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高一数学人教A版必修2:3-1-2 两条直线平行与垂直的判定


第三章
直线与方程

第三章

直线与方程

第三章
3.1 直线的倾斜角与斜率

第三章

直线与方程

第三章
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

第三章

直线与方程

课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答

第三章

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3.1.2

课前自主预习

第三章

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3.1.2

温故知新 1.直线的倾斜角与斜率. 当直线倾斜角α≠90° 时,斜率k= tanα .当直线倾斜角α=90° 时,斜率k 不存在 . 直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180°,直线斜率的取值范围是

k∈R .

第三章

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3.1.2

2.在初中平面几何中两条直线平行的定义与判定方法 ①定义:平面内两条直线 没有 公共点,则这两条直线平 行. ②判定方法:(1)同位角 相等 ;(2)内错角 相等 ;(3)同旁内 角 互补 .

第三章

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3.1.2

3.在初中平面几何中两条直线垂直的定义 平面内两条直线相交,而且它们的夹角是 直角,那么这两 条直线垂直.

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3.1.2

4.已知直线l1的斜率为0,且直线l1⊥l2,则直线l2的倾斜 角为( ) B.135° C.90° D.180°

A.0°

[答案] C

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3.1.2

5.直线l1的倾斜角为45° 2∥l1,则l2的倾斜角为 45° , ,l 若l2过点A(2,3),B(-1,y),则y= 0 .

第三章

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3.1.2

新课引入

第三章

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3.1.2

激光是现代新光源,具有方向性好、亮度高、单色性好 等特点,因而被广泛应用,如激光测量等.现在想在同一平 面内发射两束激光,让这两束激光平行或者垂直,将两束激 光看成两条直线我们应如何在坐标系内解决呢?

第三章

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3.1.2

自主预习 阅读教材P86-89,回答下列问题. 1.平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1 ∥l2?k1=k2.

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3.1.2

[破疑点](1)当直线l1∥直线l2时,可能它们的斜率都存在 且相等,也可能斜率都不存在. (2)直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,当k1=k2时,l1∥l2或l1 与l2重合. (3)对于不重合的直线l1,l2,其倾斜角分别为α,β,有l1

∥l2?α=β.

第三章

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3.1.2

下列说法正确的有(

)

①若两直线斜率相等,则两直线平行;②若l1∥l2,则k1 =k2;③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的 斜率存在,则两直线相交;④若两直线斜率都不存在,则两 直线平行. A.1个 C.3个
[答案] A
第三章 3 .1 3.1.2

B.2个 D.4个

[解析] 序号 ① ② 正误 × × 理由 当k1=k2时,l1与l2平行或重合,故①不正确 当l1∥l2时,也可能两直线的斜率均不存在, 故②不正确 两直线的倾斜角不相等,则一定相交,故③ 正确 两直线也可能重合,故④不正确

③ ④

√ ×

第三章

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3.1.2

2.垂直 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的 斜率之积等于 -1 ;如果它们的斜率之积等于-1,那么它们

互相垂直 .

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[破疑点]当直线l1⊥直线l2时,可能它们的斜率都存在且乘 积为定值-1,也可能一条直线的斜率不存在,而另一条直线 的斜率为0;较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和. (1)平行:倾斜角相同,所过的点不同; (2)重合:倾斜角相同,所过的点相同; (3)相交:倾斜角不同; (4)垂直:倾斜角相差90° .

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3.1.2

已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1⊥l2,则 k2=________.

[答案]

1 - 2

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[解析]

∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,又∵k1=2,

1 ∴2k2=-1,∴k2=- . 2

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3.1.2

思路方法技巧

第三章

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命题方向

判断两条直线的平行关系

[例1]

判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:

(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(- 1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0); (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2), N(5,5).

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3.1.2

[解析]

1-?-2? -1-4 5 (1)k1= =1,k2= = , 2-?-1? -1-3 4

∵k1≠k2,∴l1与l2不平行; 2-1 (2)k1=1,k2= =1,∵k1=k2, 2-1 ∴l1∥l2或l1与l2重合. 0-1 0-3 (3)k1= =-1,k2= =-1,k1=k2, 1-0 2-?-1? 显见A,B,N三点不共线,∴l1∥l2. (4)l1与l2都与x轴垂直,∵5≠-3,∴l1∥l2.
第三章 3 .1 3.1.2

已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,- 4),则D点坐标为________.

