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高考数学真题分类汇编 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 理(含解析)


考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 一、选择题 2 1. ( 2013 · 辽宁高考理科· T 12 ) 设函数 f ( x ) 满足 x f ?( x ) ? 2xf (x )? ex e2 ,f (2) ? . x>0 时 ,f(x) 则 x 8 ( ) A. 有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值 B. 有极小值,无极大值 D. 既无极大值也无极小值 【解题指南】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题。 【解析】选 D. 由题意知 f ? ( x) = e x 2 f ( x) e x - 2 x 2 f ( x) , = x3 x x3 令g(x) = e x - 2x 2f (x), 则g '(x) = e x - 2x 2f '(x) - 4xf (x ) = e x - 2( x 2 f ? ( x) + 2 xf ( x)) = ex 2e x 2 = e x (1- ). x x 由 g? ( x) = 0 得 x = 2 ,当 x = 2 时 , g ( x) min = e 2 - 2创22 e2 = 0 8 g ( x) ? 0, x3 ( x) = 即 g ( x) ? 0 , 则当 x > 0 时 , f ? 故 f ( x) 在 (0,+ ∞ ) 上单调递增 , 既无极大值也无极小值 . 2. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 12 )与( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 11 )相同 已知函数 f ( x) ? ? A. (??,0] ?? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是( ln( x ? 1 ), x ? 0 ? B. (??,1] C. [?2,1] ) D. [?2,0] 【解题指南】先结合函数画出函数 y=|f(x)| 的图象,利用 | f ( x) | 在 (0,0) 处的切线为制定参数的标 准. 【解析】选 D. 画出函数 y=|f(x)| 的图象如图所示 , 当 x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? x 2 ? 2 x , g ?( x) ? 2 x ? 2 , g ?(0) ? ?2 ,故 a ? ?2 . 当 x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? ln (x ? 1) , g ?( x) ? 1 x ?1 由于 g ( x) 上任意点的切线斜率都要大于 a ,所以 a ? 0 ,综上 ? 2 ? a ? 0 . 3. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 11 )与 (2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科· T10) 相同 设已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B. 函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C. 若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (?? , x0 )单调递减 D. 若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 【解析】选 C. 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导 . A 项 , 因 为 函 数 f(x) 的 值 域 为 R, 所 以 一 定 存 在 x 0 ∈ R, 使 f(x 0 )=0,A 正 确 .B 项 , 假 设 函 数 f(x)=x +ax +bx+c 的 对 称 中 心 为 (m,n), 按

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