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高一数学1-1


高考总复习

人教版 · 数学(理)

导学案

第一章 集合与常用逻辑用语

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考纲点击 1.了解集合的含义、元素与集合的属于 关系;能用自然语言、图形语言、集合 语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能 识别给定集合的子集;在具体情境中, 了解全集与空集的含义. 3.理解两个集合的并集与交集的含义, 会求两个简单集合的并集与交集;理解 在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集;能用韦恩(Venn) 图表达集合的关系及运算.
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考点解读 高考对集合的考查主要 体现在三个方面:一是 集合间的基本关系;二 是以函数、方程、不等 式等知识为载体的集合 的基本运算;三是以集 合间的关系、运算为载 体求参数的值.题型多 是选择题或填空题,难 度不大,属容易题.
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(对应学生用书 P1

解析为教师用书独有)

1.元素与集合 (1)一般地, 我们把研究对象统称为 元素 , 把一些元素组 成的总体叫做 集合 . (2)集合中元素的性质: 确定性 、 互异性 、 无序性 .

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2.集合间的基本关系 (1)子集:若集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素, 则称集合 A 是集合 B 的子集,记作 A?B (或 B?A ). (2)集合相等:如果集合 A 是集合 B 的 子集(A?B) ,且集合 B 是集合 A 的 子集(B?A) ,此时,集合 A 与集合 B 中的元素 是 一样的 ,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B . (3)真子集: 如果集合 A?B , 但存在元素 x∈B, 且 x?A ,

我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作

A B (或 B A ).

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3.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的 子集 ,即A?A . (2)空集是任何集合的子集 , 是任何非空集合的 真子集 (3)对于集合 A、B、C,如果 A?B,B?C,那么 A?C . .

(4)n 个元素组成的集合的子集有2n 个, 真子集有 2n-1 个, 非空真子集有
2n-2

个.

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4.集合的基本运算 (1)若全集为 U, 对于集合 A、 B, A∪B= {x|x∈A或x∈B} A∩B={x|x∈A 且 x∈B} ,?UA= {x|x∈U 且 x?A}. (2)若全集为 U,则 A∪A=A ,A∪U=U ,A∪?=A ,A ∪B= B∪A ,(A∪B)∪C= A∪(B∪C) ,(A∪B) ? A. (3)若全集为 U, 则 A∩A=A , A∩U=A , A∩?= ? , A∩B = B∩A ,(A∩B)∩C=A∩ (B∩C),(A∩B)? A ,(A∩B)? B . ,

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1.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={(1,2)}

(

)

解析 B A 选项中的元素不是同一点.C、D 选项中的元 素,一个为点,一个为数,都不可能为同一集合.故选 B.
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2.设 M={x|x≤2 3},a= 11,则下列关系中正确的是 ( A.a?M C.{a}?M B.a?M D.{a}?M )

解析 D ∵ 11< 12=2 3,∴{a}?M.

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3.设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于 A.{x|3≤x<4} C.{x|x>2} B.{x|x≥3} D.{x|x≥2} ( )

解析 D

B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},结合数轴得 A

∪B={x|x≥2}.

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4.若集合 A={x|x<1},B={x|x≥a},且 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为 A.a≤1 C.a≥1 B.a<1 D.a>1 ( )

解析 B 时,A∩B≠?.

在数轴上表示出两个集合,可以看到,当 a<1

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(对应学生用书 P2)

考点 1 集合的基本概念

【例 1】 已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若 1∈A, 求实数 a 的值.

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【思路点拨】 由元素与集合的关系知,“1∈A”表示 1 是 A 中的一个元素,所以有三种可能:a+2=1,或(a+1)2=1, 或 a2+3a+3=1.依据方程求出 a 的值,再利用集合中元素的互 异性,对 a 的值进行检验.
解析 方法一:∵1∈A, ∴a+2=1,或(a+1)2=1,或 a2+3a+3=1. ①当 a+2=1 时,解得 a=-1. 此时 a+2=1,(a+1)2=0,a2+3a+3=1, ∴a=-1 舍去.
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②当(a+1)2=1 时,解得 a=0 或 a=-2. 当 a=0 时,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,满足题 意; a=-2 时,a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1, ∴a=-2 舍去.

