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教案高等数学


高等数学教案
(公共基础类理工科专业适用)

一元函数微积分

§5.2.3 不定积分的分部积分法



省 南

校 高

字 数

学 教

源 资

心 中

2 . 58

3 5 0.

4 2 .2

2011 年 11 月

5.2.3

分部积分法
授课计划

(一) 章节 教学 目的 要求

第 5 章第二节——基本积分法——分部积分法 1、推导分部积分公式; 2、会用分部积分公式求积分; 3、能把分部积分法和换元法结合起来求不定积分。 教学重点: 1、 分部公式的建立; 2、 分部积分法使用过程; 3、 分部积分法使用的积分技巧; 4、 分部积分公式的使用类型。 教学难点: 1、 灵活地运用分部积分法求不定积分; 2、 分部积分法与换元法的结合使用。

教学 重点 难点



省 南
思考 与训 练 下一 单元 预习 内容 要求

当被积函数是三个不同类型的函数的乘积时如何用分部积分 公式?

校 高
?

字 数

学 教

源 资

心 中

作业:练习册不定积分的分部积分法部分。 预习: 5.3

2 . 58

x a r c ta n x ln (1 ? x ) d x

3 5 0.
2

4 2 .2

几类特殊函数的积分方法和技巧 1、有理函数的积分; 2、三角函数有理式的积分; 3、简单无理函数的积分

注:两小节课(即一次课)为一单元

(二) 授课内容与方法 授课主要内容
教学过程

分部积分法
【复习引入】 (回顾不定积分已学的内容,说明本次课的内容的重要性) 求下列不定积分:
1 . ? s in xd x ; 2 . ? s in
5

由第 1 小题强 调基本积分公 式的重要性, 第 2 小题复习 上节课的“凑

x c o s xd x ;

3 . ? x c o s xd x .

微分法“,第

解: 1 . ? s in xd x ? ? c o s x ? C ; 2 . ? s in x c o s xd x ? 3 .? x c o s x d x ?
5

? s in

5

xd ( s in x ) ?

? x d ( s in

x) ? ?

【讲授与训练】

一、 基本定理



省 南
? udv

设函数 u ? u ( x ) 及 v ? v ( x ) 具有连续导数,那么两个函数

乘 积 的 微 分 公 式 为 : d (u v ) ? u d v ? v d u , 移 项 得
udv ? uv ? vdu ,

校 高 58

字 数

学 教
6 s in

1

6

x ? C;

源 资

3 小题不能由 已有的知识解 该用什么方

心 中

决。 提出疑问: 法? (3 分钟)

对这个等式两边求不定积分? 得
? uv ?

0 2 .

3 5 .
? uv ?

4 2 .2

黑板上板书第 3 小题,引导 学生思考两个 函数乘积的微 分公式,得出 被积表达式刚 好是微分公式 中的一项,从 而引出基本定 理。从基本公

? v d u , 或 ? u v ?d x

? u ?v d x .

式的形式得出 用分部积分公 式的两个原 则,由第 3 小 题的计算过程 得出不定积分

定理:设函数 u ? u ( x ) 和 v ? v ( x ) 在区间 I 上可微,若函 数 u ( x ) v ? ( x ) 在区间 I 上积分存在,则

? udv

? uv ?

? v d u , 或 ? u v ?d x

? uv ?

? u ?v d x .

公式的使用过 程“一微入二 交换三微出” 。 (7 分钟)

这个公式称为分部积分公式。

二、举例应用
例 1:求下列不定积分
(1)
例 1 的三个例 子从不同类型 的函数乘积的 不定积分出 发,引导学生 思考:选取哪 个因子入微分 号是正确使用
(2) 1 4
1 4

? xe
?

x

dx;
x

(2)
x

?x

3

ln x d x ;
x x

(3)

? x a rc ta n x d x .
x

(1 )

xe dx ? ? xde

? xe

?

?e

dx ? xe

? e

x

? C;

?

x ln x d x ?

3

?
4

ln x d x

4

?

1 4
3

x ln x ?

4

1 4

?

x ?

4

1 x

分部积分公式
dx

的关键。并由 这三个小题和 复习引入的第 我们的口诀: 反对不要碰, 三指动一动。 这个规律一定 要给学生解释 透。 (10 分钟)

??????? ???? ????? ????? ???? ? ?

x ln x ?

1 4

?

x dx ?

1 4

x ln x ?

4

1 16

x ? C

4

?

( 3 ) ? x a r c ta n x d x ?
?

1 2
1 2
1

? a r c ta n
2

xdx

2

x a r c ta n x ?



省 南
?
x

校 高
?
2

2

x a r c ta n x ?

字 数
1

? 2
?

学 教
x ?
2

源 资

3 小题,得出

心 中

1

1

由复习引入的第三小题和前面的三个例子,总结出积分因子

入微分号的一般规律:反对不要碰,三指动一动.
x 例 2:求 ? e sin xdx ?

