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直线的方程与两条直线的位置关系一轮复习课件


第八章
第一节 直线的方程与两条直线的位置关系

泰安二中数学2013年10月8日星期二

基础梳理导学
重点难点 引领方向

重点:1.直线的倾斜角与斜率的概念; 2.直线方程的各种形式及适用条件; 3.两条直线平行与垂直的判定与应用; 4.点到直线的距离、两点间的距离公式. 难点:1.直线方程各种形式适用条件的掌握; 2.含参数的直线位置关系的判定.

夯实基础 稳固根基 1.两点间的距离公式 (1)数轴上任意三点 A、B、C 具有关系 AC=AB+BC. (2)数轴上两点 A、 的坐标为 x1, 2, AB=x2-x1, B x 则 |AB| =|x2-x1|. (3)平面上任意两点 A(x1,y2)、B(x2,y2)间的距离 |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

2.直线的倾斜角与斜率

向上 (1)x 轴正向与直线______的方向所成的角叫做直线
的倾斜角, x 轴平行或重合的直线倾斜角为零度角. 与 因 此,倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180°.

(2)斜率:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切 值叫做这条直线的斜率.倾斜角是 90° 的直线,斜率不存 在. 当直线 l 经过两点 P1(x1, 1), 2(x2, 2)时, x1≠x2, y P y 若

y2-y1 x2-x1 则 l 的斜率 k=_______.

A -B 直线 Ax+By+C=0(B≠0)的斜率 k=______.

3.直线的方向向量 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的一个方向向 → 量为P1P2,其坐标为(x2-x1,y2-y1).当斜率 k 存在时, 一个方向向量的坐标为(1,k).

4.直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解, 那么这个方程 叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.

5.直线方程的各种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1)表示经过点 P1(x1,y1)且 斜率为 k 的直线.特例:y=kx+b 表示过点(0,b)且斜率 为 k 的直线, 其中 b 表示直线在 y 轴上的截距. 该方程叫 做直线方程的斜截式.

y-y1 x-x1 (2)两点式: = (x ≠x2 且 y1≠y2)表示经过 y2-y1 x2-x1 1 x y 两点 P1(x1, 1), 2(x2, 2)的直线. y P y 特例: +b=1(ab≠0), a 其中 a,b 分别表示直线在 x 轴、y 轴上的截距,该方程 叫做直线方程的截距式. (3)一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0).

6.两直线的位置关系 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.

k1=k2 且 b1≠b2 l1∥l2?________________
l1⊥l2?k1·2=____. k -1 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. l1∥l2?A1B2=A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1).

0 l1⊥l2?A1A2+B1B2=__.

7.两条直线的交点 如果两直线 l1 与 l2 相交,则交点的坐标一定是两条 直线方程组成的方程组的解; 反之, 如果两直线方程组成 的方程组只有一个公共解, 那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的交点.

8.有关距离 (1)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |Ax0+By0+C| d= A2+B2 (2)求两平行线 l1、l2 距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离 ②设 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 |C1-C2| 则 l1 与 l2 的距离 d= 2 2. A +B

疑难误区 点拨警示 1.对于直线的倾斜角和斜率要注意以下几点 (1)每一条直线都有惟一的倾斜角,但并不是每一条 直线都存在斜率,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在.所以 在研究直线的有关问题时, 应考虑到斜率存在与不存在这 两种情况,否则会产生漏解.

(2)在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时, 可利用 k=tanα 解.k>0
? π? ?π ? 在 ?0,2? 和 ?2,π? 上都是增函数分别求 ? ? ? ? ?π ? 时,α∈?2,π?;k=0 ? ?

? π? 时,α∈?0,2?;k<0 ? ?

时,α

π =0;k 不存在时,α=2.

2.“截距”与“距离”是两个不同的概念,x 轴上 的截距是直线与 x 轴的交点的横坐标, 轴上的截距是直 y 线与 y 轴的交点的纵坐标, 它们可能是正实数, 也可能是 负实数或零,而距离则是大于或等于零的实数. 3.使用直线方程时,要注意限制条件.如点斜式、 斜截式的使用条件是直线必须存在斜率; .... 截距式使用条件 为两截距都存在且不为零; ... .. ... 两点式使用条件为直线不与坐 ... 标轴垂直. .....

