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第10章:解析几何


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第十章:解析几何
直线方程的概念、斜率、几种形式、位置关系、距离问题 1. 08, ( 全国 II, 理) 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 , 原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A ) A.3 B.2 C. ?

1 3

D. ?

1 2

圆的方程、位置关系 1.(2010.天津.理)已知圆 C 的圆心是直线 ?

? x ? 1, (t为参数) x 轴的交点,且圆 C 与 与 ? y ? 1? t

直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为

( x ? 1)2 ? y 2 ? 2
2 3

?? 2.(2010.四川.理) 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相交于 A、 两点, ?AB B 则

2 2 3.(07,山东,理)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半

径最小的圆的标准方程是

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

4.(07,全国 II,理)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求 PO PB ,

??? ??? ? ? PA?PB 的取值范围.
答案: (1)圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 (2) PA?PB 的取值范围为 [?2, 0)
2 2 5.(08,山东,理)已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3,5) 的最长弦和最

??? ??? ? ?

短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为(B) A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6

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2 2 6.(09,全理 II,理)已知 AC、 BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为

M 1, 2 ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为

?

?

5

7.(10,全国,理,新课标)过点 A(4,1) 的圆 C 与直线 x ? y ? 0 相切于点 B (2,1) ,则圆 C 的方程为____ ( x ? 3) ? y ? 2 ________
2 2

8(10,广东,理)若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? y ? 0
相切,则圆 O 的方程是

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2
有公共点,则 b 的取值范围是 C

9(10,湖北,理)若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2
A. ??1,1 ? 2 2 ?

?

? ?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

? ?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?
2 2

10(10,江苏,理)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直 线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是___(-13,13) 11(10,江西,理)直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 M,N 两点,若
2 2

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是 A

? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?

? 3 3? 3? ? , ? ?? ??, ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 3 3 ? 4? B. ? C. ?

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

12(10,全国Ⅰ,理)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点, 那么 PA ? PB 的最小值为 D (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ??? ? ?

13(10,山东,理)已知圆 C 过点 (1, 0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 ? : y ? x ? 1 被圆

C 所截得的弦长为 2 2 ,则过圆心且与直线 ? 垂直的直线的方程为
2 2

x ? y-3=0

14(10,上海,理)圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距 离 d ? ___3_____;

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椭圆定义、性质、位置关系

x2 y 2 3 1.(2010.天津.理)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶 a b 2
点得到的菱形的面积为 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点

??? ??? ? ? QB Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? ? 4 ,求 y 0 的值
2.(07,山东,理)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到 焦点距离的最大值为 3,最小值为 1, (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

x2 y 2 ? ?1 答案: (Ⅰ)椭圆的标准方程是 4 3
(Ⅱ)直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0).

2 7

【答案】 (1)椭圆的方程为

x2 2 14 ? y 2 ? 1 (2) y0 = ? 2 2或y0 = ? 4 5

x2 y 2 2.(2010.四川.理)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A, a b
在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是(D) (A) ? 0, ?
? ? 2? ? 2 ?
w_w_w.k*s 5*u. c o*m

(B) ? 0, ? ? 2?

? 1?

(C) ? 2 ?1,1? ?

? ? (D) ? ,1? 1 ?2 ?

3.(07,宁夏海南,理)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线

l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点 P 和 Q 。 2

—————————————————————————高中数学知识点框架 (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A 、 B ,是否存在常数 k ,使得 向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由。

??? ???? ?

??? ?

【答案】 (Ⅰ) k ? ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? ? ? 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ??? ? ? ? 2 , ∞? 2 ? ? 2 2 ? ?

(Ⅱ) k ?

2 2 2 ,由(Ⅰ)知 k ? ? 或k ? ,故没有符合题意的常数 k 2 2 2

4.(07,全国 I,理)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 F1 的直线交椭圆 3 2

于 B,D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 A C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P . , (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. 答案: (Ⅱ) ABCD 的面积的最小值为
2 2 x0 y0 ? ?1; 3 2

96 25
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

5.(08,海南宁夏,.理)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1 :

分别为 F1 、 F2 。 F2 也是抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交 点,且 | MF2 |?

5 。 3

(1)求 C1 的方程;

(2)平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 ,直线 l / / MN ,且与 C1 交于 A, B 两点,若 ??? ??? ? ?

???? ?

???? ???? ? ?

OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程。

答案: (1) C1 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2) l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 6.(08.全国 I.理数)在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? 7.(08,全国 II,理)

7 .若以 A B 为焦点的椭圆经 , 18

3 8



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0) 1) 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B (0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx( k ? 0) 与 AB 相交
于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. 答案: (Ⅰ) k ?

??? ?

????