[答案]

(3,-6)

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3.1.2

[分析] [解析]

利用平行四边形的对边平行确定点D的坐标. 设D(x,y) ∵AB∥CD ∴kAB=kCD

3-1 y+4 ∴ = ,即2x+3y+12=0(1) x -2-1 又∵AD∥BC -4-3 y-1 ∴kBC=kAD,∴ = 0+2 x-1

即7x+2y-9=0(2)
?x=3 ? 由(1)(2)解得? ?y=-6 ?

,∴D点坐标为(3,-6).

第三章

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3.1.2

命题方向

判断两条直线的垂直关系

[例2]

判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直.

(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,- 1),N(2,1); (2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3); (3)l1经过点A(3,4),B(3,100),l2经过点M(-10,40), N(10,40).

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3.1.2

[解析]

2-?-2? 1-?-1? 1 (1)k1= =2,k2= = 2 ,k1k2=1, 1-?-1? 2-?-2?

∴l1与l2不垂直; 3-2 1 (2)k1=-10,k2= =10,k1k2=-1, 20-10 ∴l1⊥l2; (3)∵点A、B的横坐标相同,∴l1⊥x轴; 40-40 ∵k2= =0,∴l2∥x轴,∴l1⊥l2. 10-?-10?

第三章

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3.1.2

已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1), B(1,0),C(3,2),则第四个顶点D的坐标为________.

[答案]

(2,3)

第三章

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3.1.2

[分析]

由长方形的性质知AD⊥CD,AD∥BC,则有

kAD·CD=-1,kAD=kBC,解方程组即可. k

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3.1.2

[解析]

设第四个顶点D的坐标为(x,y),

∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD·CD=-1,且kAD=kBC. k ?y-1 y-2 ? · =-1 ?x-0 x-3 ∴? ?y-1 2-0 ?x-0=3-1 ?
?x=2 ? 解得? ?y=3 ?

∴第四个顶点D的坐标为(2,3).

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3.1.2

[点评]

利用几何图形的性质解题,是一种重要的方法.

第三章

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3.1.2

探索延拓创新

第三章

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3.1.2

命题方向

两条直线平行与垂直的综合应用

[例3]

已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,

若顺次连接ABCD四点,试判定图形ABCD的形状. [分析] 先由图形判断四边形各边的关系,猜测四边形

的形状,再由斜率之间的关系完成证明.

第三章

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3.1.2

[解析]

由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位

置,如下图,

5-3 1 由斜率公式可得kAB= = , 2-?-4? 3

第三章

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3.1.2

0-3 0-3 3-5 1 kCD= = ,k = =-3,kBC= =- -3-6 3 AD -3-?-4? 6-2 1 2. 所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合, 所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行. 1 又因为kAB·AD=3×(-3)=-1, k 所以AB⊥AD, 故四边形ABCD为直角梯形.

第三章

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3.1.2

规律总结:(1)在顶点确定的情况下,确定多边形形状 时,要先画出图形,由图形猜测其形状,为下面证明提供明 确目标. (2)证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,注意排除两 直线重合的情况. (3)判断四边形形状,要依据该四边形的特点,且不会产 生其他情况.

第三章

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3.1.2

建模应用引路

第三章

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3.1.2

[例4]

已知定点A(-1,3),B(4,2),以A、B为直径的端点

作圆与x轴有交点C,求交点C的坐标.

第三章

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3.1.2

[分析]

本题中有三个点A、B、C,由于AB为直径,C为

圆上的点,所以∠ACB=90° ,因此,若斜率存在,则必有 kAC·BC=-1.列出方程求解即可. k

第三章

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3.1.2

[解析]

以线段AB为直径的圆与x轴交点为C,则AC⊥CB.

据题设条件可知AC,BC的斜率均存在.设C(x,0),则kAC= -3 -2 ,k = . x+1 BC x-4 -3 -2 ∴ · =-1.去分母解得x=1或2. x+1 x-4 ∴C(1,0)或C(2,0).

第三章

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3.1.2

总结评述:当AC或BC的斜率不存在时,不满足AC⊥ BC.这是很明显的(上图).故不需对AC或BC斜率不存在的情形 作讨论.

第三章

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3.1.2

名师辨误做答

第三章

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3.1.2

易错点 [例5]

判断两直线位置关系时忽视重合 已知直线l1经过点A(-3,-5),B(0,1),直线l2

经过点C(-1,-1),D(4,9),则l1与l2的位置关系是 ________.