4.判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条 直线中有一条或两条直线均无斜率的情形,在两条直线 l1、l2 的斜率都存在,且不重合的条件下,才有 l1∥l2?k1 =k2 与 l1⊥l2?k1k2=-1. 用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时, A1A2+B1B2=0?两直线垂直,但 A1B2-A2B1=0 与两直 线平行不等价.

A1 B1 A1 B1 C1 用比例关系A ≠B 判断相交,A =B ≠C 判断平行, 2 2 2 2 2 A1 B1 C1 A2=B2=C2判断重合,应用方便,但前提是 A2B2C2≠0, 它们都不是等价条件. 5.应用两平行直线距离公式时,l1、l2 方程中的 x、 y 系数必须对应相同.

思想方法技巧
一、数形结合的思想 解析几何是数形结合的典范,学习解析几何,必须要清 楚常见表达式的几何意义,熟练掌握常见几何图形的几何性 质,养成自觉运用数形结合思想解决问题的习惯. 二、分类讨论思想 在直线的方程中,涉及分类讨论的常见原因有:确定直 线所经过的象限;讨论直线的斜率是否存在;直线是否经过 坐标原点等.

三、对称思想 在许多解析几何问题中,常常涉及中心对称和轴对称的 性质,许多问题,抓住了其对称性质,问题可迎刃而解. 四、直线方程设法 1.直线 l 过定点 P(x0,y0),设直线方程为 y-y0=k(x- x0),注意 x=x0 是否满足. 2.直线 l 与直线 y=kx+b 平行,设 l:y=kx+b1;l 与 1 直线 y=kx+b 垂直,设 l:y=-kx+b1.

3.直线 l1:Ax+By+C=0,直线 l∥l1 时,设 l:Ax+ By+C1=0;l⊥l1 时,设 l:Bx-Ay+C1=0. 4.直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1 与 l2 交于点 P, 过点 P 的直线 l 可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x +B2y+C2)=0(注意不包括直线 l2).

考点典例讲练
直线的倾斜角和直线的斜率

[例 1]

(文)直线 xsinθ+ 3y+2=0(θ∈R)的倾斜角的取

值范围为________.

分析:直线倾斜角的取值范围为[0,π),而这个区间不是 正切函数的单调区间,因此在由斜率的范围求倾斜角的范围 π π 时,一般要按倾斜角分[0, )与( ,π)或按斜率分(-∞,0)与 2 2 [0,+∞)两种情况讨论. 要想求出直线倾斜角的范围,必须先求出直线斜率的范 围.

3 解析:由已知,直线的斜率 k=- sinθ,θ∈R. 3 3 3 所以- 3 ≤k≤ 3 . 3 π 3 当 0≤k≤ 时, 直线的倾斜角 α 满足: 0≤α≤ ; 当- 3 6 3 5π ≤k<0 时,直线的倾斜角 α 满足: 6 ≤α<π.

π 5π ∴直线的倾斜角的取值范围为[0, ]∪[ ,π). 6 6

π 5π 答案:[0,6]∪[ 6 ,π)

(理)设直线 l 的方程为 x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是( A.[0,π)
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ?

)
?π π ? B.?4,2? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4,2?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

π 解析:当 cosθ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ; 2 1 当 cosθ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=-cosθ. ∵cosθ∈[-1,1]且 cosθ≠0, ∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即 tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 α∈[0,π),

?π π? ?π 3π? ∴α∈?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ? ?π 3π? 综上知倾斜角的范围是?4, 4 ?,故选 ? ?

C.

答案:C

(2013· 北大附中河南分校高三年级第四次月考)如果 f ′(x) 是二次函数,且 f ′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3), 那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是 ( ) π A.(0, ] 3 π 2π C.(2, 3 ] π π B.[ , ) 3 2 π D.[3,π)

解析:由题意可设 f ′(x)=a(x-1)2+ 3,(a>0),因此函 数图象上任一点处切线的斜率为 k=f ′(x)=a(x-1)2 + 3 π π ≥ 3,即 tanα≥ 3,所以 ≤α< ,选 B. 3 2

答案:B

直线方程的几种形式

[例 2]

根据所给条件求直线的方程.