2 3 或k ? 3 8

(Ⅱ)当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 8.(08,山东,理)设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C 2 上的 13

点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C 2 的标准方程为(A)

A.

x2 y2 ? ?1 4 2 32

B.

x2 y2 ? ?1 13 2 5 2

C.

x2 y2 ? ?1 32 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 13 2 12 2
两点, O 为

9.(09,山东,理)设椭圆 E : 坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 , 1 ) , ? ? 1(a, b ? 0) 过 M (2, 2) ) N ( 6 a 2 b2

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B ,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求 | AB | 的取值范围,若不存在说明理由。
答案: (I)E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

(II)|AB |的取值范围为 10.(09,海南,理)

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |?[ 6, 2 3] 3 3

已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xoy 的原点,焦点在 x 轴上,它的

一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

? ? ,求点

M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

答案:(Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7

—————————————————————————高中数学知识点框架 (Ⅱ)

(16? 2 ? 9) x 2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x?? ?4, 4? 。
(i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1,其中 x???4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0 ? ? ? 的部分。 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的 4

部分; 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;

11.(09,全国 I,理)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 2

??? ? ??? ? ???? ? AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =A
(A).

2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

12.(09,全理 II,理) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦 2 3 a b 2 2

点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

(I)求 a , b 的值; (II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 答 案 :( I ) e?

??? ?

??? ??? ? ?

c 3 3 2 ? ,? a ? 3, b ? 2 ( II ) P( , ? ) , 当 a 3 2 2

m?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1 ; 2 2 2 2

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当m ? ?

2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2

x2 y 2 13.(10,全国,理,新课标)设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a b
焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 ? 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ) 设点 P(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 答案: (Ⅰ)E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

(Ⅱ)椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ?1 18 9

14.(10,安徽,理)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程 ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数为 B 10
C、3 D、4

为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 B、2

15, (10,安徽,理)已知椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对 称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。 答案(I)椭圆 E 的方程为 件的相异两点. 16(10,江苏,理) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

1 。 2

x2 y2 ? ? 1. (II) 2 x ? y ? 1 ? 0.(III)不存在满足题设条 16 12

x2 y2 ? ? 1的 9 5

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左、 右顶点为 A、 右焦点为 F。 B, 设过点 T t, m ) ( 的直线 TA、 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 TB

N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。
(1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3
9 10 (2)点 T 的坐标为 (7, ) (3)直线 MN 必过 x 轴上 2 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 。 答案: (1)点 P 的轨迹为直线 x ? 的一定点 D(1,0) 17(10,江西,理) (本小题满分 12 分)

设椭圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) C : x 2 ? by ? b 2 a 2 b2 ,抛物线 2 。

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2) 设 A(0,b) Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN ,

? ?

5? 4?

的垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。

? ?

3 ? 4 ?

答案: (1) e1 ?

x2 y2 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 2 y ? 4 (2)椭圆方程为 16 4 2
3

18(10,辽宁,理) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a b
两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

??? ?

??? ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

答案: (I) e ?

x2 y2 c 2 ? 1. ? (II)椭圆 C 的方程为 ? 9 5 a 3

19(10,全国Ⅰ,理)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延

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长线交 C 于点 D ,且 BF ? 2 FD ,则 C 的离心率为

3 3

x2 y 2 3 20(10,全国 II,理)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且 2 a b
斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? B (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

21 (10, 陕西, 如图,椭圆 C: 理) 焦点为 F1 , F2 , A1 B1 ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 的顶点为 A1, A2 , B1 , B2 a 2 b2

7 , S ? A1B1 A2 B2 ? 2S ? B1F1B2 F2 .
??? ?

(Ⅱ)设 n 是过原点的直线,是与 n 垂直相交于 P 点、 l 与椭圆相交于 A,B 两点的直线,OP ? 1 , 是否存在上述直线 l 使 AP?PB ? 1 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说 明 理由 . 答案: (I)

??? ??? ? ?

x2 y2 ? ? 1 (II)直线 l 不存在. 4 3

双曲线定义、性质、位置关系

1. (2010.天津.理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它 a 2 b2
B )

的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 (A) 36 108
(C)

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27

x2 y 2 ? ?1 108 36

(D)

x2 y 2 ? ?1 27 9
1 2

2.(2010.四川.理)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E, 过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N

—————————————————————————高中数学知识点框架 (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

w_w w. k#

y2 【答案】 (I)x - =1(y≠0) 3
2

(II)① 当 直 线 BC 与 x 轴 不 垂 直 时 ,M 点 的 坐 标 为 (

3 y1 1 , ) , 2 2( x1 ? 1)

?81k 2 ???? ???? ? 9 y1 y2 3 4 k2 ?3 = ? =0,②当直线 BC 与 x FM ?FN ? (? )2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1) 9 4( 2 ? ? 1) k ?3 k2 ?3 ???? ???? ? 3 2 3 3 轴垂直时,起方程为 x=2, FM ?FN ? (? ) ? ? (? ) =0 2 2 2 ???? ??? ? ? 综上 FM ? FN =0,即 FM⊥FN,故以线段 MN 为直径的圆经过点 F
w_w w. k#s5 _u.c o*m

3.(07,宁夏海南,理)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率为 3 4.(07, 全国 I, 理)已知双曲线的离心率为 2 , 焦点是 (?4, , , , ( 0) (4 0) 则双曲线方程为 A )

A.

x2 y 2 ? ?1 4 12

B.

x2 y 2 ? ?1 12 4

C.

x2 y 2 ? ?1 10 6

D.

x2 y 2 ? ?1 6 10

x2 y 2 5.(07,全国 II,理)设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A , a b
使 ?F AF2 ? 90? 且 AF ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为( B 1 1 )

A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

6.(08,海南宁夏,.理)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F 。过点 F 平行双曲 9 16

线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B ,则 ?AFB 的面积为_____

32 _________ 15

7.(08.全国 I.理数)双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经

AB OB 成等差数列, 过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A B 两点.已知 OA 、 、 ,
且 BF 与 FA 同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率;

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

—————————————————————————高中数学知识点框架 (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 答案: (Ⅰ)离心率 e ?

