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江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年七年级(下)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省南京市鼓楼区七年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分) 1.下列各组图形,可由一个图形平移得到另一个图形的是( A. B. ) D.x5÷x=x5 C. D. )

2.下列运算正确的是( A.x3?x3=2x6

B. (﹣2x2)2=﹣4x4 C. (x3)2=x6 )

3.下列计算正确的是( A.2(a﹣1)=2a﹣1 C. (a+1)2=a2+1

B. (a+b) (b﹣a)=b2﹣a2

D. (﹣a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 )

4.如图,x 的值可能是(

A.11 B.12 C.13 D.14 5.如图,下列说法正确的是( )

A.若 AB∥DC,则∠1=∠2 B.若 AD∥BC,则∠3=∠4 C.若∠1=∠2,则 AB∥DC D.若∠2+∠3+∠A=180°,则 AB∥DC 6.下列代数式符合表中运算关系的是( a b 计算结果 A.ab﹣1 B.a2b﹣1 C.a2b D.a﹣1b2
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) 3 3 3

0.5 0.25 1

二、填空题(本题共 10 小题,每题 2 分,共 20 分) 7.计算:﹣3x?(4y﹣1)的结果为 . .

8. 某球形病毒颗粒直径约为 0.0000001, 将 0.0000001 用科学记数法表示为 9.计算:0.54×25= . . .

10.命题“对顶角相等”的逆命题是 11.若 x+2y﹣3=0,则 2x?4y 的值为

12.如图,∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角,若∠A=120゜.求 ∠1+∠2+∠3+∠4 的度数.

13.若 x2+y2=8,xy=2,则(x﹣y)2=



14.如图,四边形 ABCD 中,点 M、N 分别在 AB、BC 上,将△BMN 沿 MN 翻折, 得△FMN,若 MF∥AD,FN∥DC,则∠D 的度数 .

15.我们都知道“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”,据此,请 你叙述四边形的一个外角与它不相邻的三个内角的数量关系 .

16. EC=2BE, 如图, △ABC 中, 点 E 是 BC 上的一点, 点 D 是 AC 中点, 若 S△ABC=12, 则 S△ADF﹣S△BEF= .

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三、解答题 17.计算 (1)3a?(﹣2a2)+a3 (2) (2﹣3)0﹣( )﹣2+( )2016×(﹣4)2016. 18.计算 (1) (y﹣2x) (x+2y) (2) (a﹣b+1) (a+b﹣1) 19.先化简再求值 (2a+b)2﹣(3a﹣b)2+5a(a﹣b) ,其中 a= ,b= .

20.如图,点 D、E 分别在 AB、BC 上,AF∥BC,DE∥AC.求证:∠1=∠2 请你将证明过程补充完整: 证明:∵AF∥BC, ∴ = (理由是: )

∵DE∥AC ∴ = (理由是: ) )

∴∠1=∠2(理由是:

21.如图,已知三角形 ABC (1)分别画出图中△ABC 的角平分线 AF、中线 BD 和高 CE. (2)根据(1)中的条件,回答下列问题: ①写出图中面积相等的三角形 (不添加其它字母和辅助线) .

②若∠BAC=110°,则∠AFC+∠FCE=

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22.已知:如图,在△ABC 中,∠A=∠ABC,直线 EF 分别交△ABC 的边 AB、AC 和 CB 的延长线于点 D、E、F.求证:∠F+∠FEC=2∠A.

23.通过计算图形的面积,可以获得一些有趣的发现. (1)如图①,在边长为 a+2b 的正方形空地中,有两条宽为 b 且互相垂直的长方 形道路,其余部分是草坪,试用两种不同的方法求草坪的面积; (2)如图②,4 块完全相同的长方形围成一个正方形,用不同的代数式表示图 中阴影部分的面积,由此,你能得到怎样的等式?

24.如果 ac=b,那么我们规定(a,b)=c,例如:因为 23=8,所以(2,8)=3 (1)根据上述规定,填空: (3,27)= , (4,1)= (2,0.25)= ;

(2)记(3,5)=a, (3,6)=b, (3,30)=c.求证:a+b=c. 25.把多边形的某些边向两方延长,其他各边若不全在延长所得直线的同侧,则 把这样的多边形叫做凹多边形,如图(1)四边形 ABCD 中,作 BC 的延长线 CM, 则边 AB、CD 分别在直线 BM 的两侧,所以四边形 ABCD 就是一个凹四边形,我 们来简单研究凹多边形的边和角的性质. (1)请你画一个凹五边形; (2)如图②,在凹六边形 ABCDEF 中,探索∠BCD 与∠A、∠B、∠D、∠E、∠F 之间的关系; (3)如图①,在凹四边形 ABCD 中,证明 AB+AD>BC+CD.

