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3.2 简单的三角恒等变换 课件(人教A版必修4)


第三章

三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换

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三角恒等变换

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三角恒等变换

重点难点 重点:学习三角变换的内容、思路和方法, 体会三角变换后的特点,提高推理运算能力. 难点:认识三角变换的特点,并能运用换元 等数学思想,设计变换过程.

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三角恒等变换

新知初探思维启动
1.和、差角公式及倍角公式 sinαcosβ+cosαsinβ (1)sin(α+β)=_____________________; sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ; (2)sin2α=_________________; 2sinαcosα cosαcosβ-sinαsinβ (3)cos(α+β)=____________________; cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

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(4)cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α;
tanα+tanβ 1-tanαtanβ (5)tan(α+β)=_______________;

tanα-tanβ tan(α-β)= ; 1+tanαtanβ 2tanα 1-tan2α (6)tan2α=____________.

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三角恒等变换

2.半角公式 α 在公式 cos2α=1-2sin α=2cos α-1 中用 代 2 2α 2α 2cos -1 1-2sin 2 2 替 α, cosα=____________=____________. 得 1-cosα ± α α 2 sin = _________________.cos = 2 2
2 2

1+cosα ± α 2 _________________.tan =±

2

1-cosα . 1+cosα

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三角恒等变换

想一想
α 已知 sinα 和 cosα, 能直接表示 tan 吗?(α≠kπ, 2 k∈Z)
α sin 2 1-cosα α sinα 提示:能.tan = = = . 2 α 1+cosα sinα cos 2

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3.辅助角公式

a2+b2 asinx+bcosx=___________sin(x+θ) (其中 a、
b a b 不同时为 0,且 tanθ =___________).
做一做 cos10° 求值: + 3sin10°tan70°-2cos40°. tan20°

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三角恒等变换

cos10° 解: + 3sin10°tan70°-2cos40° tan20° cos20°cos10° = + sin20° 2cos40° cos20°cos10°+ 3sin10°cos20° = - sin20° 2cos40° 3sin10°sin70° - cos70°

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三角恒等变换

cos20°(cos10°+ 3sin10°) = -2cos40° sin20° 2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°) = sin20° -2cos40° 2(cos20°sin40°-sin20°cos40°) = =2. sin20°

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典题例证技法归纳
题型探究 三角函数式的化简问题
3π 例1 已知 π<α< ,化简: 2 1+sinα 1+cosα- 1-cosα + . 1+cosα+ 1-cosα 1-sinα

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α α 2 (sin +cos ) 2 2 【解】 原式= α α 2|cos |- 2|sin | 2 2 α α 2 (sin -cos ) 2 2 + α α 2|cos |+ 2|sin |, 2 2 3π π α 3π α α ∵π<α< ,∴ < < ,∴cos <0,sin >0. 2 2 2 4 2 2

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α α 2 (sin +cos ) 2 2 ∴原式= α α - 2sin( +cos ) 2 2 α α 2 (sin -cos ) 2 2 + ) α α 2(sin -cos ) 2 2 α α α α sin +cos sin -cos 2 2 2 2 α =- + =- 2cos . 2 2 2
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【名师点评】

(1)二倍角余弦公式的变形,

可起到升降幂的作用,有非常重要的作用. α α2 (2)熟记公式 1± sinα=(sin ± cos ) ,1+cosα= 2 2 2cos ,1-cosα=2sin ,为化简创造条件. 2 2
2α 2α

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变式训练
1 2 1 x 3 1.化简 sin x( -tan )+ cos2x. 2 x 2 2 tan 2
x x cos sin 2 2 1 2 3 解:原式= sin x( - )+ cos2x 2 x x 2 sin cos 2 2

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1 2 = sin x· 2

cos -sin 2 2 3 + cos2x x x 2 sin cos 2 2

2x

2x

cosx 3 =sin x· + cos2x sinx 2
2

1 3 π = sin2x+ cos2x=sin(2x+ ). 2 2 3

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三角函数的求值问题
例2
3 已知 cosθ =- , 180°<θ <270°, 且 5

θ 求 tan . 2
【解】 法一:∵180°<θ <270°, θ θ ∴90°< <135°,∴tan <0, 2 2

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θ ∴tan =- 2

1-cosθ =- 1+cosθ

3 1-(- ) 5 3 1+(- ) 5

=-2. 法二:∵180°<θ <270°,∴sinθ <0, ∴sinθ =- 1-cos2θ =- 4 - 5 9 4 1- =- , 25 5

θ sinθ ∴tan = = =-2. 2 1+cosθ 3 1+(- ) 5

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【名师点评】

已知三角函数式的值,求其

他三角函数式的值,一般思路为:

(1)先化简所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从 三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

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变式训练
2.tan15°+tan75°=__________.
sin15° sin(90°-15°) 解析:原式= + cos15° cos(90°-15°) sin15° cos15° = + cos15° sin15° sin215°+cos215° = sin15°·cos15°

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1 = sin15°·cos15° 2 = sin30° =4.

答案:4

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三角恒等式的证明问题
例3
1 求证: = sin2α. 1 α 4 -tan α 2 tan 2 cos2α

cos2α 【证明】 法一:左边= α α cos sin 2 2 - α α sin cos 2 2

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α α cos αsin cos 2 2 cos2α = = α α 2 2 2α 2α cos -sin cos -sin 2 2 2 2 α α sin cos 2 2
2

α α cos αsin cos 2 2 α α = =sin cos cosα cosα 2 2
2

1 1 = sinαcosα= sin2α=右边. 2 4 ∴原等式成立.
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三角恒等变换

cos2α 法 二 : 左 边 = = 1+cosα 1-cosα - sinα sinα cos2α sinα 2cosα 1 1 = sinα cosα = sin2α =右边. 2 4 ∴原等式成立.

