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函数的表示方法


授课主题

函数 2--函数的表示方法 1、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数. 2、了解简单的分段函数,并能简单应用 求解函数的解析式

教学目的

教学重点

教学内容

知识回顾
1.函数与映射的概念 函 两集合 A、B 对应关系 f:A→B 数 映 射

A、B 是两个非空 按照某种确定的对应关 系 f,对于集合 A 中的 一个数 x,在集合 B 中有 的数 f(x)和它对应

A、B 是两个非空 按某一个确定的对应关 系 f,对于集合 A 中的 一个元素 x 在 集合 B 中有 的元素 y 与之对应

记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域

y=f(x),x∈A

对应 f:A→B 是一个映射

在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量, 叫做函数值, (2)函数的三要素: 3.相等函数 如果两个函数的 为相等函数. 4、区间的表示方法 定义 名称 相同,并且 、

叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. 和 .

完全一致,则这两个函数

符号

数轴表示

{x a ? x ? b}

闭区间 开区间 半开半闭区 间 半开半闭区 间 半开半闭区 间 开区间 半开半闭区 间 开区间 开区间

{x a ? x ? b} {x a ? x ? b} {x a ? x ? b} {x x ? a} {x x ? a}
{x x ? b}

{x x ? b}
R

知识全解
知能点一:函数的常用表示方法简介 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种. 1、解析法的概念: 如果函数 y ? f ? x ?? x ? A? 中, f ? x ? 是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表达函数的方 法叫做解析法(公式法) 。 例如, s =60 t 2 , A = ? r 2 , S ? 2? rl , y ? x ? 2( x ? 2) 等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒: 1、解析法的优点:①简明、全面地概括了变量间的关系;②可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值;③便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用 解析法表示的函数。

2、解析法的缺点:①并不是所有的函数都能用解析法表示;②不能直观地观察到函数的变化 规律。 2、列表法: 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如:初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法,如银 行里的利息表,列车时刻表,公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒: 1、列表法的优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常 应用到实际生产和生活中。 2、列表法的缺点:对于自变量的有些取值,从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法: 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法,叫做图像法。 例如:气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图 等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒: 1、图像法的优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得 我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 2、图像法的缺点:不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

知能点二:函数图像 1、判断一个图像是不是函数图像的方法: 要检验一个图形是否是函数的图像,其方法为:任作一条与 x 轴垂直的直线,当该直线保持与

x 轴垂直并左右任意移动时,若与要检验的图像相交,并且交点始终唯一的,那么这个图像就是
函数图像。

例 1:下列图像中,那些可能是函数图像,把你认为正确图像的序号填写在横线上 ③④⑤ 。
y b o

y
x

a

o











x

2、函数图像的作图方法大致分为两种: (1)描点作图法。步骤分三步:列表,描点,连线成图。 (2)图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像,将其进行平移、对成等变换,从而得到我 们所求的函数图像的方法。 3、一次函数和二次函数图像的作法: (1)一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 图像的作法:
? b ? 若 b ? 0 时,在直角坐标平面内分别描出点 ? 0, b ? 、 ? ? , 0 ? ,过这两点连接而成的直线便是该 ? a ?

一次函数的图形;若 b ? 0 时,除描 ? 0, 0 ? 点之外,根据解析式任取一点描出,然后连接即可。 (2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 草图的作法: 首先根据对称轴方程 x ? ?

? b 4ac ? b2 b , 顶点坐标 ? ? , 2a 4a ? 2a

? 分别求出对称轴方程和顶点坐标并 ?, ?

将其作在直角坐标平面内。然后令 ax 2 ? bx ? c ? 0 ,若方程有实根,求出实根并将其对应得点
? ?b ? b 2 ? 4ac ? , 0 ? ,描在坐标平面内;若无实数根可根据二次函数的解析式在对称轴两侧等距 ? ? ? 2 a ? ?