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26.概念学习 已知△ABC,点 P 为其内部一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、△PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形,其内角与△ABC 的三个内角分别相等,那么就称点 P 为△ABC 的等角点. 理解应用 (1)判断以下两个命题是否为真命题,若为真命题,则在相应横线内写 “真”; 反之,则写“假” ①内角分别为 30、60、90 的三角形存在等角点; ②任意的三角形都存在等角点. (2)探究图①中∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系,并说明理由. 解决问题 如图②,在△ABC 中,∠A<∠B<∠C,若△ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该三角形的等角点.求该三角形三个内角的度数.

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2015-2016 学年江苏省南京市鼓楼区七年级(下)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分) 1.下列各组图形,可由一个图形平移得到另一个图形的是( A. B. C. D. )

【考点】生活中的平移现象. 【分析】 根据平移的基本性质, 结合图形, 对选项进行一一分析, 排除错误答案. 【解答】解:A、图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化,符 合平移性质,故正确; B、图形由轴对称所得到,不属于平移,故错误; C、图形由旋转所得到,不属于平移,故错误; D、图形大小不一,大小发生变化,不符合平移性质,故错误. 故选 A.

2.下列运算正确的是( A.x3?x3=2x6

) D.x5÷x=x5

B. (﹣2x2)2=﹣4x4 C. (x3)2=x6

【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】分别根据同底数幂的除法,熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类 项的法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可. 【解答】解:A、原式=x6,故本选项错误; B、原式=4x4,故本选项错误; C、原式=x6,故本选项正确; D、原式=x4,故本选项错误. 故选:C.
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3.下列计算正确的是( A.2(a﹣1)=2a﹣1 C. (a+1)2=a2+1



B. (a+b) (b﹣a)=b2﹣a2

D. (﹣a﹣b)2=a2﹣2ab+b2

【考点】平方差公式;去括号与添括号;完全平方公式. 【分析】原式利用平方差公式,完全平方公式,以及去括号法则计算得到结果, 即可作出判断. 【解答】解:A、原式=2a﹣2,错误; B、原式=b2﹣a2,正确; C、原式=a2+2a+1,错误; D、原式=a2+2ab+b2,错误. 故选 B.

4.如图,x 的值可能是(



A.11 B.12 C.13 D.14 【考点】三角形三边关系. 【分析】在两个三角形中分别利用三角形的三边关系求解即可求得 x 的取值范 围,继而求得答案. 【解答】解:∵两边长分别为 8,9, ∴此时 1<x<17, 又∵两边长分别为 5,18, ∴此时 13<x<23, ∵x 的取值范围为:13<x<17. ∴x 的值可能是 14. 故选 D.
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5.如图,下列说法正确的是(



A.若 AB∥DC,则∠1=∠2 B.若 AD∥BC,则∠3=∠4 C.若∠1=∠2,则 AB∥DC D.若∠2+∠3+∠A=180°,则 AB∥DC 【考点】平行线的判定与性质. 【分析】根据平行线的判定与性质分别进行判定即可. 【解答】解:A、若 AB∥DC,则∠4=∠3,故此选项错误; B、若 AD∥BC,则∠1=∠2,故此选项错误; C、若∠1=∠2,则 AD∥BC,故此选项错误; D、若∠2+∠3+∠A=180°,则 AB∥DC,故此选项正确; 故选:D.

6.下列代数式符合表中运算关系的是( a b 计算结果 A.ab﹣1 B.a2b﹣1 C.a2b D.a﹣1b2 0.5 0.25 1

) 3 3 3

【考点】负整数指数幂. 【分析】把 a、b 的值分别代入选项计算即可解决问题. 【解答】解:当 a=0.5,b=0.25 时,a2b﹣1=0.25× 当 a=3,b=3,时,a2b﹣1=9× =3, 故选 B. =1,

二、填空题(本题共 10 小题,每题 2 分,共 20 分) 7.计算:﹣3x?(4y﹣1)的结果为 ﹣12xy+3x . 【考点】单项式乘多项式.
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【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案. 【解答】解:﹣3x?(4y﹣1)=﹣12xy+3x. 故答案为:﹣12xy+3x.

8.某球形病毒颗粒直径约为 0.0000001,将 0.0000001 用科学记数法表示为 ×10﹣7 .

