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2016届湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学高三四校联考(理)数学试题 word版

湖南省 2016 届高三四校联考试题 数学(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 P ? x x 2 ? 2 x ? 3 , Q ? x 2 ? x ? 4 ,则 P ? Q ? () A. [3,4) B. ( 2,3] C. (?1,2) D. (?1,3]

?

?

?

?

2.下列命题中,是真命题的是() A. ?x0 ? R, e
x0

?0
2

B. ?x ? R,2 ? x
x

C.已知 a, b 为实数,则 a ? b ? 0 的充要条件是

a ? ?1 b

D.已知 a, b 为实数,则 a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 3.以下四个命题中: ①在回归分析中,可用相关指数 R 的值判断模型的拟合效果, R 越大,模拟的拟合效果越 好;
2 2

其中真命题的个数为() A. B. 2 C. 3 D. 4

4.已知双曲线 C : A. y ? ?

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为() 2 a b 2
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3
2 1

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

5.已知 S1 ?

?

2

1

xdx , S 2 ? ? e x dx , S3 ? ? x 2 dx ,则 S1 , S 2 , S3 的大小关系为()
1

2

A. S1 ? S 2 ? S 3

B. S1 ? S 3 ? S 2

C. S 3 ? S 2 ? S1

D. S 2 ? S 3 ? S1

6.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与

CD 交于点 F 若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ()
A.

1 1 a? b 4 2

B.

1 1 a? b 2 4

C.

7.将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移 的表达式可以是() A. f ( x) ? ?2 sin x

?
4

2 1 a? b 3 3

D.

1 2 a? b 2 3

个单位,得到函数 y ? f ( x) ? cos x 的图象,则 f ( x)

B. f ( x) ? 2 sin x

C. f ( x) ?

2 sin 2 x 2

D. f ( x) ?

2 (sin 2 x ? cos 2 x) 2

8.某程序框图如图所示,现将输出 ( x, y ) 值依次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),? ? ?, ( xn , yn ),? ? ? 若程 序运行中输出的一个数组是 ( x,?10) ,则数组中的 x ? ()

A. 32

B. 24

C. 18

D. 16

9.在直角坐标系中, P 点的坐标为 ( , ) , Q 是第三象限内一点,OQ ? 1 且 ?POQ ? 则 Q 点的横坐标为()

3 4 5 5

3? , 4

A. ?

7 2 10

B. ?

3 2 5

C. ?

7 2 12

D. ?

8 2 13

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

11 3 6

B. 3

C.

5 3 3

D.

4 3 3

11.现定义 e i? ? cos ? ? i sin ? ,其中为虚数单位, e 为自然对数的底数,? ? R ,且实数指
0 数幂的运算性质对 e i? 都适用,若 a ? C5 cos 5 ? ? C52 cos 3 ? sin 2 ? ? C54 cos ? sin 4 ? , 1 3 5 b ? C5 cos 4 ? sin ? ? C5 cos 2 ? sin 3 ? ? C5 sin 4 ? ,那么复数 a ? bi 等于()

A. cos 5? ? i sin 5? C. sin 5? ? i cos 5?

B. cos 5? ? i sin 5? D. sin 5? ? i cos 5?

12.已知函数 f ( x) ? x ? x ln x ,若 k ? Z ,且 k ( x ? 2) ? f ( x) 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的最大值为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1 的一个焦点,则 p ? _____.
2 2 2

y?2 ? ? 14.已知实数 x 、 y 满足 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为______. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
15.若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 在 (0,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是______.
2

16.已知平面四边形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各 边均在此直线的同侧) ,且 AB ? 2 , BC ? 4 ,CD ? 5 , DA ? 3 ,则平面四边形 ABCD 面 积的最大值为______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ?与 ?bn ?满足 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn )(n ? N ? ) . (1)若 a1 ? 1 , bn ? 3n ? 5 ,求数列 ?an ?的通项公式; (2)若 a1 ? 6 , bn ? 2 n (n ? N ? ) 且 ?an ? 2 n ? n ? 2? 对一切 n ? N ? 恒成立,求实数 ? 的 取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90? , BC ? 2 AD , ?PAB 与 ?PAD 都 是等边三角形. (1)证明: PB ? CD ; (2)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) “根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在

