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高考数学真题分类汇编 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 理(含解析)

考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 一、选择题 2 1. ( 2013 · 辽宁高考理科· T 12 ) 设函数 f ( x ) 满足 x f ?( x ) ? 2xf (x )? ex e2 ,f (2) ? . x>0 时 ,f(x) 则 x 8 ( ) A. 有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值 B. 有极小值,无极大值 D. 既无极大值也无极小值 【解题指南】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题。 【解析】选 D. 由题意知 f ? ( x) = e x 2 f ( x) e x - 2 x 2 f ( x) , = x3 x x3 令g(x) = e x - 2x 2f (x), 则g '(x) = e x - 2x 2f '(x) - 4xf (x ) = e x - 2( x 2 f ? ( x) + 2 xf ( x)) = ex 2e x 2 = e x (1- ). x x 由 g? ( x) = 0 得 x = 2 ,当 x = 2 时 , g ( x) min = e 2 - 2创22 e2 = 0 8 g ( x) ? 0, x3 ( x) = 即 g ( x) ? 0 , 则当 x > 0 时 , f ? 故 f ( x) 在 (0,+ ∞ ) 上单调递增 , 既无极大值也无极小值 . 2. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 12 )与( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 11 )相同 已知函数 f ( x) ? ? A. (??,0] ?? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是( ln( x ? 1 ), x ? 0 ? B. (??,1] C. [?2,1] ) D. [?2,0] 【解题指南】先结合函数画出函数 y=|f(x)| 的图象,利用 | f ( x) | 在 (0,0) 处的切线为制定参数的标 准. 【解析】选 D. 画出函数 y=|f(x)| 的图象如图所示 , 当 x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? x 2 ? 2 x , g ?( x) ? 2 x ? 2 , g ?(0) ? ?2 ,故 a ? ?2 . 当 x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? ln (x ? 1) , g ?( x) ? 1 x ?1 由于 g ( x) 上任意点的切线斜率都要大于 a ,所以 a ? 0 ,综上 ? 2 ? a ? 0 . 3. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 11 )与 (2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科· T10) 相同 设已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B. 函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C. 若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (?? , x0 )单调递减 D. 若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 【解析】选 C. 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导 . A 项 , 因 为 函 数 f(x) 的 值 域 为 R, 所 以 一 定 存 在 x 0 ∈ R, 使 f(x 0 )=0,A 正 确 .B 项 , 假 设 函 数 f(x)=x +ax +bx+c 的 对 称 中 心 为 (m,n), 按 向 量 a ? (?m, ?n) 将 函 数 的 图 象 平 移 , 则 所 得 函 数 3 2 ) y=f(x+m)-n 是奇函数 , 所以 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0, 化简得 (3m+a)x +m +am +bm+c-n=0. 上式对 x ∈ R 恒成立 , 故 3m+a=0, 得 m=- 2 3 2 a ? a? 3 2 3 2 ,n=m +am +bm+c=f ? ? ? , 所以函数 f(x)=x +ax +bx+c 的对称中心为 3 3 ? ? ? a ?? 3 , ? ? a ?? f ? ? ? ? , 故 y=f(x) 的图象 是中 心对称图形 ,B 正 确 .C 项 , 由于 f ?( x ) =3x 2+2ax+b 是 二次函 ? 3 ?? 数 ,f(x) 有极小值点 x 0 , 必定有一个极大值点 x 1 , 若 x 1 <x 0 , 则 f(x) 在区间 (- ∞ ,x 0 ) 上不单调递减 ,C 错 误 .D 项 , 若 x 0 是极值点 , 则一定有 f ?( x0 ) ? 0 . 故选 C. 4. ( 2013 · 安徽高考文科· T 10 ) 已知函数 f (x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1 ,x 2 , 若 fx (1 = )x1 x <2 , 则关于 x 的方程 3(f (x )) +2a 的不同实根个数是 f ( x )+ b =0 2 3 2 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6 【解题指南】先求函数的导函数 , 由极值点的定义及题意 , 得出 f(x)=x 1 或 f(x)=x 2 , 再利用数形结合 确定这两个方程实数根的个数 . 2 【解析】选 A 。因为 f '( x) = 3x + 2ax +b ,函数的两个极值点为 x1 , x2 ,所以 f ?( x1 ) ? 0, f ?( x2 ) ? 0 , + 所 以 x1 , x2 是 方 程 3x + 2a x 2 b =0 的 两 根 , 所 以 解 方 程 3 ( f 得 x (2+ ) ) a2 f +x ( =)b 0 f ( x) ? x1或f ( x) ? x2 ,由上述可知函数 f(x) 在 (-∞ ,x1 ),(x2,+ ∞ )上单调递增 ,在 (x1,x2)上单调递 减 . 又

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