1

【考点】科学记数法—表示较小的数. 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示, 一般形式为 a×10﹣n, 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂, 指数由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定. 【解答】解:0.0000001=1×10﹣7, 故答案为:1×10﹣7.

9.计算:0.54×25=

2 .

【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】先根据积的乘方的逆运算把 0.54×25 化为(0.5×2)4×2,在求得结果. 【解答】解:0.54×25=(0.5×2)4×2=1×2=2, 故答案为 2.

10.命题“对顶角相等”的逆命题是 【考点】命题与定理.

相等的角为对顶角



【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【解答】解:命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”. 故答案为相等的角为对顶角.

11.若 x+2y﹣3=0,则 2x?4y 的值为 8



【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法. 【分析】根据幂的乘方,可化成同底数幂的乘法,根据同底数幂的乘法,可得答 案.
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【解答】解:2x?4y=2x?22y=2x+2y, x+2y﹣3=0, x+2y=3, 2x?4y=2x+2y=23=8, 故答案为:8.

12.如图,∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角,若∠A=120゜.求 ∠1+∠2+∠3+∠4 的度数.

【考点】多边形内角与外角. 【分析】首先求出与∠A 相邻的外角的度数,然后根据多边形的外角和定理即可 求解. 【解答】解:∵与∠A 相邻的外角的度数是:180﹣120=60°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣60°=300゜.

13.若 x2+y2=8,xy=2,则(x﹣y)2= 【考点】完全平方公式.

4



【分析】直接利用完全平方公式去括号,再将已知代入求出答案. 【解答】解:∵x2+y2=8,xy=2, ∴(x﹣y)2=x2+y2﹣4xy=8﹣4=4. 故答案为:4.

14.如图,四边形 ABCD 中,点 M、N 分别在 AB、BC 上,将△BMN 沿 MN 翻折, 得△FMN,若 MF∥AD,FN∥DC,则∠D 的度数 95° .

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【考点】多边形内角与外角;平行线的性质. 【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=100°,∠FNB=70°,再利用翻折变换 的性质得出∠FMN=∠BMN=50°,∠FNM=∠MNB=35°,进而求出∠B 的度数以及 得出∠D 的度数. 【解答】解:∵MF∥AD,FN∥DC,∠A=100°,∠C=70°, ∴∠BMF=100°,∠FNB=70°, ∵将△BMN 沿 MN 翻折,得△FMN, ∴∠FMN=∠BMN=50°,∠FNM=∠MNB=35°, ∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°, ∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°. 故答案为:95°.

15.我们都知道“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”,据此,请 你叙述四边形的一个外角与它不相邻的三个内角的数量关系 个内角的和减去 180° . 【考点】多边形内角与外角. 【分析】根据邻补角的定义,以及四边形的内角和定理即可证得. 【解答】解:四边形的一个外角与相邻的内角互补,而四个内角的和是 360 度, 则四边形的一个外角等于:与它不相邻的三个内角的和减去 180°. 故答案是:与它不相邻的三个内角的和减去 180°. 与它不相邻的三

16. EC=2BE, 如图, △ABC 中, 点 E 是 BC 上的一点, 点 D 是 AC 中点, 若 S△ABC=12, 则 S△ADF﹣S△BEF= 2 .

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【考点】三角形的面积. 【分析】本题需先分别求出 S△ABD,S△ABE 再根据 S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE 即可求 出结果. 【解答】解:∵点 D 是 AC 的中点, ∴AD= AC, ∵S△ABC=12, ∴S△ABD= S△ABC= ×12=6. ∵EC=2BE,S△ABC=12, ∴S△ABE= S△ABC= ×12=4, ∵S△ABD﹣S△ABE=(S△ADF+S△ABF)﹣(S△ABF+S△BEF)=S△ADF﹣S△BEF, 即 S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2. 故答案为:2.

三、解答题 17.计算 (1)3a?(﹣2a2)+a3 (2) (2﹣3)0﹣( )﹣2+( )2016×(﹣4)2016. 【考点】单项式乘单项式;零指数幂;负整数指数幂. 【分析】 (1)直接利用单项式乘以单项式化简,进而合并同类项求出答案; (2)直接利用零指数幂的性质以及结合积的乘方运算法则化简求出答案. 【解答】解: (1)3a?(﹣2a2)+a3 =﹣6a3+a3 =﹣5a3;
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(2) (2﹣3)0﹣( )﹣2+( )2016×(﹣4)2016 =1﹣4+[ ×(﹣4)]2016 =1﹣4+1 =﹣2.