20 ~ 80mg / 100mL (不含 80 )之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg / 100mL (含

80 )以上时,属醉酒驾车.” 2015 年“ 7 夕”晚 8 时开始,长沙市交警队在解放路一交通岗前设点,对过往的车辆进行
抽查,经过 4 个小时共查出喝过酒的驾车者 60 名.下图是用酒精测试仪对这 60 名驾车者血 液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图. (1)求这 60 名驾车者中属醉酒驾车的人数; (图中每组包括左端点,不包括右端点) (2)求这 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值; (3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组,第二组,...,第七组,在第 五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为 x 、 y (mg / 100mL) ,则 事件 x ? y ? 10 的概率是多少?

20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 F1 、F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a b
右焦点,A, B 分别是椭圆 E 的左、 右顶点,D (1,0) 为线段 OF2 的中点, 且 AF2 ? 5 BF2 ? 0 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ) ,连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接

MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ .设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且
分别为 k1 、 k 2 .试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ?k 2 ? 0 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若 不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2ax ? bx ? 1)e (e 为自然对数的底数).
2 ?x

(1)若 a ?

1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; 2

(2)若 f (1) ? 1 ,且方程 f ( x) ? 1 在 (0,1) 内有解,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, EP 交圆于 E , C 两点, PD 切圆于 D, G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延 长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F . (1)求证: AB 为圆的直径;

(2)若 AC ? BD ,求证: AB ? ED .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 已知直线的参数方程为 ? ? y ? 3? 1t ? 2 ?
轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ? (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若 P ( x, y ) 是直线与圆面 ? ? 4 sin(? ?

?
6

).

?
6

) 的公共点,求 3 x ? y 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (? n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

湖南省 2016 届高三四校联考试题 数学(理科)参考答案 一、选择题 ADBCB 6.C CAAAB AB

【解析】∵ AC ? a , BD ? b ,∴ AD ? AO ? OD ?

1 1 1 1 AC ? BD ? a ? b , 2 2 2 2

因为 E 是 OD 的中点,∴ ∴ DF ?

DE

1 1 ? ,所以 DF ? AB , EB 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB ? (OB ? OA) ? ? (? BD ? (? AC )) ? AC ? BD ? a ? b , 3 3 3 2 2 6 6 6 6 1 1 1 1 2 1 AF ? AD ? DF ? a ? b ? a ? b ? a ? b .故选 C . 2 2 6 6 3 3
【解析】将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移

7.A

?

y ? cos[2( x ?

?
4

)] ? cos(2 x ?

?
2

4

个单位,得到函数

) ? ? sin 2 x 的图象,因为 ? sin 2 x ? ?2 sin x cos x ,所以

f ( x) ? ?2 sin x .
8.A

n ? 3 ,x ? 2 ,y ? ?2 ; 【解析】 运行第一次, 输出 (1,0) , 运行第二次, 输出 (2,?2) ,

n ? 5 , x ? 4 , y ? ?4 ;运行第三次,输出 (4,?4) , n ? 7 , x ? 8 , y ? ?6 ;运行第四
次,输出 (8,?6) ,n ? 9 , x ? 16 , y ? ?8 ;运行第五次,输出 (16,?8) ,n ? 11 , x ? 32 ,

y ? ?10 ;运行第六次,输出 (32,?10) , n ? 13 , x ? 64 , y ? ?12 .所以选 A .
9.A 【解析】设 ?xOP ? ? ,则 cos ? ?

3 4 , sin ? ? , 5 5

xQ ? cos(? ?
10.B

3? 3 2 4 2 7 2 ) ? ? (? )? ? ?? 4 5 2 5 2 10

【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示,设 E 为 AD 的

中点,则 BE ? AD . PE ? 平面 ABCD , ?PAD 为正三角形,四棱锥的底面是直角梯形,

上底,下底 2 ,高 2 ;棱锥的高为 3 ,∴体积 V ?

