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2013年高考数学第一轮复习单元第17讲 空间几何体的表面积和体积


2013 年高考数学第一轮复习单元
第 17 讲
一. 【课标要求】
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。

空间几何体的表面积和体积

二. 【命题走向】
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求某些元素的量或 元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋 转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何 体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 2013 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素有关的 计算问题;

三. 【要点精讲】
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 上底+S 下底 3

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径

四. 【典例解析】
题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?
2

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z ) ? 24
2 2 2

(1) ( 2)
2 2 2 2

由(2) 得:x +y +z +2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x +y +z =16 即 l =16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们 平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。
1

例 2. 如图 1 所示, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 已知 AB=5, AD=4, 1=3, AA AB⊥AD, 1AB=∠A1AD= ∠A (1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积

? 。 3

图1 图2 解析: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos

1 3 ? =3× = 2 2 3 AM 3 ∴AO= = 2。 ? 2 cos 4
又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

9 9 = , 2 2

∴A1O=

3 2 3 2 ? 30 2 。 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? 2 2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题
例 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体对角线的长是( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

解:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b=

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为 l= a 2 ? b 2 ? c 2 ? 6 ;答

案 D。 点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为 V1、V2 的两 部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴S△AEF=

1 S, 4
5 Sh, 12

V1=

1 1 1 7 h(S+ S+ S ? )= Sh 4 12 3 4

V2=Sh-V1=

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间 的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可

2

P

题型 3:锥体的体积和表面积
例 5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 ). E A B 2
2

2 3 C. 2? ? 3

2 3 D. 4? ? 3

D O C

解:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面

1 边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 ? 3
所以该几何体的体积为 2? ?

? ?

2 3 2 ? 3? 3

2

2 3 . 答案:C 3

2

练习 1 如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45° 解:∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直,所以 A 不成立,又,平面 PAB⊥平面 PAE,所 以 平面PAB ? 平面PBC 也不成立;BC∥AD∥平面 PAD, ∴直线 BC ∥ 平面PAE 也 不成立。在 Rt?PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D 正确 练习 2、设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于

7? ,则球 O 的表面积等于 4

7 ? 2 2 解:本题考查立体几何球面知识,注意结合平面几何知识进行运算,由 S ? 4?R ? 4? (4 4 ) ? 8? . 14?
例 6、高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;(2)求该安全标识墩的体积(3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

3

解:1、侧视图同正视图,如下图所示. 2、该安全标识墩的体积为: V ? VP ? EFGH ? VABCD ? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

3、如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? P O? H F 又 EG ? HF

? HF ? 平面 PEG 又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;

例 8.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2 R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S 1 , S 2 , S 3 ,满足的等量关系是___.

解:

S 1 ? 2 ? R1 , 同 理 : S 2 ? 2 ? R 2

S 3 ? 2 ? R 3 , 即 R1 =

S1 2 ?

, R2 =

S2 2 ?

, R3 =

S3 2 ?

,由

R1 ? 2 R2 ? 3R3 得 S1 ? 2 S 2 ? 3 S3
例 9. 如图, ABCD 的边长为 2 的正方形, 直线 l 与平面 ABCD 平行, 和 F 式 l 上的两个不同点, EA=ED, g 且 FB=FC, 和 是平面 ABCD 内的两点, 和 都与平面 ABCD 垂直, Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体 ABCDEF 的体积。

(Ⅰ)证明:直线

垂直且平分线段 AD:

【解析】(1)由于 EA=ED 且 ED ' ? 面ABCD ? E ' D ? E ' C ? 点 E ' 在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F ' 在线段 BC 的垂直平分线上. 又 ABCD 是四方形 ? 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E ' F ' 都居线段 AD 的垂直平分线上. 所以,直线 E ' F ' 垂直平分线段 AD. (2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E—ABCD 和正四面体 E—BCF 两部分.设 AD 中点为 M,在
.