地任找两点并描在坐标平面内。最后用一条光滑的曲线将这三点连接起来即可得到该二次函数 的草图。

知能点三:根据函数图像确定函数的定义域和值域 1、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在 x 轴上的正投影所覆盖的区域; 2、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在 y 轴上的正投影所覆盖的区域;

例 2:根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域

(1)

(2)

(3)

(4)

? 9? 解: (1)定义域为 ??2, ?1,0,1, 2? ;值域是 ??2, ?1, 2? 。 (2)定义域为 ? 0, 2? ;值域是 ? ?2, ? ; ? 8?

(3)定义域为 R ;值域是 R ; (4)定义域为 R ;值域是 ? ?6,6? 。

知能点四:分段函数及其图像

有些函数在它的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常 称为分段函数。
?x ? 如函数 y ? x ? ?0 ?? x ? x?0 x?0 x?0

特别注意: 1、分段函数是一个函数,而不是几个函数; 2、它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义域的哪 个子集,然后再代相应的关系式; 3、分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
? 0 ? 例 1 : 已知 f ( x ) ? ? ? ?x ?1 ?

( x ? 0) ( x ? 0) ,分别求 f ?1? , f ? ?1? , f ? 0 ? , f f ? ? f ? ?1? ? ? 的值。 ( x ? 0)

?

?

答案: f (1) ? 2; f (?1) ? 0; f (0) ? ?; f { f [ f (?1)]} ? ? ? 1;

例 2:作出分段函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图像
I

解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:
?? ( 2 x ? 1) ? 3 y ? x ?1 ? x ? 2 = ? ? 2x ? 1 ?

x ? ?2 ? 2 ? x ?1 x ?1

知能点五:复合函数 如果 y ? f ?u ? , u ? g ? x ? , 那么 y ? f ? 其中 g ? x ? 为内函数,f ? u ? ? g ? x ?? ? 叫做 f 和 g 的复合函数, 为外函数。 例 1 已知 f ? x ? ? x 2 ? 1 解: f ? ? g ? x ?? ??

g ? x? ? x ? 1

求f? ? g ? x ?? ?,g ? ? f ? x ?? ?
2 g? ? f ? x ?? ? ? x ?1 ?1

?

x ?1 ?1 ? x ? 2 x ;

?

2

题型精讲

题型一:判断图像是否为函数图像 1、下列各图中,能作为 y ? f ? x ? 的图象的是(
y y y o x o x o x

C )

(A)

(B)

(C)

(D)

2、设 M ? ? x 0 ? x ? 2? , N ? ? y 0 ? y ? 2? 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的 函数关系的有( B
y 2 1 1 1 0


y 2 1 y 3 2 1 1 22 2 2 x 0 1 2 2 x y 2 1 0 1 2 x 2

1

2 x

0

(A)

(B)

(C)

(D)

题型二:作函数图像 1、画出下列函数的图像

(1) y ? 2x2 ? 3x ? 2 ; (2 ) y ? x ? 3 ? x ? 2

(1)

(2)

跟踪练习: 画出下列函数的图象 (1) y ? x 2 ? 2, x ? Z 且 x ? 2 ;

x ? ?2 ? 3 ? (2) y ? ?? 3x ? 2 ? x ? 2 。 ? ?3 x?2 ?
解:如图所示:

(1) 3、函数 y ? ax2 ? a 与 y ?

(2)
a (a ? 0) 在同一坐标系内的图像可能是( x

D )

(A) 4、函数 f ? x ? ? x ?
x x

(B) 的图像是( C )

(C)

(D)

(A)

(B)

(C)

(D)

y

题型三:用函数图像解题 1、如图,已知函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则满足不等式
f (m ? 2) ? f (3) 的实数 m 的取值范围是
m ? 1或 m ? 5

5 4 3 2 1 ?2 ?1 O 1 2 3 4



x

2、设 x ? ? ??, ??? ,求函数 y ? 2 x ? 1 ? 3 x 的最大值。
?x ? 2 ? 解: y ? 2 x ? 1 ? 3 x ? ? ?5 x ? 2 ?? x ? 2 ? x?0 0 ? x ? 1 ,其图像为 x ?1

由图象可知,当 x ? 0 时, ymax ? 2 。 跟踪练习: 某人开车沿直线旅行,先前进了 a km ,到达目的地后游玩用去了一段时间,由原路返回 b km