10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5.

分析:(1)由倾斜角 α 的正弦值可求斜率 k=tanα. (2)直线在两轴上截距和为 12, 故不过原点, 可设截距式, 代入点的坐标求系数. (3)可设直线的点斜式方程,由条件求斜率 k.

解析:(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜 式. 10 设倾斜角为 α,则 sinα= 10 (0<α<π),

3 10 1 从而 cosα=± 10 ,则 k=tanα=± . 3 1 故所求直线方程为:y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0.

x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a -3 4 从而 a + =1,解得 a=-4 或 a=9. 12-a 故所求直线方程为: 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0.

(3)当斜率不存在时,所求直线方程为:x-5=0; 当斜率存在时 ,设其为 k, 则 即 y-10=k(x-5), kx-y+(10-5k)=0.

|10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k=4. k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

点评:直线方程有多种形式,一般情况下,利用任何一 种形式都可求出直线方程(不满足条件的除外). 但是如果选择 恰当,解答会更加迅速. 本题中的三个小题,依条件分别选择 了三种不同形式的直线方程,应该掌握. 求直线方程时,一方面应依据题设条件灵活选取方程的 形式;另一方面应特别注意直线方程各种形式的适用范围, 即注意分类讨论.

(文)(2011· 海南省琼海市模拟)经过圆 C:(x+1)2+(y-2)2 =4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为( A.x-y+3=0 C.x+y-1=0 B.x-y-3=0 D.x+y+3=0 )

解析:圆心的坐标为(-1,2),所求的直线方程为 y-2=x +1,即 x-y+3=0,故选 A.

答案:A

点评:求直线方程时,一方面应依据题设条件灵活选取 方程的形式;另一方面应特别注意直线方程各种形式的适用 范围,即注意分类讨论.

(理)一条光线沿直线 l 发出,遇直线 l1:x+y-2=0 后被 反射,反射光线 l2 与 4x-2y+3=0 平行且经过点 P(-1,0), 则 l 的方程为________.

解析:设反射光线 l2 方程为 4x-2y+m=0, ∵l2 过点 P(-1,0),∴m=4, ∴l2:2x-y+2=0, ∵l 与 l2 关于直线 l1:x+y-2=0 对称, ∴l 的方程为 2(2-y)-(2-x)+2=0, 即 x-2y+4=0.

答案:x-2y+4=0

两条直线平行与垂直

[例 3]

π 若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax 2 )

+2y+1=0 互相垂直,则实数 a=( A.-2 C.1 B.-1 D.2

π π 分析:曲线 f(x)在 处切线斜率 k=f ′( ),由两直线垂直 2 2 的条件 k1k2=-1 可求出 a.

π 解析:f ′(x)=sinx+xcosx,f ′( )=1,由两直线的位置 2 a 关系可得:-2×1=-1,解得 a=2.

答案:D

(文)(2012· 浙江文,4)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:本题考查了平面中两条直线平行的充要条件,由 a 2 -1 题意知:1=2≠ 4 ,所以 a=1.

答案:C

x+1 (理)(2012· 烟台调研)设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与 x-1 直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( A.2 1 C.-2 B.-2 1 D.2 )

x-1-x-1 -2 解析:∵y′= = ,∴曲线在点(3,2)处 ?x-1?2 ?x-1?2 1 的切线的斜率 k 切=y′|x=3=-2,∵-a· 切=-1,∴a=-2, k 故选 B.

答案:B

两条直线相交

[例 4]

已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且

过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2:x+y-3=0 的交点,则直线 l 的方程为________.