18.计算 (1) (y﹣2x) (x+2y) (2) (a﹣b+1) (a+b﹣1) 【考点】多项式乘多项式. 【分析】 (1)直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案; (2)利用平方差公式结合完全平方公式求出答案. 【解答】解: (1) (y﹣2x) (x+2y) =xy+2y2﹣2x2﹣4xy =2y2﹣3xy﹣2x2;

(2) (a﹣b+1) (a+b﹣1) =[(a+b)﹣1][a﹣(b﹣1)] =a2﹣(b﹣1)2 =a2﹣b2+2b﹣1.

19.先化简再求值 (2a+b)2﹣(3a﹣b)2+5a(a﹣b) ,其中 a= 【考点】整式的混合运算—化简求值.

,b= .

【分析】 原式前两项利用完全平方公式展开,最后一项利用单项式乘多项式法则 计算,去括号合并得到最简结果,将 a 与 b 的值代入计算即可求出值. 【解答】解:原式=4a2+4ab+b2﹣9a2+6ab﹣b2+5a2﹣5ab=5ab, 当 a= ,b= 时,原式=5× × = .

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20.如图,点 D、E 分别在 AB、BC 上,AF∥BC,DE∥AC.求证:∠1=∠2 请你将证明过程补充完整: 证明:∵AF∥BC, ∴ ∠2 ∵DE∥AC ∴ ∠1 = ∠C (理由是: 两直线平行,同位角相等 ) ) = ∠C (理由是: 两直线平行,内错角相等 )

∴∠1=∠2(理由是: 等量代换

【考点】平行线的性质. 【分析】根据平行线的性质得到∠2=∠C,∠1=∠C,等量代换即可得到结论. 【解答】证明:如图,∵AF∥BC, ∴∠2=∠C(理由是:两直线平行,内错角相等) ∵DE∥AC ∴∠1=∠C(理由是:两直线平行,同位角相等) ∴∠1=∠2(理由是:等量代换) . 故答案为:∠2,∠C,两直线平行,内错角相等,∠1,∠C,两直线平行,同位 角相等,等量代换.

21.如图,已知三角形 ABC (1)分别画出图中△ABC 的角平分线 AF、中线 BD 和高 CE. (2)根据(1)中的条件,回答下列问题:
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①写出图中面积相等的三角形

S△ABD=S△BDC (不添加其它字母和辅助线) 145° .

②若∠BAC=110°,则∠AFC+∠FCE=

【考点】作图—复杂作图;三角形的面积;三角形内角和定理. 【分析】 (1)直接利用三角形的中线、角平分线、高线的定义得出符合题意的图 形; (2)①直接利用中线的性质得出面积相等的三角形; ②利用三角形外角的性质结合三角形内角和定理、角平分线的性质得出答案. 【解答】解: (1)如图所示:角平分线 AF、中线 BD 和高 CE 即为所求;

(2)①∵BD 是△ABC 的中线, ∴S△ABD=S△BDC; ②∵∠BAC=110°, ∴∠EAC=70°,∠BAF=∠FAC=55°,∠ABC+∠ACB=70°, ∴∠ECA=20°, ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF=∠ABF+55°, 则∠AFC+∠FCE=∠ABC+55°+∠ACB+20°=145°. 故答案为:S△ABD=S△BDC;145°.

22.已知:如图,在△ABC 中,∠A=∠ABC,直线 EF 分别交△ABC 的边 AB、AC 和 CB 的延长线于点 D、E、F.求证:∠F+∠FEC=2∠A.

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【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质. 【分析】根据外角的性质,可得出∠FEC=∠A+∠ADE,∠F+∠BDF=∠ABC,再根 据∠A=∠ABC,即可得出答案. 【解答】解:∵∠FEC=∠A+∠ADE, ∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE, ∵∠F+∠BDF=∠ABC﹣∠BDF,∠ADE=∠BDF, ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC, ∵∠A=∠ABC, ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A.

23.通过计算图形的面积,可以获得一些有趣的发现. (1)如图①,在边长为 a+2b 的正方形空地中,有两条宽为 b 且互相垂直的长方 形道路,其余部分是草坪,试用两种不同的方法求草坪的面积; (2)如图②,4 块完全相同的长方形围成一个正方形,用不同的代数式表示图 中阴影部分的面积,由此,你能得到怎样的等式?

