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14届高中毕业班,文数质检


准考证号________________ 姓名________________ (在此卷上答题无效) 保密★启用前

2014 届普通中学高中毕业班单科质量检查


分钟. 注意事项:







本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、?、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ?

第Ⅰ卷(选择题
是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ? R,x ? x ? 3 ? 0” ”的否定是
2

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

A. ?x ? R,x ? x ? 3 ? 0
2

B. ?x ? R,x ? x ? 3 ? 0
2

第 1 页(共 11 页)

C. ?x ? R,x ? x ? 3 ? 0
2

D. ?x ? R,x ? x ? 3 ? 0
2

2.已知集合 M ? x | ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 , P ? ?? 1,0,1,2,3?,则 M I P = A. ?0,1,2? B.

?

?

?? 1,0,1,2?

C.

?? 1,0,2,3?

D. ?0,1,2,3?

3. 已知 100 辆汽车通过某一段公路时, 时速的频率分布直方图如图所示, 则时速在区间 ? 40, 60 ? 内的汽车大约有 A.10 辆 B.30 辆 C.40 辆 D.50 辆 4. 是 成立的 “ 1, x,16成等比数列” “x ? 4” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2 2

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.直线 x ? y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2 y ? 0 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心

r r 6.设向量 a ? (3,3) , b ? (4, ?2) , 则下列结论中正确的是 r r A. | a |?| b |
x

r r a / /b B.

r r a ?b C.

r r b 在 a 方向上的投影等于 2 D.

7.函数 y ? 2 ? 1 的大致图象是

A.

B.
m n

C.

D.

8.若点 (m, n) 在直线 x ? y ? 2 上,则 2 ? 2 的最小值是 A. 2 B. 2 2 C.2 D.4

9.如图给出的是计算 2 ? 4 ? 6 ? L ? 100 的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是 A. i ? 49 B. i ? 49 C. i ? 50 D. i ? 50

第 2 页(共 11 页)

开始 s=0,i=1 否 是 s=s+2i i=i+1 输出s 结束

10 .定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足 : 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? ? 0,1? 时,

f ( x) ? x 2 ,则函数 g ( x) ? 3 f ( x) ? x 在 R 上的零点个数是
A.1 11 .函数 y ? sin x ( x ? ? B.2 C.3 D.4

1

? ? 5? ? )的图象与直线 y ? 1 所围成的平面区域记为 ?1 , 不等式组 , ?2 2 ? ?

x ? 2? ? ? y?0 表示的平面区域为 ? 2 ,在 ?1 内任取一点 P ,则 P 落在 ? 2 内的概率为 ? ?x ? ? y ? ? ? 0 ?
A.

1 ?

B.

1 2?

C.

1 4

D.

1 2

12.美籍匈牙利数学家 G.波利亚(1887—1985)说:回到定义是一项重要的智力活动.解题中, 合理应用定义往往能实现巧解. 已知 F1 , F2 分别为椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右 a 2 b2

y P Q F1 x

焦点,点 P 为椭圆 ? 上除左、右顶点外的任一点.若一动圆 Q 分 别与线段 F1P 的延长线,线段 PF2 , x 轴正半轴都相切,则动 圆的圆心 Q 的轨迹方程是
O

F2

A.

x2 y2 ? ? 1? y ? 0 ? a 2 a 2 ? b2
2 2 2

B.

x2 y2 ? ? 1? y ? 0 ? a 2 a 2 ? b2

C. x ? y ? a

? y ? 0?

D. x ? a ? y ? 0 ?

第 3 页(共 11 页)

第Ⅱ卷(非选择题
13. i 是虚数单位,复数 i(2 ? i) 等于______. 1 ? 2i

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置.
4

14.若角 ? 的终边上有一点 P ? 3, 4 ? ,则 sin ? ? cos ? ? __

7 _______. 5

4 正视图

4 侧视图

15 . 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 表 面 积 等 于 _____ 48 ? 16 2 __. 16 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 同 时 满 足 下 列 条 件 : ① y ? f ( x) 是 二 次 函 数 ; ②
俯视图

f (?2014) ? f ? 2022 ? ; ③ 函 数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) 是 R 上 的 单 调 函 数 ( 其 中 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 ) ,则满足上述要求的函数 f ? x ? 可以是
可) (写出一个即

f

? x? ?