1 1 ? [ ? (1 ? 2) ? 2] ? 3 ? 3 ,故选 B. 3 2

11.A

【解析】 ( e i? ? cos ? ? i sin ? 其实为欧拉公式)

0 1 3 5 a ? bi ? C5 cos 5 ? ? C5 cos 4 ? (i sin ? ) ? C52 cos 3 ? sin 2 ? ? C5 cos 2 ? (i sin 3 ? ) ? C54 cos ? sin 4 ? ? C5 (i sin 5 ? )

0 1 3 5 5 ? C5 cos 5 ? ? C5 cos 4 ? (i sin ? ) ? C52 cos 3 ? (i 2 sin 2 ? ) ? C5 cos 2 ? (i 3 sin 3 ? ) ? C54 cos ? (i 4 sin 4 ? ) ? C5 (i sin 5 ?

? (cos ? ? i sin ? ) 5 ? (ei? ) 5 ? ei?5? ? cos 5? ? i sin 5? .
12.B 【解析】先画 f ( x) ? x ? x ln x 的简图, 设 y ? k ( x ? 2) 与 f ( x) ? x ? x ln x 相切于 M (m, f (m))(m ? 2) 所以 f ?( m) ?

f ( m) m ? m ln m ,即 2 ? ln m ? ,可化为 m ? 4 ? 2 ln m ? 0 , m?2 m?2
2 2 3 3

设 g (m) ? m ? 4 ? 2 ln m , 因为 g (e ) ? e ? 8 ? 0 ,g (e ) ? e ? 10 ? 0 , 所以 e 2 ? m ? e 3 ,

f ?(m) ? 2 ? ln m ? (4,5) 又 k ? Z ,所以 k max ? 4 ,选 B.
二、填空题 13. 2 2 【解析】抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线方程是 x ? ?
2 2

p 2 2 ,双曲线 x ? y ? 1 的 2
2 2

一个焦点 F1 (? 2 ,0) , 因为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1 的一个焦 点,所以 ? 14. 7

p ? ? 2 ,解得 p ? 2 2 ,所以答案应填: 2 2 . 2
【解析】作出可行域如图所示:

作直线 l0 : 3 x ? y ? 0 ,再作一组平行于 l0 的直线 l : 3 x ? y ? z ,当直线经过点 M 时,

5 ? ?3 x ? y ? 3 ? 0 5 ?x ? 得: ? z ? 3 x ? y 取得最大值,由 ? 3 ,所以点 M 的坐标为 ( ,2) ,所以 y?2 3 ? ? ?y ? 2
5 z max ? 3 ? ? 2 ? 7 . 3
15. [?4,0] 【解析】∵ f ( x) ? x ? a x ? 2 ,∴ f ( x) ? ?
2

? x 2 ? ax ? 2a, x ? 2
2 ? x ? ax ? 2a, x ? 2



? a ?? 2 ? 2 ? ?4 ? a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 又∵ f ( x) 在 (0,??) 上单调递增,∴ ? a ? ?0 ? 2
[?4,0] .

x 2 ? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5 cos D ? 34 ? 30 cos D ,
即 15 cos D ? 8 cos B ? 7 ①, 又平面四边形 ABCD 面积为 S ? 即 8 sin B ? 15 sin D ? 2 S ②. ①②平方相加得

1 1 1 ? 2 ? 4 sin B ? ? 3 ? 5 sin D ? (8 sin B ? 15 sin D) , 2 2 2

64 ? 225 ? 240(sin B sin D ? cos B cos D) ? 49 ? 4 S 2 ? 240 cos( B ? D) ? 4 S 2 ? 240 ,

当 B ? D ? ? 时, S 取最大值 2 30 . 16.【解析】 (1)因为 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) , bn ? 3n ? 5 , 所以 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) ? 2(3n ? 8 ? 3n ? 5) ? 6 , .............4 分 ..........6 分

所以 ?an ?是等差数列,首项为 a1 ? 1 ,公差为 6 ,即 an ? 6n ? 5 . (2)因为 bn ? 2 n ,所以 an ?1 ? an ? 2(2 n ?1 ? 2 n ) ? 2 n ?1 , 当 n ? 2 时, an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2 n ? 2 n ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? 6 ? 2 n ?1 ? 2 ,

...........8 分 ...........9 分

当 n ? 1 时, a1 ? 6 ,符合上式,所以 an ? 2 n ?1 ? 2 , 由 ?an ? 2 n ? n ? 2? 得

2n ? n 1 n ? ? n ?1 ? ? n ?1 , 2 2 2
n ?1 n 1? n ? n ?1 ? n ?1 ? 0 , n ?1 2 2 2
所以当 n ? 1,2 时,

.................10 分

2n ? n 3 取最大值 , n ?1 2 4
3 4
...............12 分

故 ? 的取值范围为 ( ,??) .

18.【解析】 (1)取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 ADEB 为正方形, 过 P 作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为 O , 连接 OA, OB, OE , OD , ................................2 分

由 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形可知 PA ? PB ? PD , 所以 OA ? OB ? OD , 即点 O 为正方形 ADEB 对角线的交点. .....................4 分

故 OE ? BD ,从而 OE ? 平面 PBD ,所以 OE ? PB , 因为 O 是 BD 的中点, E 是 BC 的中点, 所以 OE ∥ CD ,因此 PB ? CD . (2)由(1)可知, OE , OB, OP 两两垂直. ...................6 分

以 O 为原点, OE 方向为 x 轴正方向, OB 方向为 y 轴正方向, OP 方向为 z 轴正方向,建 立如图所示的直角坐标系 O ? xyz , ....................7 分

设 AB ? 2 ,则 A(? 2 ,0,0) , D (0,? 2 ,0) , P (0,0, 2 ) ,

AD ? ( 2 ,? 2 ,0) , AP ? ( 2 ,0, 2 ) ,
设平面 PAD 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

.......................8 分

n ? AD ? 2 x ? 2 y ? 0 , n ? AP ? 2 x ? 2 z ? 0 ,
取 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 ,即 n ? (1,1,?1) , ....................10 分

因为 OE ? 平面 PBD ,设平面 PBD 的法向量为 m ,取 m ? (1,0,0) , 由图象可知二面角 A ? PD ? B 的大小为锐角, ...................11 分

所以二面角 A ? PD ? B 的余弦值为 cos ? ?

n?m n?m

?

1 3 ? . 3 3

.............12

分 19.【解析】 (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80mg / 100mL (含 80 )以上者, 共有 0.05 ? 60 ? 3 人, .........................3 分

(2)由图知 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值

? 25 ? 0.25 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 85 ? 0.05 ? 47(mg / 100mL)
. ...7 分 ........9 分

(3)第五组和第七组的人分别有: 60 ? 0.1 ? 6 人, 60 ? 0.05 ? 3 人.

x ? y ? 10 即选的两人只能在同一组中.
C62 ? C32 15 ? 3 1 P( x ? y ? 10) ? ? ? . C92 36 2
.................12 分

20.【解析】 (1)∵ AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,∴ AF2 ? 5 F2 B . ∵ a ? c ? 5(a ? c) ,化简得 2a ? 3c , 点 D (1,0) 为线段 OF2 的中点,∴ c ? 2 ,从而 a ? 3, b ? 5 , 左焦点 F1 ( ?2,0) ,故椭圆 E 的方程为 (2)存在满足条件的常数 ? , ? ? ?

x2 y2 ? ? 1. 9 5
4 , 7

............5 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P ( x3 , y3 ), Q ( x4 , y4 ), 则直线 MD 的方程为 x ?

x2 x1 ? 1 y ? 1 ,代入椭圆方程 ? 5 ? 1 ,整理得, 9 y1
.............7 分

5 ? x1 2 x1 ? 1 y ? y ?4 ? 0. y12 y1
∵ y1 ? y3 ?

y1 ( x1 ? 1) 4 y1 .∴ y3 ? , x1 ? 5 x1 ? 5
........8 分

从而 x3 ?

5 x1 ? 9 5 x ? 9 4 y1 ,故点 P ( 1 , ), x1 ? 5 x1 ? 5 x1 ? 5 5 x2 ? 9 4 y 2 , ). x2 ? 5 x2 ? 5

同理,点 Q (

................9 分

∵三点 M , F1 , N 共线,∴

y1 y2 , ? x1 ? 2 x2 ? 2
...............10 分

从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) . 从而

4 y1 4 y2 ? y ? y4 x y ? x y ? 5( y1 ? y2 ) 7( y1 ? y2 ) 7 k1 x ? 5 x2 ? 5 . k2 ? 3 ? 1 ? 1 2 2 1 ? ? x3 ? x4 5 x1 ? 9 ? 5 x2 ? 9 4( x1 ? x2 ) 4( x1 ? x2 ) 4 x1 ? 5 x1 ? 5
..11 分

...

4k 2 4 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? , ? ? ? . 7 7 1 2 ?x 21.【解析】 (1)当 a ? , f ( x) ? ( x ? bx ? 1)e , 2
故 k1 ?

.............12 分

f ?( x) ? ?[ x 2 ? (b ? 2) x ? 1 ? b]e ? x ,

.....1 分 ...........2 分 ......3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 1 ? b .当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

当 b ? 0 , 1 ? b ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , x ? 1 ? b 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 b ? 0 , 1 ? x ? 1 ? b 时, f ?( x) ? 0 , x ? 1 ? b 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以, b ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) ;

b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1 ? b,1) ,递减区间为 (??,1 ? b) , (1,??) ; b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1,1 ? b) ,递减区间为 (??,1) , (1 ? b,??) .
分 (2)由 f (1) ? 1 得 2a ? b ? 1 ? e , b ? e ? 1 ? 2a , 由 f (1) ? 1 得 e x ? 2ax 2 ? bx ? 1 ,设 g ( x) ? e ? 2ax ? bx ? 1 ,
x 2

.....4

则 g ( x) 在 (0,1) 内有零点.设 x0 为 g ( x) 在 (0,1) 内的一个零点,则由 g (0) ? 0, g (1) ? 0 知

g ( x) 在区间 (0, x0 ) 和 ( x0 ,1) 上不可能单调递增,也不可能单调递减,设 h( x) ? g ?( x) ,则 h( x) 在区间 (0, x0 ) 和 ( x0 ,1) 上均存在零点,即 h( x) 在 (0,1) 上至少有两个零
点. ...........5 分

g ?( x) ? e x ? 4ax ? b , h?( x) ? e x ? 4a .
当a ? 点;

1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在区间 (0,1) 上递增, h( x) 不可能有两个及以上零 4
......6 分

当a ? 点; 当

e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在区间 (0,1) 上递减, h( x) 不可能有两个及以上零 4
......7 分

1 e ? a ? 时,令 h?( x) ? 0 得 x ? ln(4a ) ? (0,1) ,所以 h( x) 在区间 (0, ln(4a )) 上递减, 4 4
............8 分 ........9 分

在 (ln(4a ),1) 上递增, h( x) 在区间 (0,1) 上存在最小值 h(ln(4a )) . 若 h( x) 有两个零点,则有: h(ln(4a )) ? 0 , h(0) ? 0 , h(1) ? 0 .

1 e h(ln(4a )) ? 4a ? 4a ln(4a ) ? b ? 6a ? 4a ln(4a ) ? 1 ? e( ? a ? ) 4 4 3 1 设 ? ( x) ? x ? x ln x ? 1 ? e, (1 ? x ? e) ,则 ? ?( x) ? ? ln x ,令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? e . 2 2
当1 ? x ?

e 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 递增,当 e ? x ? e 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 递减,
..........10 分

? ( x) max ? ? ( e ) ? e ? 1 ? e ? 0 ,所以 h(ln(4a)) ? 0 恒成立.
由 h(0) ? 1 ? b ? 2a ? e ? 2 ? 0 , h(1) ? e ? 4a ? b ? 0 ,得 当

e?2 1 ? a ? 时,设 h( x) 的两个零点为 x1 , x2 ,则 g ( x) 在 (0, x1 ) 递增,在 ( x1 , x2 ) 递减, 2 2

e?2 1 ?a? . 2 2

在 ( x2 ,1) 递增,所以 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , g ( x2 ) ? g (1) ? 0 ,则 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点. 综上,实数 a 的取值范围是 (

e?2 1 , ). 2 2

........12 分

22.证明: (1)∵ PG ? PD ,∴ ?PDG ? ?PGD ,∵ PD 为切线,∴

?PDA ? ?DBA . ....2 烦恼
∵ ?PGD ? ?EGA ,∴ ?DBA ? ?EGA ,∴ ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , ∴ ?BDA ? ?PFA , ∵ AF ? EP , ∴ ?PFA ? 90? ,∴ ?BDA ? 90? ,∴ AB 为圆的直径. (2)连接 BC , DC ,∵ AB 为圆的直径, ∴ ?BDA ? ?ACB ? 90? , ................6 分 .......5 分 .............4 分

在 RT?BDA 与 RT?ACB 中, AB ? BA , AC ? BD , ∴ RT?BDA ? RT?ACB ,∴ ?DAB ? ?CBA , ∵ ?DCB ? ?DAB ,∴ ?DCB ? ?CBA , ∴ DC ∥ AB ,∵ AB ? EP ,∴ DC ? EP , .................7 分 ..........8 分

∴ ?DCE 为直角,∴ ED 为圆的直径, ∵ AB 为圆的直径,∴ AB ? ED .

.......9 分 ..........10 分

23.【解析】 (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ? 所以 ? 2 ? 4 ? sin(? ?
2 2 2

?
6

),

?
6

) ? 4? (

3 1 sin ? ? cos ? ) , 2 2

...............2 分

又 ? ? x ? y , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 所以 x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 2 x , 所以圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 3 y ? 0 . (2)解法 1:设 z ? .................5 分

3x ? y ,

故圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 3 y ? 0 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 4 , 所以圆 C 的圆心是 (?1, 3 ) ,半径是 2 ,

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 代入 z ? 3 x ? y 得 z ? ?t , 将? ? y ? 3? 1t ? 2 ?
又直线过 C (?1, 3 ) ,圆 C 的半径是 2 ,所以 ? 2 ? t ? 2 , 所以 ? 2 ? ?t ? 2 ,即 3 x ? y 的取值范围是 [?2,2] . 解法 2: 直线的参数方程化成普通方程为: x ? 3 y ? 2 , 由? .......6 分 ...........10 分

?

x ? 3y ? 2

2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 4

解得 P 1 ( ?1 ? 3 , 3 ? 1) , P 2 ( ?1 ? 3 , 3 ? 1) , ∵ P ( x, y ) 是直线与圆面 ? ? 4 sin(? ?

..............8 分

?
6

) 的公共点,

∴点 P 在线段 P 1P 2 上,∴ 3 x ? y 的最大值是 3 ( ?1 ? 3 ) ? ( 3 ? 1) ? 2 , 最小值是 3 (?1 ? 3 ) ? ( 3 ? 1) ? ?2 ,

∴ 3 x ? y 的取值范围是 [?2,2] .

.........10 分

24.【解析】 (1)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 . ....................5 分

(2)由(1)知 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 1 ,令 ? (n) ? f (n) ? f (? n) ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? 则 ? (n) ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ? 4,? ? n ? , 2 2 ? ? 2 ? 4n, n ? 1 ? 2 ?

.................8 分

∴ ? ( n) 的最小值为 4 ,故实数 m 的取值范围是 [4,??) .

..............10 分