? b ? a ? ,再前进 c km ,此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是(
s s s
s

C )

o

t

o

t

o

t

o

t

(A) 题型四:求函数解析式

(B)

(C)

(D)

1、已知所求函数的类型(如:一次、二次函数、反比例函数等) ,求函数的解析式:――待定系 数法 例 1 : 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10, 图象过点(0,3), 求 f ( x) 的解析式. 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ∵图象过点(0,3), ∴有 f(0)=c=3,故 c=3;

又∵ f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10, ∴得对称轴 x =2 且 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2x1 x2 =10,
2 2

即?

b b2 6 ? 2 且 2 ? ? 10 , 2a a a

∴a=1,b=-4,

∴ f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3

2、求复合函数的解析式: (1)已知 f ( x) 的解析式,求 f ? ? g ? x ?? ? 的解析式――代换法 例 2:已知 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ? x ? ? f ( x ? 1) ,求 g ? x ? 的表达式 解: g ( x) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1 ? x 2 ? 2x. (2)已知 f ? ? g ? x ?? ? 的表达式,求 f ( x) 的表达式――换元法( 注意新元的取值范围) 例 3:若 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) 解:令 t= x ? 1 则 x=t 2 ?1, t≥1 1) 3、 构造方程组――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式, 可抓住等式的特征对等式的进行 赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。 例 4: 已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求 f ( x) ;∵已知 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x
x x

代入原式有 f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? 1

(x≥

①, ∴ f ( x) ? 2 x ? 1 .
x

将①中 x 换成

1 得 2 f ( 1 ) ? f ( x) ? 3 x x x

②,①×2-②得 3 f ( x) ? 6 x ? 3
x

4、配凑法---根据具体解析式凑出符合变量的形式,从而求出解析式。 例5 1)已知函数 f ?x? ? x 2 ,求 f ?x ?1? ; 1 1 2)已知函数 f(x+ )=x2+ 2,求 f(x+1); x x 1 (2)法一:(换元法)设 x+ =t(t≥2 或 t≤-2), x

1 则(x+ )2=t2, x 1 ∴x2+ 2=t2-2, x ∴f(t)=t2-2,∴f(x)=x2-2, ∴f(x+1)=(x+1)2-2=x2+2x+1-2 =x2+2x-1(x≥1 或 x≤-3). 1 1 1 法二:(配凑法)∵f(x+ )=x2+ 2=(x+ )2-2, x x x ∴f(x)=x2-2, 故 f(x+1)=(x+1)2-2=x2+2x-1(x≥1 或 x≤-3). 小结:函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意自变量的取值范围. 1 (3)已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如 f(-x)、f( )等, x 要根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). (4)求分段函数的解析式时,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之对应的对应关系.

题型五:分段函数问题

x+2,x≤-1, ? ?2x,-1<x<2, 1、已知 f(x)=? x ? ? 2 ,x≥2,
2

且 f(a)=3,求 a 的值.

(1)①当 a≤-1 时,f(a)=a+2, 由 a+2=3,得 a=1,与 a≤-1 相矛盾,应舍去. ②当-1<a<2 时,f(a)=2a, 3 由 2a=3,得 a= ,满足-1<a<2. 2 a2 ③当 a≥2 时,f(a)= , 2 a2 由 =3,得 a=± 2 又 a≥2,∴a= 6. 6,

3 综上可知,a 的值为 或 2

6.

2、国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g 付 邮资 160 分, 依次类推, 每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为 (单位: 分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

y
400 320

解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 100 ,函数的解析式为

240 160

80
80

20

40

60

100

x

?80, x ? (0,20], ?160, x ? (20,40], ? ? y ? ?240, x ? (40,60], ?320, x ? (60,80], ? ? ?400, x ? (80,100].

这个函数的图象是 5 条线段(不包括左端点) ,都平行于 x 轴,如图所示.