第三章

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3.1.2

[错解]

1+5 ∵直线l1的斜率k1= =2,直线l2的斜率k2= 0+3

9+1 =2,∴k1=k2, 4+1 ∴l1∥l2,故填平行. [错因分析] 当k1=k2时,有l1∥l2或l1与l2重合.

第三章

3 .1

3.1.2

[正解]

1+5 ∵直线l1的斜率k1= =2,直线l2的斜率k2= 0+3

9+1 =2,∴k1=k2, 4+1 -1+5 又kAC= =2,∴k1=k2=kAC, -1+3 ∴l1与l2重合.

[答案]

重合

第三章

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3.1.2

[点评]

已知两直线l1与l2的斜率相等,不能确定它们平

行,还可能重合.此时,可画图来进一步确定,也可以如本 题一样,分别在l1与l2上取两点,求出过这两点直线的斜 率.若这个斜率与k1,k2相等,则l1与l2重合;若这个斜率与 k1,k2不相等,则l1∥l2.

第三章

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3.1.2

课堂基础巩固

第三章

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3.1.2

1.已知直线l1∥l2,直线l2的斜率k2=3,则直线l1的斜率 k1等于( ) B.3 1 D.-3

A.可能不存在 1 C.3

[答案]

B

第三章

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3.1.2

[解析]

∵l1∥l2,∴k1=k2,

又∵k2=3,∴k1=3.

第三章

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3.1.2

2.已知直线l1⊥l2,直线l1的斜率为-2,则直线l2的斜率 为( ) 1 A.- 2 C.2 B.-2 1 D.2
D

[答案]

1 [解析] ∵l1⊥l2,∴(-2)×(2)=-1,故选D.

第三章

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3.1.2

1 3.已知直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2=-2,则l1与 l2 ( ) A.平行 C.重合
[答案]
[解析]

B.垂直 D.异面

B
1 k1=2,k2=- →k1·2=-1→l1⊥l2 k 2

第三章

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3.1.2

4.直线l1的斜率为k1=-3,直线l2的斜率为k2=-3,则l1 与l2( ) A.平行 C.重合
[答案] D

B.垂直 D.平行或重合

第三章

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3.1.2

5.顺次连接A(1,-1),B(2,-1),C(0,1),D(0,0)四点 所组成的图形是________.

[答案]

梯形

第三章

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3.1.2

[解析]

kCB=-1,kAD=-1 ∴AD∥BC

又kAB=0,kCD不存在 ∴ABCD为梯形.

第三章

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3.1.2

6.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5)、N(x,7)、 P(-1,y),若l1⊥l2,则x=______,y=______.

[答案] x=-1;y=7

第三章

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3.1.2

[解析]

1 ∵l1⊥l2,∴l2的斜率为-2

7-5 y-5 1 ∴ = =-2,解得x=-1,y=7. x-3 -1-3

第三章

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3.1.2

7.判断下列各对直线平行还是垂直: (1)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0); (2)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1), N(0,-2); (3)l1经过点A(1,3),B(1,-4),l2经过点M(2,1),N(2,3); (4)l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1),N(2,1).

第三章

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3.1.2

[分析]

先求各直线斜率,若某一直线斜率不存在,再结

合图形判断.

第三章

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[解析]

0-1 3-0 (1)k1= =-1,k2= =-1,∴k1=k2. 1-0 -1-2

3-1 又kAM= =-2≠k1,∴l1∥l2. -1-0

第三章

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3.1.2

2+2 -1+2 1 (2)k1= =2,k2= =-2, 1+1 -2-0 ∴k1k2=-1.∴l1⊥l2. (3)l1的斜率不存在,l2的斜率也不存在,画出图形,如右 图所示,则l1⊥x轴,l2⊥x轴,∴l1∥l2.

第三章

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3.1.2

1-1 (4)l1的斜率不存在,k2= =0,画出图形,如下图所 2-1 示,

则l1⊥x轴,l2⊥y轴,∴l1⊥l2.

第三章

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3.1.2

8.试确定m的值,使过点A(2m,2)、B(-2,3m)的直线与过 点P(1,2)、Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.

第三章

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3.1.2

[解析]

2-3m 2-0 2 (1)l1∥l2,则 = ,解得m=5 2m+2 1+6

2-3m 2-0 9 (2)l1⊥l2,则 · =-1,解得m=-4. 2m+2 1+6

第三章

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3.1.2

课后强化作业(点此链接)

第三章

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