然后根据可行 域的特点及条件:表示的平面区域是一个三角形及其内部,找出不等关系即可. 解答:解:由题意可知:画可行域如图:

不等式组

表示的平面区域是一个三角形及其内部,

且当直线 x﹣y=a 过 A(2,0)点时,a=2;当直线 x﹣y=a 过 O(0,0)点时,a=0;当直线 x﹣y=a 过 B(0,2)点时,a=﹣2. 结合图形得,所以 a 的取值范围是:a≤﹣2 或 0≤a<2. 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪ [0,2) .

点评:本题考查的是简单线性规划问题.在解答的过程当中成分体现了数形结合的思想和构成三角 形的相关知识.特别是对线性规划中的区域边界考查得到了充分的体现.值得同学们体会反 思. 14. (5 分) (2013?肇庆一模) (坐标系与参数方程选做题)

已知直线

(t 为参数)与直线 l2:2x﹣4y=5 相交于点 B,又点 A(1,2) ,则|AB|=



考点:参数方程化成普通方程;两点间的距离公式. 专题:计算题;直线与圆. 分析:先把直线 l1 的方程化为普通方程,与直线 l2 的方程联立可求得点 B 的坐标,然后由两点间距 离公式可求得|AB|. 解答: 解:由 ,得 4x+3y﹣10=0,



解得

,即 B( ,0) , = ,

所以|AB|= 故答案为: .

点评:本题考查参数方程与普通方程的互化、两点间距离公式,属基础题. 15. (2013?肇庆一模) (几何证明选讲选做题) 如图所示,已知圆 O 的半径为 2,从圆 O 外一点 A 引切线 AB 和割线 AD,C 为 AD 与圆 O 的交点, 圆心 O 到 AD 的距离为 , ,则 AC 的长为 3 .

考点:与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明. 专题:计算题. 分析:利用圆心到直线的距离,求出 CD 的值,然后利用圆的切割线定理求解即可. 解答:解:因为圆 O 的切线 AB 和割线 AD,所以由切割线定理可知 AB2=AC?AD, 圆心 O 到 AD 的距离为 ,圆 O 的半径为 2, 所以 CD=2
2

=2,



所以 AB =AC?(AC+CD) ,即 15=AC?(AC+2) , 解得 AC=3, 故答案为:3. 点评:本题考查弦心距、半径、半弦长满足的勾股定理以及切割线定理的应用,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (12 分) (2013?肇庆一模)已知函数 f(x)=Asin(4x+φ) (A>0,0<φ<π)在 大值 2. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若 , ,求 的值.

时取得最

考 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解 点:析式. 专 计算题;三角函数的图像与性质. 题: 分 (1)根据函数表达得 ω=4,结合三角函数的周期公式即可得出 f(x)的最小正周期的值; 析: (2)由函数 f(x)在 时取得最大值 2,得 +φ= +2kπ(k∈Z) ,结合 0<φ<π 取 k=0 得 ,从而得到 f(x)的解析式; ,结合诱导公式化简得 ,由同角三角函数的

(3)由(2)求出的解析式代入 关系结合

算出 sinα=﹣ ,用二倍角的三角公式算出 sin2α、cos2α 之值,代入 的展开式,即可得到 的值.

解 解: (1)∵ 函数表达式为:f(x)=Asin(4x+φ) , 答: ∴ ω=4,可得 f(x)的最小正周期为 (2 分) (2)∵ f(x)在 ∴ A=2,且 时取得最大值 2, 时 4x+φ= +2kπ(k∈Z) ,即 (5 分) ; (6 分) , ,可得 , (7 分) +φ= +2kπ(k∈Z) , (4 分)

∵ 0<φ<π,∴ 取 k=0,得 ∴ f(x)的解析式是 (3)由(2)得 即



,∴

, (8 分)



, (9 分)