Rt△MEE ' 中,由于 ME ' =1, ME ? 3 ? EE ' ? 2 .

?VE —ABCD ? ? S四方形 ABCD ? EE ' ? ? 22 ? 2 ?

1 3

1 3

4 2 3

又 VE —BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC ?

1 1 1 2 2 S? ABC ? EE ' ? ? ? 22 ? 2 ? 3 3 2 3

?多面体 ABCDEF 的体积为 VE—ABCD+VE—BCF= 2 2
4

例 10. (1)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端点除外)上 一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面 ABC .在平面 ABD 内过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 .

答案: ?

?1 ? ,1? ?2 ?

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时, t ? 1 ,随着 F 点到 C 点时,因

? , ? 3 , CB ? AB, CB ? DK ,?CB ? 平 面 A D B, 即 有 C B? B D 对 于 C D? 2 , B C 1 ? B D , 又

A D? 1 , A ? ,因此有 AD ? BD ,则有 t ? B 2

1 ?1 ? ,因此 t 的取值范围是 ? ,1? 2 ?2 ?

.

例 11 若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是

cm3 .

【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为 3 ? 3 ?1 ? 9 ,因此其几 何体的体积为 18 例 12.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表 面积等于 。

解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设 此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO? 中,易得球半径 R ?

5 ,故此球的表面积为 4? R2 ? 20? .

例 13.已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表 面积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R , 则 O?A ?

2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 64 4 ) ? R ,∴ R ? ,∴ S ? 4? R 2 ? ? 。 3 4 9 3

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 题型 9:球的面积、体积综合问题 例 15. (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。
5

解: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ?

2a ,
AC ?2 ? CC ?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,∴ S表 ? 64 ?2 ?32 ? ? 14 576
王新敞
奎屯 新疆

2 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,∴ AC ?

题型 10:球的经纬度、球面距离问题 例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过这三点的截面的距离。 解: (1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半径, ∴ OK ? AK , 设 C 是北纬 40 的纬线长, ∵ ?AOB ? ?OAK ? 40 ,
? ? ? ? ?

∴ C ? 2? ? AK ? 2? ? OA ? cos ?OAK ? 2? ? OA ? cos 40

?

? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ?104 (km)
答:北纬 40 纬线长约等于 3.066 ?10 km .
? 4

(2)解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O? , 设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC , ∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 ,∴ OO? ? OA2 ? OA?2 ? 11 , 2 3

所以,球心到截面距离为 11cm . 例 16. 在北纬 45 圈上有 A, B 两点, 设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧长为 为地球半径) ,求 A, B 两点间的球面距离 解:设北纬 45 圈的半径为 r ,则 r ?
? ?

2 ? R( R 4

2 R ,设 O? 为北纬 45? 圈的圆心, ?AO' B ? ? , 4

∴?r ?

2 2 2 R? ? ?R, ? R ,∴ 2 4 4
6

∴? ?

?
2

,∴ AB ?

2r ? R ,

∴ ?ABC 中, ?AOB ?

?
3



所以, A, B 两点的球面距离等于

? R. 3

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的 球心角,进而求出这两点的球面距离 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 、 F 分别是 A1 B 、 AC 的中点,点 D 在 1

B1C1 上, A1 D ? B1C



求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .

五. 【思维总结】
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;(2)体积:V=
2

2 3 2 a ;(3)对棱中点连线段的长:d= a; 12 2
R=

(4)内切球半径:r=

6 a;(5)外接球半径 12

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形;②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积

1 abc; 6 1 a 2b2 ? b2c2 ? c2a 2 ; ④底面△ABC= 2
V=
2 2 2 2 2

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC ⑦ ⑧外切球半径 R=

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c

1 2

a 2 ? b2 ? c2 ;

⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r,则

7

sinα =cos α +

? =90° ? 2
cosα =sin

? h = , l 2
? r = . 2 l

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分别为 r ′、r, 则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R - d . 5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离, 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 我们把这个弧长叫做两点 的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

2

2

8


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