2 ?x ? 8 x ? (c c 为任意实数)(填写其中一种情况即可)

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)某学校高三年共有 500 名同学,在某次数学单元测试中,成绩的频数分布表 如下: 分 数 频 数

? 70,80 ? ?80,90 ? ?90,100 ? ?100,110 ? ?110,120 ? ?120,130 ? ?130,140 ? ?140,150?
10 20 80 170 120 60 20 20

(Ⅰ)用分层抽样的方法从成绩在 ?120,130 ? , ?130,140 ? 和 ?140,150? 的同学中共抽取 5 人,其 中成绩在 ?120,130 ? 的有几人? (Ⅱ)从(Ⅰ)中抽出的 5 人中,任取 2 人,求成绩在 ?120,130 ? 和 ?130,140 ? 中各有 1 人的概率? 解析: (Ⅰ)根据频数分布表,成绩在 ?120,130 ? , ?130,140 ? , ?140,150? 中共有 100 人, 成绩在 ?120,130 ? 的有 60 人, 故用分层抽样的方法抽取成绩在 ?120,130 ? 的人数为 ????2分

60 ? 5 ? 3. 100

????5分

(Ⅱ)从(Ⅰ)中抽出的 5 人中,成绩在 ?120,130 ? 的有 3 名同学,记为 a1, a2 a3 ,
第 4 页(共 11 页)

成绩在 ?130,140 ? 和 ?140,150? 的各有1名同学,分别记为 b 和 c , 则从(Ⅰ)中抽出的 5 人中,任取 2 人的所有情况为

????7分

?a1 , a2 ? , ?a1 , a3? , ?a1 , b? , ?a1 , c? , ?a2 , a3? , ?a2 , b??a2 , c? , ?a3 , b? , ?a3 , c? , ?b, c? ,
共有 10 个基本事件, ????9 分 记事件 A ? 成绩在 ?120,130 ? 和?130,140 ?中各有1人 , 其包含的基本事件有 3 个,分别是 ?a1 , b? , ?a2 , b? , ?a3 , b? , 故 P ( A) ?

?

?

3 . 10

????12 分

18. (本题满分 12 分)图中三角形称为Sierpinski三角形,其中第 n 个三角形中的黑 色 小三角形 的个 . . .... 数为 an ,等差数列 ?bn ? 满足: b1 ? a2 , b4 ? a3 .

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)写出数列 ? an ? 的一个通项公式,并求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n . 解析:(Ⅰ)设等差数列 ?bn ? 的公差为 d ,

Q b1 ? a2 , b4 ? a3 ,? b1 ? 3, b4 ? 9 ,
又 Q b4 ? b1 ? 3d ,? d ? 2 ,

????1分 ????3分 ????5分
n ?1

? bn ? 2n ? 1 ;
(Ⅱ)数列 ? an ? 的一个通项公式为 an ? 3 ,

????7 分

? an ? bn ? 3n?1 ? ? 2n ? 1? ,
? Sn ? ?1 ? 3 ? 32 ? L ? 3n ?1 ? ? ? ?3 ? 5 ? L ? ? 2n ? 1? ? ?

第 5 页(共 11 页)

3n ? 1 2 ? ? n ? 2n . 2
19. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2cos 2 (Ⅰ)求证: f (

????12 分

?
2

x x x , g ( x) ? (sin ? cos ) 2 . 2 2 2

? x) ? g ( x) ;

(Ⅱ)求函数 h ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ( x ? ? 0, ? ? )的单调区间,并求使 h( x ) 取到最小值时 x 的值. 解析: (Ⅰ) Q f ? x ? ? 2cos

x ? 1 ? cos x , 2 x x x x g ( x) ? (sin ? cos )2 ? 1 ? 2sin cos ? 1 ? sin x ,?3 分 2 2 2 2
2

?f( ?x ) ? ? 1 2

?

c o?sx ( ? ? ) x ? 1g x s i,命题得证 n (. ) 2

?

????5 分

(Ⅱ)函数 h ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? cos x ? sin x

? 2(

2 2 cos x ? sin x) 2 2

? 2 cos( x ? ) , 4
由 2 k? ? x ?

?

???7 分

?

4

? 2k? ? ? , k ? Z 解得: 2k? ?

?
4

? x ? 2 k? ?

