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福建省连江县尚德中学2016届高三数学3月模拟检测试题 文


连江尚德中学 2016 届高三 3 月模拟检测(文科)数学试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A ? ? x ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0? , B ? ?x ? 3 ? x ? 0? ,则 A ? B ? (A) ? ??, ?2 ? (B) ? ?2,0 ? (C) ? 0,1? (D) ?1, ?? ?

(2) 若纯虚数 z 满足 i z ? 1 ? ai ,则实数 a ? (A)0 (B) ?1 或 1 (C) ?1 (D)1

(3) 在数列 ?an ? 中, a7 ? 16, an ? (A)

1 an ?1 ? 0 ,则 a2 ? 2
(C)2 (D)4

1 2

(B)1

(4) 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 1 x ,且经过点 ? 4,1? ,则该双曲线的标准方程为
2

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 12

(B)

y 2 x2 ? ?1 3 12

(C)

x2 y 2 ? ?1 12 3

(D)

y 2 x2 ? ?1 12 3

(5) 已知函数 y ? f ? x ? ? x 是偶函数,且 f ? 2 ? ? 1 ,则 f ? ?2 ? ? (A) ?1 (6) 已知 ? (B)1 (C) ?5 (D)5

2 π π ,则 ? 的值为 ? ? ? ,且 sin ? ? cos ? ? 2 2 2
π 12

(A) ?

(B)

π 12

(C) ?

5π 12

(D)

5π 12

(7) 设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a a ? b b 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(8) 执行如图程序框图,如果输入 a ? 4 ,那么输出的 n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(9) 函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? 的部分图像如图所示,则 f ? x ? 的对称轴为

(A)

1 x ? ? ? kπ, k ? Z 4
(B) x ? ? (C) x ? ?

y
1

1 ? 2kπ, k ? Z 4

O

1 4

5 4

x

1 ? k, k ? Z 4

( D)

1 x ? ? ? 2k , k ? Z 4
1

(10)设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F , P 是抛物线上一点,若直线 PF 的倾斜角为 120? ,则 PF ? (A)

8 3

(B)3

(C) 8 或8
3

(D)3 或 8

(11)某几何体的三视图如图所示,则下列数据中不是该几何体的棱长的是 (A) 2 2 (C) 3 2 (B) 17

4

2

2 4

2

(D) 33
1 1

?1 x ? 1, x ? 1, (12)已知函数 f ? x ? ? ? 则方程 f ? x ? ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是 ?4 ? x ? 1, ?ln x,

? 1? (A) ? 0, ? ? e?

?1 1 ? (B) ? , ? ?4 e ?

? 1? (C) ? 0, ? ? 4?

?1 ? (D) ? ,e ? ?4 ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ? 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知 a = ? ?1,3? , b = ?1, t ? ,若 ? a ? 2b ? ? a ,则实数 t ? .

? x ? 2 y ? 2 …0, (14)若实数 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 3 …0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 3, ?



(15)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为 (16)若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 3, S7 ? 28 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ? ?1? ?
n





a2 n ?1 , ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

2

(18)(本小题满分 12 分) 某学校高三年级有学生 500 人,其中男生 300 人,女生 200 人,为了研究学生的数学成绩是否与性别 有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按 性别分为男、 女两组, 再将两组学生的分数分成 5 组: 140,150 ? ?100,110 ?, ?110,120 ?, ?120,130 ?, ?130,140 ?, ? 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人,求两人恰好为一男一女的概率; (Ⅱ)若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”,得到数据如下表:请你根据已知条件完成 下列 2×2 列联表: 数学尖子生 男生 女生 合计 并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? 参考数据:
P( K 2 ? k )
k

非数学尖子生

合计

100

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(19)(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 是正三角形,点 D 是
BC 的中点, BC ? BB1 .

A A1

(Ⅰ)求证: A1C∥ 平面 AB1 D ;
B1

B

D C1

C

(Ⅱ)试在棱 CC1 上找一点 M ,使得 MB ? AB1 ,并说明理由。

3

(20)(本小题满分 12 分) 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的上方. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)过点 M (1, 0) 的直线与圆 C 交于 A, B 两点( A 在 x 轴上方) ,问在 x 轴正半轴上是否存在点 N ,使 得 x 轴平分 ?ANB ?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ln x ? x ? 1 ( a …0 ) 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最小值;

(Ⅱ)若 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在直角 ?ABC 中,AB ? BC ,D 为 BC 边上异于 B, C 的一点, 以 AB 为直径作 ? O , 分别交 AC , AD 于点 E , F . (Ⅰ)证明: C , D, E , F 四点共圆;
O E F B D C A

(Ⅱ)若 D 为 BC 中点,且 AF ? 3, FD ? 1 ,求 AE 的长.

