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高中数学全套教学案3.4基本不等式必修5


3.4.1 基本不等式(1) 【教学目标】 1 学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号 “≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 【教学难点】 基本不等式 ab ? a?b 的证明过程; 2 a?b 等号成立条件 2 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式 ab ? a?b 的几何背景: 2 探究:如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色 的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。 2 合作探究 (1)问题 1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? (教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。 系) 提问 2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三 角形的长为 a 、 b ,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 生答: a 2 ? b 2 , a ? b 2 2 提问 3:那 4 个直角三角形的面积和呢? 生答: 2ab 提问 4:好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等 式, a ? b ? 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢? 2 2 生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即 a ? b 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有 a 2 ? b 2 ? 2ab 2 2 结论: (板书)一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时, 等号成立。 提问 5:你能给出它的证明吗? (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b )2 ,当a ? b时, (a ? b )2 ? 0,当a ? b时, (a ? b )2 ? 0, 所以 a 2 ? b 2 ? 2ab 2 2 注意强调 当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab (2)特别地,如果 a ? 0,b ? 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a ? b ? 2 ab ,也可写成 ab ? a ?b (a ? 0, b ? 0) ,引导学生利用不等式的性质推导 2 ① (板书,请学生上台板演): a ?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2 a ?b ? 即证 a ?b ? 要证②,只要证 要证: 要证③,只要证 ( - ?0 ) 2 ② ③ ?0 ④ 显然, ④是成立的,当且仅当 a ? b 时, ④的等号成立 (3)观察图形 3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ab ? a?b 2 探究:课本中的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE, 连接 AD、 BD。 你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 何解释吗? a?b 的 2 几 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD =CA·CB 2 即CD= ab . 这个圆的半径为 a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ?

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