3? , k ? Z , ???8 分 4

又 x ? ? 0, ? ? ,所以函数 h( x ) 的单调递减区间为 ? 0,

? 3? ? , ? 4 ? ?
???10 分

同理可得:函数 h( x ) 的单调递增区间为 ? 根据函数 h( x ) 的单调性, 可知当 x ?

? 3? ? ,? ? , ? 4 ?

3? 时函数 h( x ) 取到最小 4

值. ???12 分 20. (本题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中, 底 PD ? 平面 ABCD . 面 ABCD 为菱形,用斜二测画法画水平放置的底面 ABCD 的直观图是 如图所示的平行四边形 A1 B1C1 D1 (其中 O?D1 ? O?C1 ) ,

P

E

A1C1 ? 4 2, C1 D1 ? 5 .
(Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)若点 E 在 PC 上,且 PA// 平面 EDB ,试问当侧棱 PD 多长
第 6 页(共 11 页)

D O A B

C

时,才能使得四面体 E ? BDC 的体积等于 3 2 ?

y D D1 A O B
解析: (Ⅰ)连结 AC、BD , AC ? BD ? O , ∵ 平行四边形 ABCD 为菱形, ∴ AC ? BD , ∵ PD ? 平面ABCD ,又 AC ? 平面ABCD , ∴ AC ? PD ,又 PD I BD ? D , ∴ AC ? 平面PBD ,又 PB ? 平面PBD ,

y'

C

x

A1

O' B1

C1

x'

P

E

D


H O

C



AC ? PB
?????5 分

A

B

(Ⅱ)如图连结 OE, BE, DE ,∵ PA / / 平面BDE ,

PA ? 平面PAC , 平面PAC ?平面BDE ? OE , ∴ PA / / OE ,
又∵ O 为 AC 的中点,∴ E 为 PC 的中点, ?????7 分

取 DC 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / PD ,又 PD ? 平面ABCD , ∴ EH ? 平面ABCD ,即 EH 是四面体 E ? BDC 的高. 根据斜二测画法的规则及题设已知条件可以得到:
0 在 ?D1O?C1 中, ?D1O?C1 ? 45 , D1C1 ? 5, O?C1 ? 2 2,

?????8 分

由余弦定理可以解得: O?D1 ? 1 或 O?D1 ? 3 , 又因为 O?D1 ? O?C1 ,所以 O?D1 ? 1 .
第 7 页(共 11 页)

?????9 分

从而,我们可以得到菱形 ABCD 的对角线 DB ? 4 ,而 OC ? 2 2 , ∴ S?BDC ?

1 ? BD ? OC ? 4 2 , 2

?????10 分

依题意,四面体 E ? BDC 的体积为 3 2 ,即 ? EH ? S?BDC ? 3 2 , 求得 EH ?

1 3

9 9 ,故侧棱 PD 的长是 . 4 2

?????12 分

21. (本题满分 12 分)已知点 M 到点 F ?1, 0 ? 和直线 x ? ?1 的距离相等,记点 M 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作相互垂直的两条直线 l1 ,l 2 ,曲线 C 与 l1 交于点 P1 , P2 ,与 l 2 交于点 Q1 , Q2 .证明:

1 1 1 ? ? ; P Q1Q2 4 1P 2
(Ⅲ)圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性. 在(Ⅱ)中,我们得到关于抛物线的一个优美结论. 请你写出关于椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1的一个相类似的结论(不需证明). 4 3

解析: (Ⅰ)因为点 M 到点 F ?1, 0 ? 和直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线定义,可知曲线 C 是抛物线,其中 F ?1, 0 ? 是焦点, 所以曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

?????3 分

(Ⅱ)显然直线 l1 , l 2 的斜率存在且不等于 0, 不妨设 l1 的方程为 y ? k ? x ? 1? ? k ? 0 ? , P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? , 由?

? y2 ? 4x ? 2 2 2 2 得 k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 , ? ? y ? k ? x ? 1?

由韦达定理得: x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 , k2

?????5 分

因为曲线 C 与 l1 交于点 P1 , P2 且 l1 过焦点 F ?1, 0 ? , 所以 P 1P 2 ? x1 ? x2 ? 2 ?