, (10 分) ∴ = . (12

分) 点 本题给出 y=Asin(ωx+φ)中的部分参数,根据函数的最大值及其相应的 x 值求函数的表达式, 评:并依此求特殊的三角函数的值.着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式 和同角三角函数基本关系等知识,属于中档题. 17. (13 分) (2013?肇庆一模)因台风灾害,我省某水果基地龙眼树严重受损,为此有关专家提出 两种拯救龙眼树的方案,每种方案都需分四年实施.若实施方案 1,预计第三年可以使龙眼产量恢 复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第四年可以使龙眼产量为第三年产 量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案 2,预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5;第四年可以使龙眼产量为第三年产量的 1.2 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第三年与第四年相互独立,令 ξi(i=1,2)表示方案 i 实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数. (1)写出 ξ1、ξ2 的分布列; (2)实施哪种方案,第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别 为 10 万元、15 万元、20 万元.问实施哪种方案的平均利润更大? 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析:(1)根据题意得到两个变量的可能取值,根据条件中所给的方案一和方案二的两年龙眼产量 的变化有关数据写出两个变量的分布列. (2)根据两种方案对应的数据,做出方案一、方案二两年后龙眼产量超过灾前产量的概率, 得到结论:方案二两年后龙眼产量超过灾前产量的概率更大. (3)根据两年后龙眼产量和灾前产量的比较,做出达不到灾前产量,达到灾前产量,超过灾 前产量的概率,列出龙眼带来效益的分布列,做出期望. 解答:解: (1)ξ1 的分布列为: 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 ξ1 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 P1 (3 分) ξ2 的分布列为 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 ξ2 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 P2 (6 分) (2)由(1)可得 ξ1>1 的概率 P(ξ1>1)=0.15+0.15=0.3, (7 分) ξ2>1 的概率 P(ξ2>1)=0.24+0.08=0.32, (8 分) ∵ P(ξ2>1)>P(ξ1>1) , ∴ 实施方案 2,第四年产量超过灾前概率更大. (9 分) (3)设实施方案 1、2 的平均利润分别为利润 A、利润 B,根据题意, 利润 A=(0.2+0.15)×10+0.35×15+(0.15+0.15)×20=14.75(万元) (10 分) 利润 B=(0.3+0.2)×10+0.18×15+(0.24+0.08)×20=14.1(万元) (11 分)

∵ 利润 A>利润 B, ∴ 实施方案 1 平均利润更大. (13 分) 点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查解决实际问题的能力,考查对题干较长的应 用题的理解,是一个综合题.

18. (13 分) (2013?肇庆一模) 如图, PA 垂直⊙ O 所在平面 ABC, AB 为⊙ O 的直径, PA=AB, BF= C 是弧 AB 的中点. (1)证明:BC⊥ 平面 PAC; (2)证明:CF⊥ BP; (3)求二面角 F﹣OC﹣B 的平面角的正弦值.



考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析:(1)利用线面垂直的性质及已知 PA⊥ 平面 ABC,可得 BC⊥ PA.再利用∠ ACB 是直径所对的 圆周角,可得 BC⊥ AC.再利用线面垂直的判定定理即可证明结论; (2)由于 PA⊥ 平面 ABC,利用线面垂直的性质即可得到 OC⊥ PA.再利用等腰三角形的性质 可得 OC⊥ AB,得到 OC⊥ 平面 PAB,取 BP 的中点为 E,连接 AE,可得 OF∥ AE,AE⊥ BP,进 而得到 BP⊥ 平面 CFO 即可. (3)利用(2)知 OC⊥ 平面 PAB,可得 OF⊥ OC,OC⊥ OB,于是∠ BOF 是二面角 F﹣OC﹣B 的平面角.由已知可得∠ FOB=45°即可得出. 解答:(1)证明:∵ PA⊥ 平面 ABC,BC?平面 ABC,∴ BC⊥ PA. ∵ ∠ ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ∠ ACB=90°,即 BC⊥ AC. 又∵ PA∩ AC=A,∴ BC⊥ 平面 PAC. (2)∵ PA⊥ 平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴ OC⊥ PA. ∵ C 是弧 AB 的中点,∴ △ ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴ OC⊥ AB. 又∵ PA∩ AB=A,∴ OC⊥ 平面 PAB,又 PB?平面 PAB, ∴ BP⊥ OC. 设 BP 的中点为 E,连接 AE,则 OF∥ AE,AE⊥ BP, ∴ BP⊥ OF. ∵ OC∩ OF=O,∴ BP⊥ 平面 CFO.又 CF?平面 CFO,∴ CF⊥ BP.

(3)解:由(2)知 OC⊥ 平面 PAB,∴ OF⊥ OC,OC⊥ OB, ∴ ∠ BOF 是二面角 F﹣OC﹣B 的平面角. 又∵ BP⊥ OF,∠ FBO=45°,∴ ∠ FOB=45°, ∴ ,即二面角 FOOC﹣B 的平面角的正弦值为 .

点评:本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形 的性质、二面角等基础知识与基本技能,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.

19. (14 分) (2013?梅州二模) 已知椭圆

的离心率为

, 直线 l: y=x+2

与以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 于直线 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R,S 在 C2 上,且满足 ,求 的取值范围.