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α α cos α tan 2tan 2 1 2 2 法三: 左边= = cos α · 2 2α 2α 1-tan 1-tan 2 2
2

1 2 1 1 = cos α ·tanα = cosα sinα = sin2α =右 2 2 4 边. ∴原等式成立.

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三角恒等变换

【名师点评】

法一是基本方法,切化弦的

思路,“变形”. 法二是巧妙利用正切半角公式,“角变”. 法三是先通分构造正切的二倍角公式,再化 简、证明.

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三角恒等变换

变式训练
1+cos2α 1 3.求证: = sin2α. 1 α 2 -tan α 2 tan 2
α α 2cos αsin cos 2-2sin2α 2 2 证明:左边= = α α 2 2 2α 2α cos -sin cos -sin 2 2 2 2 α α sin cos 2 2
2

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三角恒等变换

α α 2cos αsin cos 2 2 1 = =sinαcosα= sin2α=右边. cosα 2
2

∴原等式成立.

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三角恒等变换

三角恒等变换的综合应用
例4 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=4 cos

?x+π?-1. xsin? 6 ?
(1)求 f(x)的最小正周期;

?-π,π? 上的最大值和最小 (2)求 f(x)在区间? 6 4 ?
值.

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三角恒等变换

?x+π?-1 【解】 (1)因为 f(x)=4cos xsin? 6?
=4cos x

? 3sin x+1cos x?-1 ?2 2 ?

= 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x

?2x+π?,(5 分) =2sin? 6?
所以 f(x)的最小正周期为 π.(6 分)

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三角恒等变换

π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ .(8 分) 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时, 6 2 6 f(x)取得最大值 2;(10 分) π π π 当 2x+ =- , x=- 时, 即 f(x)取得最小值 6 6 6 -1. (12 分)

名师微博

端点值要计算,每个值要比较

大小,从而确定最值.

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三角恒等变换

【名师点评】 解答此类综合题的关键是利用 三角函数的诱导公式以及和、差、倍角、半角 公式和辅助 角公式 asinx+ bcosx= a2+b2 sin(x+φ),将三角函数式化为 f(x)=Asin(ωx +φ)+k 的形式,然后借助于三角函数的图象 及性质去研究 f(x)的相应性质,解答过程中一 定要注意公式的合理应用,以免错用公式,导 致化简失误.

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变式训练
x x 2x 4.已知向量 m=( 3sin , n=(cos , 1), cos ), 4 4 4 2 函数 f(x)=m· n,若 f(x)=1, cos( π-x)的值. 求 3

解:f(x)=m· n x x 2x =( 3sin ,1)· (cos ,cos ) 4 4 4 x x 2x = 3sin cos +cos 4 4 4

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三角恒等变换

x 1+cos 2 3 x = sin + 2 2 2 3 x 1 x 1 x π 1 = sin + cos + =sin( + )+ . 2 2 2 2 2 2 6 2 x π 1 由于 f(x)=1,∴sin( + )= , 2 6 2 2 x 2 π ∴cos( π -x)=2cos ( - )-1 3 3 2 x π 12 1 =2sin ( + )-1=2×( ) -1=- . 2 6 2 2
2
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备选例题
3-sin70° 1. 等于( 2-cos210° 1 A. 2 2 B. 2 ) C.2 3 D. 2

3-sin70° 3-cos20° 解 析 : 选 C. = = 2-cos210° 2-cos210° 3-(2cos210°-1) 4-2cos210° = =2. 2-cos210° 2-cos210°

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2.在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+

8x-1=0的两个根,则tanC=__________.
8 解析:由已知可知 tanA+tanB=- , 3 1 tanAtanB=- , 3 8 - tanA+tanB 3 ∴tanC=-tan(A+B)=- =- 1 1-tanAtanB 1+ 3 =2.
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答案:2
π 3.已知函数 f(x)=2sin ωx+2 3sinωxsin( - 2
2

ωx)(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; 2π (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的值域. 3

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三角恒等变换

解:(1)f(x)=1-cos2ω x+2 3sinω xcosω x =1-cos2ω x+ 3sin2ω x = 3sin2ω x-cos2ω x+1 π =2sin(2ωx- )+1. 6 因为函数 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 2π 所以 =π,解得 ω=1 . 2ω

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三角恒等变换

π (2)由(1)得 f(x)=2sin(2x- )+1, 6 2π π π 7π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤ 2x- ≤ , 3 6 6 6 1 π 所以- ≤sin(2x- )≤1. 2 6 π 因此 0≤ 2sin(2x- )+1≤3. 6 2 即 f(x)在[0, π]上的值域为[0,3]. 3

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方法感悟
方法技巧

1.化简的方法:
(1)弦切互化,异名化同名,异角化同角. (2)降幂或升幂.

2.进行恒等变形时,既要注意分析角之间的
差异,寻求角的变换方法,还要观察三角函 数的结构特征,寻求化同名(化弦或化切)的 方法,明确变形的目的.

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三角恒等变换

失误防范
1.应用半角公式或者进行开方运算时,注意角 的范围及根号前正、负号的选取. 2.对形如 asinα +bcosα (a,b 不同时为零)利 用辅助角公式变形时,是变为 a2+b2sin(α+ φ)还是变为 a2+b2cos(α-φ), 其中的“φ”角 是不同的.

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