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③当 a2+3a+3=1 时, 解得 a=-1 或 a=-2. 由①知,a=-1 不满足题意,舍去. 由②知,a=-2 不满足题意,舍去. 综上,a=0.

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方法二:∵1∈A,∴有三种情况: ? ?a+2=1, ??a+1?2≠1, ①当? 2 ?a +3a+3≠1, 2 2 ? ??a+1? ≠a +3a+3

时,无解;

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? ?a+2≠1, ??a+1?2=1, ②当? 2 ?a +3a+3≠1, 2 ? ?a+2≠a +3a+3 ? ?a+2≠1, ??a+1?2≠1, ③当? 2 ?a +3a+3=1, 2 ? ?a+2≠?a+1? 综上,a=0.

时,解得 a=0;

时,无解.

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【解题技巧】 如果已知一个元素属于某个集合,根据集合 中元素的确定性可知,元素必是集合中的某个元素,可分情况 逐个对应讨论求解.注意得到的结果要满足集合中元素的互异 性,即元素不能重复.

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已知 A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,求 a 的值. 解析 当 a-2=-3 时,a=-1,A={-3,-3,12},不符
合题意. 3 当 2a +5a=-3 时,a=-1 或 a=-2,
2

若 a=-1,由前面的解答知,不符合题意;
? ? 3 ? 7 ? ? 若 a=- ,则 A= -2,-3,12?,符合题意. 2 ? ? ? ?

3 所以 a=-2.
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考点 2 集合的基本运算

【例 2】

(1)(2012· 江苏高考)已知集合 A={1,2,4},B=

{2,4,6},则 A∪B=________. (2)(2012· 浙江高考)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2- 2x-3≤0},则 A∩(?RB)= A.(1,4) C.(1,3) B.(3,4) D.(1,2)∪(3,4) ( )

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【思路点拨】 (1)直接用集合的运算即可. (2)先求集合 B,再求 A∩(?RB).
解析 (1)根据集合的并集运算法则,得 A∪B={1,2,4,6}. (2)由已知,得 B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}, 所以?RB={x|x<-1,或 x>3}. 所以 A∩(?RB)={x|3<x<4}.
【答案】 (1){1,2,4,6} (2)B

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【解题技巧】 集合的基本运算包括交集、并集和补集的运 算.在解题时要注意借助数轴或 Venn 图进行分析,并注意运用 补集的思想方法.

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(2012·辽 宁 高 考 ) 已 知 全 集 U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8}, 则(?UA)∩(?UB)= A.{5,8} C.{0,1,3} B.{7,9} D.{2,4,6} ( )

解析 由已知条件可得?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9}, 所以(?UA)∩(?UB)={7,9},故选 B.
【答案】 B
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考点 3 集合间的基本关系

【例 3】
? ? ? 1 ?x?- <x≤2 ? ? ? 2 ? ? ?.若 ? ?

已 知 集 合 A = {x|0<ax + 1≤5} , 集 合 B = A?B,求实数 a 的取值范围.

【思路点拨】 要想通过集合之间的包含关系求参数的取值 范围, 需要把两个集合用参数表示出来. 题设中集合 B 为已知, 因此需要化简集合 A.这就要求解含有参数的不等式.因为 A 中 的不等式性质不确定,所以需要分情况讨论,确定集合 A 中元 素的范围.
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解析 A 中不等式的解集应分三种情况讨论: 当 a=0 时,则 A=R,不符合题意; 当 a<0 时,则
? ? ?4 1 ? ? A= x a≤x<-a ? ? ? ? ? ?, ? ?

若 A?B,如图①所示, 1 ?4 ?a>-2, 则? ?-1≤2, ? a
∴a<-8;
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a<-8, ? ? ∴? 1 a≤- , ? 2 ?



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当 a>0 时, 则
? ? ? 1 4 ? ? A= x -a<x≤a ? ? ? ? ? ?, ? ?

若 A?B,如图②所示, 1 ? 1 ?-a≥-2, 则? ?4≤2, ?a
? ?a≥2, ∴? ? ?a≥2,



即 a≥2.

综上可知,a 的取值范围是(-∞,-8)∪[2,+∞).

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【解题技巧】 通过集合之间的关系,求参数的取值范围, 最终是要通过比较区间端点的大小来实现,因此确定两个集合 内的元素,成为解决该类问题的关键.因为元素的共同特征中 含有参数,所以分类讨论成为必然,分类讨论时要注意不重不 漏.