2k 2 ? 4 4k 2 ? 4 ? 2 ? , ?????7 分 k2 k2
第 8 页(共 11 页)

? 1? 4? ? ? ? 4 ? k? 同理可得 Q1Q2 ? ? 4 ? 4k 2 , 2 ? 1? ?? ? ? k?
1 1 k2 1 1 ? ? 2 ? 2 ? . 所以 P Q1Q2 4k ? 4 4k ? 4 4 1P 2
(Ⅲ)若 l1 ,l 2 是过椭圆 ? :

2

?????8 分

?????9 分

x2 y 2 ? ? 1的焦点且相互垂直的两条直线,其中椭圆 ? 与 l1 交 4 3
1 1 7 7 ? ? . (没有指出定值为 扣 1 分) PP Q1Q2 12 12 1 2
?????12 分

于点 P1 , P2 ,与 l 2 交于点 Q1 , Q2 ,则

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 在点 A 1, f ?1? 处切线为 l . (Ⅰ)当切线 l 的斜率为 2 时,求实数 a 的值; (Ⅱ)证明:无论 a 取何值,函数 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的下方(点 A 除外) ; (Ⅲ)设点 Q x0 , f ? x0 ? ,当 x0 ? 1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2 ,试求实数 a 的取值范围. 解析:解法一: (Ⅰ)因为 f ? ? x ? ?

?

?

?

?

1 ?a, x

又因为函数 f ? x ? 在点 A 1, f ?1? 处的切线斜率为 2 , 所以 f ? ?1? ? 2 ,所以 a ? ?1 ; ?????3 分

?

?

(Ⅱ)因为 A ?1, ? a ? , f ? ?1? ? 1 ? a ,所以 l 的方程为: y ? ?1 ? a ? x ? 1 ,?????4 分 令 g ? x? ? f ? x? ? ? ??1 ? a ? x ? 1? ? ? ln x ? x ? 1, 则 g? ? x ? ?

1 1? x ,又因为 x ? 0 , ?1 ? x x

所以当 x ? ? 0,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减, 所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取得最大值 g ?1? ? 0 , 所以 g ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? ? ?1 ? a ? x ? 1 ,
第 9 页(共 11 页)

?????7 分

即函数 f ? x ? 的图象恒在其切线 l 的下方(切点除外) ;?????9 分 (Ⅲ)因为 A 1, f ?1? , Q x0 , f ? x0 ? , 所以 kQA ?

?

?

?

?

f ? x0 ? ? f ?1? x0 ? 1

?

ln x0 ? ax0 ? a ln x0 ? ?a, x0 ? 1 x0 ? 1

所以当 x0 ? 1 时,

ln x0 ln x0 恒成立. ?????11 分 ? a ? 2 ,即 a ? 2 ? x0 ? 1 x0 ? 1

令 h ? x ? ? ln x ? ? x ? 1?? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,

1 ?1 ? 0 , x

所以 h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,即 ln x ? x ? 1,所以当 x ? 1 时, 所以 a ? 2 ? 1,即 a ? ?1 .?????14 分 解法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)因为 A 1, f ?1? , Q x0 , f ? x0 ? , 所以 kQA ?

ln x ?1, x ?1

?

?

?

?

f ? x0 ? ? f ?1? x0 ? 1

?

ln x0 ? ax0 ? a ln x0 ? ?a, x0 ? 1 x0 ? 1

所以当 x0 ? 1 时,

ln x0 ? a ? 2 ,即 ln x0 ? ? a ? 2 ?? x0 ? 1? ? 0 恒成立. ??11 分 x0 ? 1

令 h ? x ? ? ln x ? ? a ? 2 ?? x ? 1?? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 因为 x ? 1 ,所以 0 ?

1 ? ? a ? 2? , x

1 ? 1, x

(ⅰ)当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 ,此时 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增,所 以 h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,不满足题意; (ⅱ)当 ?2 ? a ? ?1 时, 0 ? a ? 2 ? 1,所以当 x ? ?1,

1 ? ? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,当 ? a?2?

1 ? ? 1 ? ? x ?? , ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,所以存在 s ? ?1, ? ,使得 h ? s ? ? h ?1? ? 0 ,不满足题意; ? a?2? ?a?2 ?
(ⅲ)当 a ? ?1 时, a ? 2 ? 1,此时 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,所以
第 10 页(共 11 页)

h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,满足题意;
综上述: a ? ?1 .?????14 分

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