4

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 x?y 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆锥曲线 C 的极坐 标方程为 ? 2 ? 于直线 AF2 . (Ⅰ)求圆锥曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M , N 两点,求 F1M ? F1 N .

12 ,定点 A(0, ? 3) , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点.直线 l 经过点 F1 且平行 3 ? sin 2 ?

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 3 ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? … x ? 8 的解集;

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 的最小值为 5,求 a 的值.

5

参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? ?x ? x ? 1?? x ? 2? ? 0?, B ? ?x ? 3 ? x ? 0? ,则 A ? B ? (A) ? ??, ?2? 【答案】B. 【解析】因为 A ? ? ?2,1? , B ? ? ?3,0 ? ,所以 A ? B ? ? ?2,0? .应选 B. (2)若纯虚数 z 满足 i z ? 1 ? ai ,则实数 a ? (A)0 【答案】A. 【解析】因为 z ?
1 ? ai ? a ? i 为纯虚数,所以 a ? 0 .应选 A. i

(B) ? ?2,0?

(C) ? 0,1?

(D) ?1, ?? ?

(B) ?1 或 1

(C) ?1

(D)1

(3)在数列 ?an ? 中, a7 ? 16, an ? (A)

1 an ?1 ? 0 ,则 a2 ? 2
(C)2 (D)4

1 2

(B)1

【答案】A. 【解析】由已知,

a 1 an ?1 ? .应选 A. ? 2 ,所以 ?an ? 是公比为 2 的等比数列,所以 a2 ? 7 5 2 2 an

1 (4)已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,且经过点 ? 4,1? ,则该双曲线的标准方程为 2

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 12

(B)

y 2 x2 ? ?1 3 12

(C)

x2 y 2 ? ?1 12 3

(D)

y 2 x2 ? ?1 12 3

【答案】C. 【解析】易知

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 , ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,淘汰选项 A、D;将 ? 4,1? 代入选项 B,不 3 12 12 3

满足方程,淘汰选项 B.应选 C.

(5)已知函数 y ? f ? x ? ? x 是偶函数,且 f ? 2? ? 1 ,则 f ? ?2? ? (A) ?1 【答案】D. 【解析】因为函数 y ? f ? x ? ? x 是偶函数,所以 f ? ? x ? ? x ? f ? x ? ? x ,令 x ? 2 得, f ? ?2? ? 2 ? f ? 2? ? 2 , 所以 f ? ?2? ? f ? 2? ? 4 ? 5 .应选 D. (6)已知 ?
2 π π ,则 ? 的值为 ? ? ? ,且 sin ? ? cos ? ? 2 2 2
6

(B)1

(C) ?5

(D)5

(A) ?

π 12

(B)

π 12

(C) ?

5π 12

(D)

5π 12

【答案】A. 【解析】 因为 sin ? ? cos ? ? 所以 ? ?
2 π? 2 π? 1 π π 3π ? ? , 所以 2 sin ? ? ? ? ? , 所以 sin ? ? ? ? ? . 又因为 ? ? ? ? ? , 2 4? 2 4? 2 4 4 4 ? ?

π π π ? ,故 ? ? ? .应选 A. 12 4 6

(7)设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a a ? b b 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】C. 【 解 析 】 因 为 函 数 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x2 , x …0, f ? x? ? x x ? ? 2 在 ?? x , x ? 0

? ??, ?? ?

上 为 增 函 数 , 所 以

a ? b ? f ? a ? ? f ?b ? ? a a ? b b ,即 a ? b 为 a a ? b b 的充要条件.应选 C.
(8)执行如图程序框图,如果输入 a ? 4 ,那么输出的 n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】B. 【解析】已知输入 a 的值为 4,故可列表如下: 初始值 是否满足 P ≤ Q 第1次
0 ? 1 ,满足

第2次
1 ? 3 ,满足

第3次
5 ? 7 ,满足

P ?Q,

终止循 环,输 出 n 值 为 3.