考点:圆与圆锥曲线的综合;平面向量数量积的运算;轨迹方程;椭圆的标准方程. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)先由离心率为 ,求出 a,b,c 的关系,再利用直线 l:y=x+2 与以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切,求出 b 即可求椭圆 C1 的方程; (2)把题中条件转化为动点 M 的轨迹是以 l1:x=﹣1 为准线,F2 为焦点的抛物线,即可求 点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)先设出点 R,S 的坐标,利用 的坐标表示出 解答: 解: (1)由 求出点 R,S 的坐标之间的关系,再用点 R,S 的取值范围.
2 2 2

,利用函数求最值的方法即可求
2 2

得 2a =3b ,又由直线 l:y=x+2 与圆 x +y =b 相切,





,∴ 椭圆 C1 的方程为:

. (4 分)

(2)由 MP=MF2 得动点 M 的轨迹是以 l1:x=﹣1 为准线, 2 F2 为焦点的抛物线,∴ 点 M 的轨迹 C2 的方程为 y =4x. (8 分) (3)Q(0,0) ,设 ,







,得

,∵ y1≠y2

∴ 化简得

, (10 分)



(当且仅当 y1=±4 时等号成立) ,

∵ 又∵ y2 ≥64,∴ 当 y2 =64,即 y2=±8 时 ∴ 的取值范围是 . (13 分)
2 2

, ,

点评:本题是对圆与椭圆知识的综合考查.当直线与圆相切时,可以利用圆心到直线的距离等于半 径求解. ,也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为 0 求解. 20. (14 分) (2013?肇庆一模)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=1, (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项 an; (3)设数列{bn}满足 ,求证:当 n≤k 时有 bn<1. .

考点:数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:(1)由 a =1, .可得 a2=2a1=2;及 a3=S2=a1+a2=3 可得 a4=4; 1

(2)当 n>1 时,由 nan+1=2Sn,再构造一式: (n﹣1)an=2Sn﹣1,两式相减可化得



从而有 a2=2,

,…,

以上(n﹣1)个式子相乘得数列{an}的通项 an(3)

分析可得{bn}是单调递增数列,故要证:当 n≤k 时,bn<1,只需证 bk<1.下面分(i)当 k=1 时和(ii)当 k≥2 时,结合裂项法等求数列的前 n 项和可得当 n≤k 时有 bn<1. 解答:解: (1)由 a =1, .
1

得 a2=2a1=2, (1 分) a3=S2=a1+a2=3, (2 分) 由 3a4=2S3=2(a1+a2+a3) , 得 a4=4

(3 分)

(2)当 n>1 时,由 nan+1=2Sn ① , 得(n﹣1)an=2Sn﹣1 ② (4 分) ① ﹣② 得 nan+1﹣(n﹣1)an=2(Sn﹣Sn﹣1) ,化简得 nan+1=(n+1)an, ∴ (n>1) . (5 分)

∴ a2=2,

,…, (n>1) (7 分)

(6 分)

以上(n﹣1)个式子相乘得 an=2× 又 a1=1,∴ an=n(n∈N+) (3)∵ an=n>0,b1= >0,bn+1= b

…×

(8 分) +bn,

∴ {bn}是单调递增数列,故要证:当 n≤k 时,bn<1, 只需证 bk<1. (9 分) (i)当 k=1 时,b1= <1,显然成立; (ii)当 k≥2 时, ∵ bn+1>bn>0, ∴ ∴ , . (11 分) , (10 分)

∴ 分) ∴ bk< <1 . (13 分)

…+

>﹣

(12

综上,当 n≤k 时有 bn<1. (14 分) 点评:本题是数列问题比较经典的考题,是高考试卷考查数列的常见题型,首先要根据定义法,迭 代法、构造数列法等求出数列的通项公式,再利用裂项法等求数列的前 n 项和.

21. (14 分) (2013?肇庆一模)若 f(x)= (1)当 a=﹣2 时,求函数 y(x)在区间[e,e ]上的最大值; (2)当 a>0,时,若 x∈[1,+∞) ,
2

其中 a∈R

恒成立,求 a 的取值范围.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:压轴题;导数的综合应用.

分析:(1)当 a=﹣2,x∈[e,e2]时,f(x)=x2﹣2lnx+2,求其导数可判函数在在[e,e2]上单调递增, 进而可得其最大值; (2)分类讨论可得函数 y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为

,分段令其

,解之可得 a 的取值范围.