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已 知 集 合 A = {x|a - 1≤x≤a + 2} , B = {x|3<x<5},则使 A?B 成立的实数 a 的取值范围是________.
解析 由 A?B
? ?a-1≤3, 可知,需满足? ? ?a+2≥5,

得 3≤a≤4.

【答案】 [3,4]

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错题案例 忽略空集致误

【例 4 】

已知集合 A = {x|x2 - 3x - 10≤0} , B = {x|m +

1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围.
错解 由 x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5. 欲使 A∪B=A,即
? ?-2≤m+1, B?A,只要? ? ?2m-1≤5,

解得-3≤m≤3,所以 m 的取值范围为[-3,3].
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错解原因

因为 A∪B=A,即 B?A,所以集合 B 可以为空 中,并没有包含 B

? ?-2≤m+1, 集,也可以为非空集.在条件? ? ?2m-1≤5

为空集的情况.已知条件转化过程中,忽视了隐含条件,造成 转化不等价.
正解思路 分 B=?和 B≠?两种情况讨论.

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正解 ∵x2-3x-10≤0, 解得-2≤x≤5, ∴A={x|-2≤x≤5}. ∵A∪B=A,∴B?A. ①若 B≠?,则 2m-1≥m+1,解得 m≥2, 又
? ?-2≤m+1, B?A,∴? ? ?2m-1≤5,

解得-3≤m≤3,

∴2≤m≤3;

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②若 B=?,则 2m-1<m+1, 解得 m<2. 综合①②可知,m 的取值范围为(-∞,3].

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已知集合 A={-1,1},B={x|ax+1=0},若 B?A,则实数 a 的所有可能取值的集合为________.
解析 当 a=0 时,B=??A,符合要求; 当 a≠0
? ? 1? ? ? 时,B= -a??A, ? ? ? ?

1 1 ∴-a=1 或-a=-1,即 a=-1 或 a=1. 综上,实数 a 的所有可能取值的集合为{-1,0,1}.
【答案】 {-1,0,1}

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(对应学生用书 P3

解析为教师用书独有)

1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则 A.M?N C.M∩N={2,3} B.N?M D.M∪N={1,4}

(

)

解析 C

∵M={1,2,3},N={2,3,4}.∴





M∩N={2,3},M∪N={1,2,3,4}.可知 C 正确,其余错误.

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2.(2012· 广东高考)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4}, 则?UM= A.U C.{3,5,6} B.{1,3,5} D.{2,4,6} ( )

解析 C ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4}, ∴?UM={3,5,6}.

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3.(2012· 陕西高考)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N= A.(1,2) C.(1,2] B.[1,2) D.[1,2] ( )

解析 C 因为 M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2}, 所以 M∩N={x|1<x≤2}=(1,2].故选 C.

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4. (2012· 全国新课标)已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x ∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 A.3 C.8 B.6 D.10 ( )

解析 D 方法一:由 x-y∈A,及 A={1,2,3,4,5}得 x>y, 当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,有 4 个;y=2 时,x 可取 3,4,5,有 3 个;y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个;y=4 时,x 可取 5,有 1 个.故共有 1+2+3+4=10(个),故选 D.

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方法二:因为 A 中元素均为正整数,所以从 A 中任取两个 元素作为 x,y,满足 x>y 的(x,y)即为集合 B 中的元素,故共 有 C2 5=10 个,故选 D.

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5.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3}, 则实数 a 的值为________.
解析 ∵A∩B={3},∴a+2=3 或 a2+4=3.∴a=1. 【答案】 1

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? ? ? 2x-1 ? A={x||x-a|<2},B=?x? ? ? ? x+2

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? ? <1?,若 ? ?

6.设集合

A?B,

求实数 a 的取值范围.

解析 由已知得 A={x|a-2<x<a+2},
? ? ? x-3 ? B=?x? ? ? ?x+2 ? ? <0?={x|(x-3)(x+2)<0} ? ?

={x|-2<x<3}. 如图所示:

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? ?a-2≥-2, A?B,知? ? ?a+2≤3,

∴0≤a≤1,

即实数 a 的取值范围是[0,1].

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