P
Q

0 1 0

0 ? 4 ?1
0

1? 4 ? 5
1

5 ? 4 ? 21
2

2 ?1 ? 1 ? 3
0 ?1 ?1

2?3 ?1 ? 7

2 ? 7 ? 1 ? 15
2 ?1? 3

n

1 ?1 ? 2

由上表可知,应选 B. (9)函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? 的部分图像如图所示,则 f ? x ? 的对称轴为 (A) x ? ? (B) x ? ?

1 ? kπ, k ? Z 4 1 ? 2 kπ , k ? Z 4

y
1

1 (C) x ? ? ? k , k ? Z 4
(D) x ? ?

O

1 4

5 4

x

1 ? 2k , k ? Z 4
7

【答案】C. 【解析】由图可知,

T 5 1 1 1 1 ? ? ? 1 ,故 x ? ? ,即 x ? ? 是 f ? x ? 的一条对称轴.又因为 f ? x ? 每两 4 2 4 4 4 2 T 1 ,所以 f ? x ? 的对称轴为 x ? ? ? k , k ? Z .应选 C. 2 4

相邻的对称轴距离均为

(10)设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F , P 是抛物线上一点,若直线 PF 的倾斜角为 120? ,则 PF ? (A)

8 3

(B)3

8 (C) 或8 3

(D)3 或 8

【答案】C. 【解析】法一、设准线为 l ,l ? x 轴 ? B , PA ? l , A 为垂足,设 P ? x0 , y0 ? .由抛物线定义得, PF ? PA , 所以 ?PAF ? ?PFA.因为 PA∥x 轴,所以 ?AFB ? ?PAF ,
1 (1)当 点 P 在第 一 象限 时 , ?AFB ? ?PFA ? ? ?180? ? 120?? ? 30? . 在 R t? A B F 中 , BF ? 4 , 所以 2
AB ? y0 ? 4 3

,则

2 2 8 16 ? 8 x0 ,解得 x0 ? .所以 PF ? ? 2 ? . 3 3 3 3

1 tA ? B F (2)当点 P 在第四象限时, 在R ?AFB ? ?PFA ? ? 120? ? 60? . 2

中,BF ? 4 , 所以 AB ? y0 ? 4 3 ,

则 (4 3)2 ? 8x0 ,解得 x0 ? 6 .所以 PF ? 6 ? 2 ? 8 .应选 C.
l ? x 轴 ? B, PA ? l , 法二、 设准线为 l , 设 P ? x0 , y0 ? . 过点 P 作 PM ? x 轴于点 M, 则 ?PFM ? 60? , A 为垂足,

所以 | FM |?

1 PF ,由抛物线定义得, PF ? PA 2

3 8 1 3 (1)当点 P 在第一象限时, BF ?| BM | ? | MF |?| PA | ? | PF |? | PF | ,所以? 4 ? | PF |,? | PF |? . 2 3 2 2
1 1 1 (2) 当点 P 在第四象限时, BF ?| BM | ? | MF |?| PA | ? | PF |? | PF | , 所以? 4 ? | PF |,? | PF |? 8. 应选 C. 2 2 2

(11)某几何体的三视图如图所示,则下列数据中不是该几何体的棱长的是 (A) 2 2 (C) 3 2 (B) 17 (D) 33

4

33

2 4 1 1

2

2

4

17 21

4
2 2 2 2 2

【答案】C. 【解析】由三视图可知,该几何体是高为 4,底面是斜边为 4 的等腰直角三角形的三棱锥(如图粗线部分
8

所示) ,通过计算可得 3 2 不是该几何体的棱长.应选 C.

?1 ? x ? 1, x ? 1, (12)已知函数 f ? x ? ? ? 4 则方程 f ? x ? ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是 ? ln x , x ? 1, ?
? 1? (A) ? 0, ? ? e? ?1 1 ? (B) ? , ? ?4 e ? ? 1? (C) ? 0, ? ? 4? ?1 ? (D) ? ,e ? ?4 ?

【答案】B. 【解析】作出 f ? x ? 的图像如右所示,易知函数 y ?
x 与 y ? ln x 相切,结合图像可 e

?1 1 ? 知,当 a ? ? , ? 时,函数 f ? x ? 与直线 y ? ax 有两个交点,即方程 f ? x ? ? ax 恰有 ?4 e ?

两个不同的实根.应选 B.