课堂小结

自我检测
一、选择题 1.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以 是图中的( )

解析:由题图可知,A 选项定义域为[-2,0],C 不是函数,D 选项值域不是[0,2],故排除 A、 C、D. 答案:B

1-x 1-x2 2.已知 f( )= ,则 f(x)的解析式可取为( 1+x 1+x2 A. 1+x2 C. 2x 1+x2

)

x

B.-

2x 1+x2

D.-

x
1+x2

1 -x 1-t 解析:设 =t?x= , 1 +x 1+t 1 1-t 1+t 1-t 1+t

2

f(t)=
1

2

2t 2x = 即 f ( x ) = . 1+t2 1+x2

? ?3x+2,x<1, 3、(2010·陕西高考)已知函数 f(x)=? 2 ? ?x +ax,x≥1,

若 f(f(0))=4a,则实数 a=________.

解析:因为 f(0)=3×0+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2.

4、函数 y=

-x2-3x+4 x

的定义域为 B.[-4,0) D.[-4,0)∪(0,1]

(

)

A.[-4,1] C.(0,1] ? ?x≠0 解析:由? 2 ? ?-x -3x+4≥0

得-4≤x<0 或 0<x≤1.

5、函数 f(x)=x2-2x+c 在[-2,2]上的最大值是 A.f(-2) C.f(1) B.f(-1) D.f(2)

(

)

解析:因为二次函数 f(x)的对称轴为 x=1 并且开口向上,所以在区间[-2,2]上的最大值为 f(- 2). 1 6、(2011·潮阳模拟)设函数 f(x)= (x+|x|),则函数 f[f(x)]的值域为________. 2 解析:先去绝对值,当 x≥0 时,f(x)=x,故 f[f(x)]=f(x)=x,当 x<0 时,f(x)=0,故 f[f(x)]=f(0) =0 ,

? ?x x≥0 即 f[f(x)]=? ? ?0 x<0

,易知其值域为[0,+∞).

二、填空题 7.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= 1 1 ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))=________.

f x

解析:由 f(x+2)=

f x

得 f(x+4)=

1

f x+2

=f(x),

所以 f(5)=f(1)=-5, 则 f(f(5))=f(-5)=f(-1)= 1 =- . 1+2 5 1

f

8.若函数 f(x)=

x-4

mx2+4mx+3

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是________.

解析:若 m=0,则 f(x)=

x-4

3 的定义域为 R;若 m≠0,则Δ=16m2-12m<0,得 0<m< , 3 4

3 综上可知,所求的实数 m 的取值范围为[0, ). 4 9.函数 y=|x+2|+ 解析:y=|x+2|+

x-3

2的值域为________. 2=|x+2|+|x-3|

x-3

-2x+1 ? ? 2<x<3 =?5 ? ?2x-1 x≥3

x≤-2

当 x≤-2 时,-2x+1≥-2×(-2)+1=5; 当 x≥3 时,2x-1≥2×3-1=5,∴y≥5.

三、解答题 10.求下列函数的定义域. 3 (1)y=

4x+8 ; 3x-2

(2)y=

x+1+

1 2-x



解:(1)要使函数有意义,必须 3x-2>0, 2 2 即 x> .故所求函数的定义域为{x|x> }. 3 3 (2)要使函数有意义,必须

? ?x+1≥0 ? ? ?2-x≠0

? ?x≥-1, ?? ? ?x≠2,

即 x≥-1 且 x≠2. 故所求函数的定义域为{x|-1≤x<2 或 x>2}. (3)要使函数有意义,必须满足 ? ?-x2+4x-3>0, ? 2 ? ?-x +4x-3≠1,

即 1<x<3 且 x≠2.

故所求函数的定义域为{x|1<x<2 或 2<x<3}.

11.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a<0),不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a= 0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; 解:(1)∵不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3), ∴x=1 和 x=3 是方程 ax2+(b+2)x+c=0(a<0)的两根,

b+2 ? ? a =-4 ∴? c ? ?a=3



∴b=-4a-2,c=3a, 又方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根. ∴Δ=b2-4a(c+6a)=0,

∴4(2a+1)2-4a×9a=0. ∴(5a+1)(1-a)=0, 1 ∴a=- 或 a=1(舍). 5 1 6 3 ∴a=- ,b=- ,c=- , 5 5 5 1 6 3 ∴f(x)=- x2- x- . 5 5 5


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