解析:根据条件可设直线 l 的方程为 3x-y-1+λ(x+y- 3)=0,即(3+λ)x+(λ-1)y-3λ-1=0.直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等可分为两种情况. 3-2 1 当直线 l 与 A、B 的连线平行时,因为 kAB= =-2, 3-5 3+λ 1 则可得 =-2,则 λ=-7,此时直线 l 的方程为 x+2y-5 1-λ 5 5 =0;当直线 l 过线段 AB 的中点 M(4, )时,将点 M(4, )代 2 2

5 17 入直线 l 的方程可得 4(3+λ)+ (λ-1)-3λ-1=0, λ=- , 则 2 7 可得直线 l 的方程为 x-6y+11=0. 综上可知所求直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11 =0.
答案:x+2y-5=0 或 x-6y+11=0

直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段的中点为 P(-1,2),求直线 l 的方程.

解析:解法 1:设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0,y0),由已知 条件,得直线 l 与 l2 的交点为 B(-2-x0,4-y0),并且满足
?4x +y +3=0, ? 0 0 ? ?3?-2-x0?-5?4-y0?-5=0, ? ?4x +y +3=0, ? 0 0 即? ?3x0-5y0+31=0, ? ?x =-2, ? 0 解得? ?y0=5, ?

y-2 x-?-1? 因此直线 l 的方程为 = , 5-2 -2-?-1? 即 3x+y+1=0. 解法 2:设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1), 即 kx-y+k+2=0.

?kx-y+k+2=0, ? 由? ?4x+y+3=0, ? ?kx-y+k+2=0, ? 由? ?3x-5y-5=0, ?

-k-5 得 x= . k+4 -5k-15 得 x= . 5k-3

-k-5 -5k-15 则 + =-2,解得 k=-3. k+4 5k-3 因此所求直线方程为 y-2=-3(x+1),即 3x+y+1=0.

点评:两直线 l1、l2 的方程为(4x+y+3)(3x-5y-5)=0 (1),设 l 方程为 y-2=k(x+1)代入(1)中消去 y,由根与系数 关系及 x1+x2=-2,y1+y2=4,求出 k 也可获解,请同学们 认真体会.

点到直线的距离公式

[例 5]

(2011· 苏州模拟)若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别

在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A.2 3 C.3 2 B.3 3 D.4 2 )

分析:由于 A、B 分别为 l1、l2 上的任一点,l1∥l2,∴AB 的中点 M 的轨迹为与 l1 和 l2 平行且到 l1、 距离相等的直线 l, l2 故所求最小值为原点到 l 的距离.

解析: l1 和 l2 平行且距离相等的直线方程为 x+y-6= 与 0,原点到该直线距离 d=3 2,故选 C.

答案:C

已知函数 y=a2x-2(a>0,且 a≠1)的图象恒过点 A,若直 线 l:mx+ny-1=0 经过点 A,则坐标原点 O 到直线 l 的距离 的最大值为________.

解析: 由指数函数的性质可得: 函数 y=a2x 2(a>0, a≠1) 且 的图象恒过点 A(1,1),而 A 在直线 l 上,∴m+n-1=0,即 m 1 1 2 +n=1,由基本不等式可得:m +n ≥2(m+n) =2.当且仅当
2 2



1 m=n=2时等号成立, 1 1 O 到 l 的距离 d= 2 = 2,∴O 到直线 l 的距 2≤ 2 m +n 2 离的最大值为 2.
答案: 2

综合应用

[例 6]

过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x、y 轴正半轴于 A、

B 两点,求|OA|· |OB|取得最小值时直线 l 的方程. 分析:求直线方程应选择适当的形式,本题由题意知可 用截距式也可用点斜式来求.

x y 解析:设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0), a b 由题设|OA|· |OB|=ab, 2 1 ∵P 在 l 上,∴ + =1, a b ∴ab=2b+a≥2 2ab,∴ab≥8, 当且仅当 a=2b 即 a=4,b=2 时取等号. x y 所求直线 l 的方程为4+2=1,即 x+2y-4=0.

点评:要依据求解目标的需要适当选择方程的形式.