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ? 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知 a = ? ?1,3? , b = ?1, t ? ,若 ? a ? 2b ? ? a ,则实数 t ? 【答案】2. 【解析】由已知,a ? 2b ? ? ?3,3 ? 2t ? .因为 ? a ? 2b ? ? a ,所以 ? a ? 2b ? ? a ? 3 ? 3 ? 3 ? 2t ? ? 0 ,解得 t ? 2 .应 填 2.
? x ? 2 y ? 2 …0, ? (14)若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 …0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 3, ?





【答案】12. 【解析】 作出可行域如图所示, 由图可知, 当 z ? 2 x ? y 经过点 A ? 3,6? 时, 直线纵截距最大, 此时 z ? 2 x ? y 取得最大值 2 ? 3 ? 6 ? 12 .应填 12.

(15)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为 【答案】 3π .



9

【解析】依题意,该四面体是棱长为 2 的正四面体,将其放置到正方体中考虑(如图所示),其外接球 与正方体的外接球相同.易得正方体的棱长为 1,其体对角线长即为外接球的直径,则

2R ? 3 ,所以该球的表面积为 4πR2 ? 3π .应填 3π .

(16)若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 【答案】
6? 2 . 4



【解析】由正弦定理可得 a ? 2b ? 2c ,所以
a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? ? 2ab a 2 ? b2 ? 1 a ? 2b 4 2ab

?

?

2

?

3a 2 ? 2b 2 ? 2 2ab 2 6ab ? 2 2ab 6? 2 … ? ,当且仅当 8ab 8ab 4

3a ? 2b 时取等号,所以 ? cos C ?min ?

6? 2 6? 2 .应填 . 4 4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 3, S7 ? 28 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ? ?1? ?
n

a2 n ?1 , ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则
?a3 ? a1 ? 2d ? 3, ? ················· 3 分 ? 7?6 S7 ? 7a1 ? d ? 28, ? ? 2

解得 a1 ? 1, d ? 1 , ··························· 4 分 所以 an ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ,即 an ? n . ····················· 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? ? ?1? ?
n

a2 n ?1 , an an ?1

? ? ?1? ?
n

2n ? 1 ···························· 7 分 n ? n ? 1?

1 ? n?1 ? ? ?1? ? ? ? , ·························· 9 分 ? n n ?1?

当 n 为奇数时,
1 ? 1 n?2 ? 1? ?1 1? ?1 Tn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ; ········· 10 分 ? ? ?1 ? n ?1 n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1?

当 n 为偶数时,
10

1 ? 1 n ? 1? ?1 1? ?1 Tn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? . ········· 11 分 ? ? ?1 ? n ?1 n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1?
? n?2 n ? , n为奇数, ? ? ?1? ? 综上, Tn ? ? n ? 1 (或 Tn ? ?1 ? ) ············ 12 分 n ?1 ?? n , n为偶数. ? ? n ?1

(18) (本小题满分 12 分) 某学校高三年级有学生 500 人, 其中男生 300 人, 女生 200 人, 为了研究学生的数学成绩是否与性别有关, 现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名学生, 先统计了他们期中考试的数学分数, 然后按性别分为男、 女两组,再将两组学生的分数分成 5 组: ?100,110? , ?110,120? , ?120,130? , ?130,140? ,?140,150? 分别加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人,求两人恰好为一男一女的概率; (Ⅱ)若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”,得到数据如下表:请你根据已知条件完成 下列 2×2 列联表: 数学尖子生 男生 女生 合计 并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? 参考数据:
P( K 2 ? k )
k

非数学尖子生

合计

100

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【解析】由已知得,抽取的 100 名学生中,男生 60 名,女生 40 名;分数小于等于 110 分的学生中,男生 人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3;女生有 40×0.05=2 (人),记为 B1,B2. · 2 分 从中随机抽取 2 名学生,所有的可能结果为

? A1 , A2 ?,? A1 , A3?,? A1 , B1?,? A1 , B2 ?,?A2 , A3 ?,?A2 , B1?,?A2 , B2 ?,?A3 , B1?, ?A3 , B2 ?, ?B1 , B2 ?
共有 10 种, ······························ 4 分 其中,两名学生恰好为一男一女的可能结果有
11

? A1 , B1? ,? A1 , B2 ?,? A2 , B1?,? A2 , B2 ?,? A3 , B1?,? A3 , B2 ? ,
共有 6 种, ······························ 5 分 故所求的概率 P ?
6 3 ? . ························ 6 分 10 5

(Ⅱ)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名学生中,数学尖子生男生 60×0 .25=15(人),女生 40×0.375=15(人)7 分 据此可得 2×2 列联表如下: 数学尖子生 男生 女生 合计 15 15 30 非数学尖子生 45 25 70 合计 60 40 100

··································· 9 分 假设数学尖子生与性别无关,则
2 K 2 的观测值 k ? 100(15 ? 25 ? 15 ? 45) ? 25 ? 1.79 ············ 11 分 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. · 12 分

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中点, BC ? BB1 . (Ⅰ)求证: A1C∥ 平面 AB1 D ; (Ⅱ)试在棱 CC1 上找一点 M ,使得 MB ? AB1 ,并说明理由.
A A1

B

D C1

C

B1

【解析】 (Ⅰ)连结 A1 B ,交 AB1 于点 O ,连结 OD . ············ 1 分 在 Y ABB1 A1 中, O 为 A1 B 中点. 又因为 D 为 BC 中点,所以 A1C∥OD . ·················· 2 分

? 平面 AB1 D , OD ? 平面 AB1 D , 因为 AC 1
所以 A1C∥ 平面 AB1 D . ························· 4 分 (Ⅱ)当 M 为棱 CC1 中点时, MB ? AB1 ,理由如下: ············ 5 分 因为在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC ? BB1 ,
12

所以四边形 BCC1 B1 为正方形. 因为 M 为棱 CC1 中点, D 是 BC 的中点,易证 ?B1 BD ? ?BCM , ······· 6 分 所以 ?BB1 D ? ?CBM , 又因为 ?BB1 D ? ?BDB1 ? 所以 ?CBM ? ?BDB1 ?
π , 2

π ,故 BM ? B1D . ················ 7 分 2

因为 ?ABC 是正三角形, D 是 BC 的中点, 所以 AD ? BC . 因为平面 ABC ? 平面 BB1C1C , 平面 ABC ? 平面 BB1C1C ? BC , AD ? 平面 ABC , 所以 AD ? 平面 BB1C1C , ························· 9 分 因为 BM ? 平面 BB1C1C , 所以 AD ? BM . 因为 AD ? B1 D ? D , AD, B1 D ? 平面 AB1 D , 所以 BM ? 平面 AB1 D , ························· 11 分 因为 AB1 ? 平面 AB1 D ,所以 MB ? AB1 . ················· 12 分

(20) (本小题满分 12 分) 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的上方. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 M (1, 0) 的直线与圆 C 交于 A, B 两点( A 在 x 轴上方) ,问在 x 轴正半轴上是否存在点 N ,使得 x 轴平分 ?ANB ?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.
5 【解析】 (Ⅰ)设圆心 C (a,0)(a ? ? ) , 2



4a ? 10 5

? 2 ? a ? 0或a ? ?5 (舍去) . ················· 2 分

所以圆 C 的标准方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ··················· 4 分 (Ⅱ)当直线 AB ? x 轴,在 x 轴正半轴上任一点,都可使 x 轴平分 ?ANB ; ·· 5 分 当直线 AB 斜率存在时, 设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) , N (t ,0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ··········· 6 分 联立圆 C 的方程和直线 AB 的方程得,

? x 2 ? y 2 ? 4, ? (k 2 ? 1) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 , ················ 7 分 ? y ? k ( x ? 1) ?
故 x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 4 , ····················· 8 分 , x x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

13

若 x 轴平分 ?ANB ,则 k AN ? ?k BN ?

y1 y k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? 2 ?0? ? ?0 x1 ? t x2 ? t x1 ? t x2 ? t

? 2x1 x2 ? (t ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 ?

2(k 2 ? 4) 2k 2 (t ? 1) ? ? 2t ? 0 ? t ? 4 . k2 ?1 k2 ?1

当点 N 的坐标为 (4, 0) 时,能使得 ?ANM ? ?BNM 成立. ·········· 12 分

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ln x ? x ? 1 ( a …0 ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)若 x ? ?1, ??? , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , ················· 1 分 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? x ? 1 , f ?( x) ? ln x ,················ 2 分 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 1 ;令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 1 , 所以 f ( x) 在 (0,1) 单调递减, (1, ??) 单调递增. ··············· 4 分 所以 f ( x)min ? f (1) ? 0 . ························· 5 分 (Ⅱ) f ?( x) ? a ln x ? a ? 1 ( x ? 1 ) , ··················· 6 分 ① a ? 0 时, f ?( x) ? ?1 ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 单调递减, f ( x) ? f (1) ? 0 恒成立与已知相矛盾. ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? e 所以 f ( x) 的单调减区间是 (0, e
1? a
1? a a
1? a a