2 2 解答:解: (1)当 a=﹣2,x∈[e,e ]时,f(x)=x ﹣2lnx+2, (1 分)


2

,∴ 当 x∈[e,e ]时,f'(x)>0, (2 分)
2

2

∴ 函数 f(x)=x ﹣2lnx+2 在[e,e ]上单调递增, (3 分) 故 (2)① 当 x≥e 时,f(x)=x +alnx﹣a,
2

+2=e ﹣2(4 分) ,

4

∵ a>0,∴ f'(x)>0,∴ f(x)在[e,+∞)上单调递增, (5 分) 故当 x=e 时,
2

; ) (x﹣

(6 分) ) , (7 分)

② 当 1≤x≤e 时,f(x)=x ﹣alnx+a,f′ (x)=2x﹣ = (x+ (i)当

≤1,即 0<a≤2 时,f(x)在区间[1,e)上为增函数,
2

当 x=1 时,f(x)min=f(1)=1+a,且此时 f(1)<f(e)=e ; (ii) 当 , 即 2<a≤2e 时, f (x) 在区间
2

(8 分)

上为减函数, 在区间

上为增函数, (9 分) 故当 x= (iii)当 故当 x=e 时, 时,
2 2

,且此时 f(

)<f(e)=e ; (10 分)

2

,即 a>2e 时,f(x)=x ﹣alnx+a 在区间[1,e]上为减函数, . (11 分)

综上所述,函数 y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为

(12 分)



得 0<a≤2;由

得无解;由

得无解; (13 分)

故所求 a 的取值范围是(0,2].

(14 分)

点评:本题考查利用导数求闭区间的最值,涉及分类讨论的思想,属难题.


相关文章:
【解析版】广东省肇庆市2013届高三第一次模拟数学理试题.doc
【解析版】广东省肇庆市2013届高三第一次模拟数学理试题 - 小升初 中高考 高
【解析版】广东省肇庆市2013届高三上学期期末考试数学....doc
【解析版】广东省肇庆市2013届高三上学期期末考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。2012-2013 学年广东省肇庆市高三(上) 期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析...
广东省肇庆市2013届高三第一次模拟试题(理科数学)(WORD版).doc
广东省肇庆市2013届高三第一次模拟试题(理科数学)(WORD版) - 广东省肇庆市 2013 届高三第一次模拟试题 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. ...
【解析版】广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(....doc
【解析版】广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(理)试题( - 肇庆市中
广东省肇庆市2014届高三第一次模拟考试数学(理科)试题(....doc
广东省肇庆市2014届高三第一次模拟考试数学(理科)试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。广东省肇庆市 2014 届高三第一次模拟考试(解析版) 数学(理科) 第Ⅰ卷...
【政治】广东省肇庆市2013届高三第一次模拟试题_图文.doc
【政治】广东省肇庆市2013届高三第一次模拟试题 - 广东省肇庆市 2013 届高三第一次模拟试题 一、选择题 24、2013 年 1 月 17 日财政部消息,2013 年春节前,...
广东省肇庆市2013届高中毕业班第一次模拟理科数学试题.doc
广东省肇庆市2013届高中毕业班第一次模拟理科数学试题 - 肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分...
广东省肇庆市2017届高三第二次模拟数学理试题 Word版含....doc
广东省肇庆市2017届高三第次模拟数学理试题 Word版含解析 - 2017 年广东省肇庆市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在...
广东省肇庆市2017届高三第二次模拟数学理试题(解析版).doc
广东省肇庆市2017届高三第次模拟数学理试题(解析版) - 2017 年广东省肇庆市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小...
【2014肇庆一模】广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次....doc
【2014肇庆一模】广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案 - 肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数学(理科)...
广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟理综试题(WORD版).doc
广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟理综试题(WORD版) - 广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟 理科综合试题 可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 O-...
精品解析:【全国市级联考】广东省肇庆市2018届高三第三....doc
精品解析:【全国市级联考】广东省肇庆市2018届高三第次模拟数学(理)试题(解析版) - 肇庆市中小学教学质量评估 2018 届高中毕业班第三次统一检测题 理科数学 ...
广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题.doc
广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题 - 肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第二次模拟试题 数学(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题...
南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试数学试题【解....doc
南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试数学试题【解析版】_数学_高中教育_教育专区。南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试数学试题【解析版】含填空题解析!!...
广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次模拟考试数学理试....doc
广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次模拟考试 ...
广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学理试题 ....doc
广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学理试题 Word版含答案[数理化网] - 肇庆市中小学教学质量评估 20122013 学年第一学期统一检测题 高三数学(理科) ...
精品解析:【全国市级联考】广东省肇庆市2018届高三第三....doc
精品解析:【全国市级联考】广东省肇庆市2018届高三第次模拟数学(理)试题(原
湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学理试题(解....doc
湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学理试题(解析版) - 黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试 数学(理)试卷 解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小...
广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(文)试题 Wor....doc
广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(文)试题 Word版含解析_数学_
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二....doc
届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解) 已知函数...( ) 【答案】A 10. (广东省汕头市第四中学 ...(广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(...
更多相关标签: