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14.2.3空间直线与直线的位置关系(3)


【第14章 空间直线与平面】 异面直线的所成角 【温故】 1.a,b,c是空间三条直线, 判断下列命题的真假, 说明理由. (1)若a//b, b//c, 则a//c; T (2)若a,b异面, b,c异面, 则a,c异面; (3)若a,b相交, b,c相交, 则a,c相交; F F (4)若a,b共面, b,c共面, 则a,c共面; (5)若a?b, b?c, 则a//c; F F (6)若a//b, b?c, 则a?c; (7)若a,b异面, 则至多有一条直线与a,b都垂直; T F 例题解析 例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求下列 各对异面直线所成的角 (1)AC与B1D1; D1 C1 (2)AC与BC1 (3)A1B与B1D1. A1 B1 (4)BD1与AC D A 主要步骤:①构造平面角; ②证明; ③求角计算. C O B 求异面直线所成的角的一般步骤是: (1)找出或作出有关的图形; [即:一作,二证,三求] (2)证明它符合定义; (3)计算。 根据异面直线所成角的定义,求异面直线所成角, 就是要将其变换成相交直线所成的角。其方法为: 平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平 移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。 例2.空间四边形ABCD中,E,F分别是对 角线BD,AC的中点, (1)若BC=AD=2EF,求直线EF与AD所成 角的大小. (2)若AB=8,CD=6,EF=5,求AB与CD 所成角的大小. A F E B C D 例题解析 例3.在正四面体ABCD(四个面是全等的等边三角形)中, 已知 E、 F 、G分别是棱BC、 AB、AD的中点 A (1)求异面直线AE与BD所成角的大小 (结果用反三角函数表示). G ? D M ?F B ? E C 例题解析 例3.在正四面体ABCD(四个面是全等的等边三角形)中, 已知E、 F 、G分别是棱BC、 AB、AD的中点 (2)求异面直线AE与DF所成角的大小 (结果用反三角函数表示). A G ? D ?F B ? M E C 例题解析 【典型例题】 例4. 正方体ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求异面直线 AC 与BD1 所成的角的大小. D1 A1 B1 “ 补形法 ” C1 E1 F1 D A B C F E 例题解析 【典型例题】 例4. 正方体ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求异面直线 AC 与BD1 所成的角的大小. D1 A1 M C1 B1 D D A O C B 练习: 1.在空间四边形ABCD中, 已知E,F分别是AB,CD边上的中 点, AD?6, BC?8, EF?6, 求异面直线AD与BC所成角 的大小(结果用反三角函数表示). A E D B G F C 练习: 2.在正四面体ABCD中, 已知E,F是棱AB, CD的中点, 求异面 直线AF与CE所成角的大小(结果用反三角函数表示). A E B F D C

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