7分


1? a a

) ,单调增区间是 (e

, ??) . ········· 9 分

当 e a ? 1 ,即 a …1 时, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增, f ( x) ? f (1) ? 0 恒成立; 当e
1? a a

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (1, e

1? a a

) 单调递减,在 (e

1? a a

, ??) 单调递增,存在 f (e

1? a a

) ? f (1) ? 0 ,与已

知相矛盾. ······························ 11 分 综上,实数 a 的取值范围是 [1, ??) . ··················· 12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在直角 ?ABC 中, AB ? BC , D 为 BC 边上异于 B, C 的一点,以 AB 为直径作 ? O ,分别交 AC , AD
A

于点 E , F . (Ⅰ)证明: C , D, E , F 四点共圆; (Ⅱ)若 D 为 BC 中点,且 AF ? 3, FD ? 1 ,求 AE 的长. 【解析】 (Ⅰ)连结 BF , EF ,则 ?CEF ? ?ABF , ···· 1 分 因为 AB 为直径,所以 ?AFB ? 90? , ········· 2 分
O F B D C E
O F B D C E

A

14

因为 AB ? BC ,所以 ?ABF ? ?ADB , ········ 3 分 所以 ?ADB ? ?CEF , ··············· 4 分 所以 C , D, E , F 四点共圆. ·············· 5 分 (Ⅱ)由已知 BD 为 ? O 的切线,所以 BD2 ? DF ? DA ? 1? ?1 ? 3? ? 4 ,故 BD ? 2 , 所以 AB ? AD2 ? BD2 ? 42 ? 22 ? 2 3 , ················· 7 分 因为 D 为 BC 中点,所以 BC ? 4, AC ?

?2 3?

2

? 42 ? 2 7 . ········· 8 分

因为 C , D, E , F 四点共圆,所以 AE ? AC ? AF ? AD , ············· 9 分 所以 AE ?
AF ? AD 3 ? 4 6 7 . ···················· 10 分 ? ? AC 7 2 7

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 x?y 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆锥曲线 C 的极坐标方 程为 ? 2 ?

12 , 定点 A(0, ? 3) ,F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左、 右焦点. 直线 l 经过点 F1 且平行于直线 AF2 . 3 ? sin 2 ?

(Ⅰ)求圆锥曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M , N 两点,求 F1M ? F1 N . 【解析】 (Ⅰ)圆锥曲线 C 的普通方程为 C :

x2 y 2 ? ? 1 , ·········· 2 分 4 3
? 3?0 ? 3 , ······ 3 分 0 ?1

其焦点为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) ,所以 l 的斜率 k ? k AF2 ?

1 ? x ? ?1 ? t , ? 2 ? 所以直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ············· 5 分 ? y? 3t ? ? 2 1 ? x ? ?1 ? t , ? 2 ? (Ⅱ)将直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) ,代入椭圆方程得: ? y? 3t ? ? 2
5t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ,···························· 7 分

所以, t1t2 ? ?

12 , ··························· 8 分 5 12 . ·················· 10 分 5

所以, F1M ? F1 N ? t1 ? t2 ? t1t2 ?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 3 ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? … x ? 8 的解集;
15

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 的最小值为 5,求 a 的值. 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式 f ? x ? … x ? 8 ,即 x ? 1 ? x ? 3 … x ? 8 ,等价于

x 3, ? x ? ?1, ??1剟 ? x ? 3, 或? 或? ··· 3 分 ? x ? 8, ?? x ? 1? ? ? x ? 3? … x ? 8, ?? x ? 1? ? ? x ? 3? … x ? 8. ?? ? x ? 1? ? ? x ? 3? …
10 . ···················· 4 分 解得 x? ? 2 ,或 x ? ? ,或 x…

所以,原不等式解集为 ? ??, ?2? ? ?10, ?? ? . ················ 5 分 (Ⅱ) f ? x ? ? x ? a ? 3 ? x …? x ? a ? ? ?3 ? x ? ? a ? 3 , ············ 7 分 当且仅当 ? x ? a ?? 3 ? x ?… 0 时取等号. ··················· 8 分 所以 a ? 3 ? 5 ,解得 a ? 2 ,或 a ? ?8 . ·················· 10 分

16


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