5

0 2 8.
2
x

?

1

x a r c ta n x ?

2

3 5 .
1 2 x? 1 2

2

(1 ?

a r c ta n x ? C

4 2 .2
1 1? x
2

1? x

2

dx

)d x

例 2 给出了指 数函数和三角 函数乘积的类
x

解:因为
e s in x d x ? ? ? e d (c o s x ) ? ? e c o s x ?
? ? e cos x ?
? ? e cos x ?
x

? cos xd (e )

x

型,指出不管 从哪个因子入 微都可以得出 结果。并引导 学生观察例 2 出现了积分的

x

?
?

e cos xdx
e d (s in x )
x

x

? ? e c o s x ? e s in x ?

x

x

? s in x d ( e
?

x

)

“复原” , 强调 “积分号消失 加常数” 。 (3 分钟)

? e x sin x ? e x cos x ? ? e x sin xdx

所以

?e

x

sin xdx ?

1 2

e x (sin x ? cos x ) ? C

?

例 3 求积分 ? a r c c o s

xdx
例 3 引导学生 观察基本初等 函数的积分类 型,并强调分 部积分法与换 元法的结合使 用是求不定积 分常用的方 法。 (4 分钟)

解: ? arccos xdx ? x arccos x ? ? xd arccos x
? x arccos x ? ? x 1 1? x
2
2

dx
1 2d

? x arccos x ?

1 2

? (1 ? x

)

?

? x arccos

x ? 1? x 2 ? C

例4

求?e

解 令 x ?t 2 ? 则 ? dx?2tdt? 于是



省 南
?e
x

dx ? 2 ? te t dt ? 2 e t (t ? 1) ? C ? 2 e

校 高
? sec
n

x

dx

?

字 数
x

学 教
?

(1 ? x )

2

源 资

心 中

例 5:设 I

n

?

58
n

xdx

?

. 0 .2
n?2

. 53
I n?2
2

4 2 2

例 4 先用第二 类换元法,再 使用分部积分 法。 (3 分钟)

( x ? 1) ? C

证明递推公式 I 证明: I n
?

?

1 n ?1
n

sec

x ? ta n x ?
n?2

n?2 n ?1

(n ? 2)
n?2

例 5 给出了分 部积分的另外 一种类型:递

? sec
n?2 n?2

xdx ?

? sec

x ? sec xdx ?
n?2

? sec

x d ta n x

推公式。强调 从要证明的公 式中去分析被 积函数的等价 变形。 (4 分钟)

? sec ? sec
? sec

x ta n x ? ( n ? 2 ) ? s e c x ta n x ? ( n ? 2 ) ? s e c

x ta n

2

xdx
2

n?2

x (s e c x ? 1) d x

n?2

x ta n x ? ( n ? 2 ) I n ? ( n ? 2 ) I n ? 2

.

所以

In ?

1 n ?1

sec

n?2

x ? ta n x ?

n?2 n ?1

I n?2

(n ? 2)

例 6 指出:如
例6 解: 已 知 f ( x )的 一 个 原 函 数 是 cos x x ,求

?

x f ? ( x )d x .

果 先 求 f(x) 的导数代入被 积函数,积不 出来!所以先 使用分部积分 公式更简便! (3 分钟)

?

x f ?( x )d x ? cos x x )? ?

?

xdf ( x ) ? xf ( x ) ?

?

f ( x )d x cos x x ? C.

? x(

cos x x

? C ? ? s in x ? 2

应用:工程师们发现,一个新开发的天然气井 t 月的总产量 P (单位: 1 0 m )的变化率为 试求总产量 P=P(t)?
3 3

P ? ( t ) ? 0 .0 8 4 9 te

思路:在导数的两边去不定积分,用分部积分公式积出来,注 意初值条件。



省 南
三、小结

校 高 58
?

字 数
??或 ? udv

学 教
? 0 .0 2 t

源 资

心 中

一个与我们生 活密切相关的 天然气产量的 应用题让学生 明白分部积分 法在我们的生 活中处处存 在!并从函数 的表达式提醒 学生珍惜资 源, 不要浪费! (5 分钟)

,

分部积分公式: ? u v ?dx
1. 使用原则:1. v

? uv ? ? u ?vdx

. 0 .2

. 53

4 2 2
.

? uv ? ? vdu

内容小结:回 顾本堂课的内 容,强调分部 积分公式的使 用步骤和使用 技巧,布置作 业,预习下单 元课程。 (3 分钟)

易求出,2. ? u ?vd x

易计算;

2. 使用过程:一 v 入,二交换,三微出; 3. 使用技巧:反对不要碰,三指动一动。

【思考与训练】 如何求积分:
x a r c ta n x ln (1 ? x ) d x
2


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