【考点】完全平方公式的几何背景. 【分析】 (1)方法一:利用大正方形的面积﹣空白部分的面积=草坪的面积进行 计算; 方法二:利用平移的方法计算草坪的面积; (2)利用面积法进行解答.
2 b﹣ b+b2=a2+2ab+b2; 【解答】 解: (1) 方法一: 草坪的面积= (a+2b) ﹣ (a+2b) (a+2b)

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方法二:草坪的面积=(a+2b﹣b) (a+2b﹣b)=a2+2ab+b2;

(2) (a+b)2=(a﹣b)+4ab.

24.如果 ac=b,那么我们规定(a,b)=c,例如:因为 23=8,所以(2,8)=3 (1)根据上述规定,填空: (3,27)= 3 , (4,1)= 0 (2,0.25)= ﹣2 ;

(2)记(3,5)=a, (3,6)=b, (3,30)=c.求证:a+b=c. 【考点】同底数幂的乘法;有理数的混合运算. 【分析】 (1)根据已知和同底数的幂法则得出即可; (2)根据已知得出 3a=5,3b=6,3c=30,求出 3a×3b=30,即可得出答案. 【解答】解: (1) (3,27)=3, (4,1)=0, (2,0.25)=﹣2, 故答案为:3,0,﹣2;

(2)证明:∵(3,5)=a, (3,6)=b, (3,30)=c, ∴3a=5,3b=6,3c=30, ∴3a×3b=30, ∴3a×3b=3c, ∴a+b=c.

25.把多边形的某些边向两方延长,其他各边若不全在延长所得直线的同侧,则 把这样的多边形叫做凹多边形,如图(1)四边形 ABCD 中,作 BC 的延长线 CM, 则边 AB、CD 分别在直线 BM 的两侧,所以四边形 ABCD 就是一个凹四边形,我 们来简单研究凹多边形的边和角的性质. (1)请你画一个凹五边形; (2)如图②,在凹六边形 ABCDEF 中,探索∠BCD 与∠A、∠B、∠D、∠E、∠F 之间的关系; (3)如图①,在凹四边形 ABCD 中,证明 AB+AD>BC+CD.

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【考点】四边形综合题. 【分析】 (1)直接利用凹五边形的定义分析得出答案; (2)根据题意结合凸多边形的性质得出 540°﹣=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F,进而得 出答案; (3)利用三角形三边关系,再结合不等式的性质进而得出答案. 【解答】解: (1)如图 1 所示:即为凹五边形



(2)如图 2,

连接 BD, 540°, 由多边形内角和定理可得: 五边形 ABDEF 的内角和为: △BCD 的内角和为: 180°, 故 540°﹣=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F, 则 360°+∠BCD=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F;

(3)如图 3,
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设 DA 与直线 BC 的交点为 E, 在△ABE 中,BA+AE>BE, △CED 中,EC+ED>CD, 故 AB+AE+EC+ED>BE+CD 则 AB+AD>BC+CD.

26.概念学习 已知△ABC,点 P 为其内部一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、△PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形,其内角与△ABC 的三个内角分别相等,那么就称点 P 为△ABC 的等角点. 理解应用 (1)判断以下两个命题是否为真命题,若为真命题,则在相应横线内写 “真”; 反之,则写“假” ①内角分别为 30、60、90 的三角形存在等角点; ②任意的三角形都存在等角点. 假 真

(2)探究图①中∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系,并说明理由. 解决问题 如图②,在△ABC 中,∠A<∠B<∠C,若△ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该三角形的等角点.求该三角形三个内角的度数.

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【考点】三角形内角和定理. 【分析】 (1)根据等角点的定义,可知内角分别为 30、60、90 的三角形存在等 角点,而等边三角形不存在等角点,据此判断即可; (2)根据△ABC 中,∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP 以及∠BAC=∠PBC 进行推导, 即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系; (3)先连接 PB,PC,再根据△ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该三角形 的等角点,以及三角形内角和为 180°,得出关于∠A 的方程,求得∠A 的度数即 得出可三角形三个内角的度数. 【解答】解: (1)①内角分别为 30、60、90 的三角形存在等角点是真命题; ②任意的三角形都存在等角点是假命题,如等边三角形不存在等角点; 故答案为:真,假;

(2)如图①,∵在△ABC 中,∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP,∠BAC=∠PBC, ∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP;

(3)如图②,连接 PB,PC ∵P 为△ABC 的角平分线的交点, ∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB, ∵P 为△ABC 的等角点, ∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC﹣2∠PBC=2∠A,∠ACB=∠BCP﹣4∠A, 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠A+2∠A+4∠A=180°, ∴∠A= , , , .

∴该三角形三个内角的度数分别为

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2017 年 3 月 15 日

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