一条直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴,y 轴的正半轴于 A、 B 两点,O 为原点,则△AOB 的面积最小时直线 l 的方程为 ________.

x y 解析:设 l: + =1(a,b>0).因为点 P(1,4)在 l 上, a b 1 4 1 4 所以a+b=1.由 1=a+b≥2 1 所以 S△AOB=2ab≥8. 1 4 1 当 = = ,即 a=2,b=8 时取等号. a b 2 故直线 l 的方程为 4x+y-8=0.
答案:4x+y-8=0

4 ab?ab≥16,

课堂巩固训练
一、选择题 1.(文)(2012· 山西四校第一次联考)直线 xsinα+y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π C.[0,4] )

π 3π B.[0,4]∪[ 4 ,π) π π D.[0,4]∪(2,π)

[答案] B

[解析]

设直线的倾斜角为 θ,则有 tanθ=-sinα,其中

π sinα∈[-1,1], ∴tanθ∈[-1,1]. θ∈[0, 所以 0≤θ≤4或 又 π), 3π ≤θ<π. 4

(理)(2011· 河北省藁城市模拟)设 P 为曲线 C:y=x2+2x +3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为[0, π ],则点 P 横坐标的取值范围为( 4 1 A.[-1,-2] C.[0,1] B.[-1,0] 1 D.[ ,1] 2 )

[答案] A

[解析]

设 P(x0,y0),

由 y=x2+2x+3,得 y′=2x+2, 根据导数的几何意义,切线的斜率 k=2x0+2. π 又切线的倾斜角 α 的取值范围为[0,4], ∴k=tanα∈[0,1],即 0≤2x0+2≤1, 1 解得-1≤x0≤-2,故选 A.

2.(2011· 福州市期末)定义:平面内横坐标为整数的点称 为“左整点”. 过函数 y= 9-x2图象上任意两个“左整点” 作直线,则倾斜角大于 45° 的直线条数为( A.10 C.12 B.11 D.13 )

[答案] B

[解析]

依据“左整点”的定义知,函数 y= 9-x2的图

象上共有七个左整点,如图过两个左整点作直线,倾斜角大 于 45° 的直线有:AC、AB、BG、CF、CG、DE、DF、DG、 EF、EG、FG 共 11 条,故选 B.

3. 点(sinθ, cosθ)到直线 xcosθ+ysinθ+1=0 的距离小于 1 ,则 θ 的取值范围是( 2 )

5π π A.(2kπ- 6 ,2kπ-6)(k∈Z) 5π π B.(kπ-12,kπ-12)(k∈Z) 2π π C.(2kπ- 3 ,2kπ-3)(k∈Z) π π D.(kπ-3,kπ-6)(k∈Z) [答案] B

[解析]

由点到直线的距离公式得:

|sinθcosθ+cosθsinθ+1| 1 <2, 2 2 cos θ+sin θ 1 3 1 ∴|sin2θ+1|< ,∴- <sin2θ<- . 2 2 2 5π π ∴2kπ- 6 <2θ<2kπ-6 (k∈Z), 5π π ∴kπ- <θ<kπ- 12 12 (k∈Z),故选 B.

二、解答题 4.(2011· 安徽文,17)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x- 1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.

[解析]

(1)证明:假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行或

重合,则 k1=k2, ∵k1·2+2=0, k
2 ∴k1=-2 不可能,故假设错误,∴l1 与 l2 相交.

?y=k x+1, ? 1 ? (2)联立 ?y=k2x-1, ?

消去 y 得(k2-k1)x=2,

k1+k2 2 ∵k1≠k2,∴x= ,y= k2-k1 k2-k1 k1+k2 2 ∴l1 与 l2 交点 P( , ), k2-k1 k2-k1 2 2 k1+k2 2 ∴2x +y =2×( ) +( ) k2-k1 k2-k1
2 2

2×4+k2+k2+2k1·2 k 1 2 = ?k2-k1?2

4×?-k1·2?+k2+k2+2k1·2 k k 1 2 = ?k2-k1?2 k2+k2-2k1·2 ?k2-k1?2 k 1 2 = = 2 2=1. ?k2-k1? ?k2-k1? 故点 P 在椭圆上, l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上. 即


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2014届数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座:直线的方程与两条直线的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座:...
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2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两条直线的位置关系理_数学_高中教育_...(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-...
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高考数学一轮复习第八章解析几何第讲点与直线、两条直线的位置关系习题解析_...二、填空题 7.(2015·重庆检测)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2...
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2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的 位置关系教师...(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-...
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