5 2

(Ⅱ)双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 36 9
x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( B ) a 2 (a ? 1)2
D. (2,5)

8.(08,全国 II,理)设 a ? 1 ,则双曲线

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

C. (2, 5)

x2 y2 2 9.(09,山东,理)设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 只有一个公共点, a b
则双曲线的离心率为( A. D ). B. 5
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

5 4

C.

5 2

D. 5

10.(09,海南,理)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 A 4 12
(C) 3 (D)1

(A) 2 3

(B)2

11.(09,全国 I,理)设双曲线 则该双曲线的离心率等于( C ) (A) 3 (B)2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切, 2 a b

(C) 5

(D) 6

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

12.(09,全理 II,理)已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率 b2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.

为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

A

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

13.(10,全国,理,新课标)已知双曲线 E 的中心为原点, P (3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的 直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为 B

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(A)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ?1 3 6 4 5
2

(C)
2

x2 y2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y2 ? ?1 5 4

14.(10,安徽,理)双曲线方程为 x ? 2 y ? 1 ,则它的右焦点坐标为 C A、 ?

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

15(10,广东,理)已知双曲线

x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P ( x1 , y1 ) , 2

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H (0, h)(h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值。 答案: (1)直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程为 (2) Q h ? 1 ,? h ?

x2 ? y2 ? 1 2

3.

x2 y2 ? ? 1上一点 M,点 M 的横 15(10,江苏,理)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 4 12
坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是_4_ 16(10,江西,理)点 A( x0,y0 ) 在双曲线 等于 2x0 ,则 x0 = 2

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离 4 32

17(10,辽宁,理)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 D (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)
2

5 ?1 2
2

18(10,全国Ⅰ,理)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠

F1 p F2 = 60 0 ,则 P 到 x 轴的距离为 B

—————————————————————————高中数学知识点框架

(A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

19(10,全国 II,理) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 a 2 b2

BD 的中点为 M ?1,3 ? .
(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与

x 轴相切.
答案: (I) e ? 2 (II)以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且点 A 处与 x 轴相切 20(10,山东,理)如图,已知椭圆

2 x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,以该椭圆上的 2 a2 b2

点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点是该 椭圆的焦点, P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 设 直线 PF1 和

PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

k (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1 ·2 ? 1 ;
(Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB·CD 恒成 立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 ? ? 1 (III)存在常数 答案: (I)双曲线的标准方程为 4 4

??

3 2 8

21(10,上海,理)如图所示,直线 x ? 2 与双曲线 ? :

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 E1 , E 2 两 4
??? ? ?? ? ??? ?
( 2 , b a 、 ?R)

e OE 点, OE1 ? e1 , 2 ? e2 。 记 任取双曲线 ? 上的点 P , O a b1 ? 若 P ? e

—————————————————————————高中数学知识点框架 则 a 、 b 满足的一个等式是 4ab=1 。

抛物线定义、性质、位置关系 1. ( 07 , 宁 夏 海 南 , 理 ) 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 为 F , 点

P ? ( x1 , y1 )P ? ( x2 , y2 )P ? ( x3 , y3在抛物线上,且 2x2 ? x1 ? x3 , 则有( C ) ,2 ,3 ) 1
A. FP ? FP ? FP 1 2 3 C. 2 FP ? FP ? FP 2 1 3 B. FP ? FP 1 2
2 2

? FP3

2

D. FP2

2

? FP· FP3 1

2.(07,山东,理)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的 一点, FA 与 x 轴正向的夹角为 60°,则 OA 为

2 1p 2

3.(07,全国 I,理)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛 物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是( C ) A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8

4.(07,全国 II,理)设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A,B,C 为该抛物线上三点,若

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC ? ( B
A.9 B.6 C.4
2

) D.3

5.(08,海南宁夏,.理)已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q (2, ?1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A ) A. (

1 ,-1) 4

B. (

1 ,1) 4

C. (1,2)

D. (1,-2)

6.(08.全国 I.理数) 已知抛物线 y ? ax2 ?1 的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三 个交点为顶点的三角形面积为 2 .

2 7.(08,全国 II,理)已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于

A,B 两点.设 FA ? FB ,则 FA 与 FB 的比值等于

3? 2 2



2 8.(08,山东,理)如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) , M 为 直线 y ? ?2 p 上任意一

—————————————————————————高中数学知识点框架 点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A , B . (Ⅰ)求证: A, M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为 ( 2,?2 p ) 时, AB ? 4 10 ,求此时抛物线的方程;
2 (Ⅲ)是否存在点 M ,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x ? 2 py ( p>0) 上,

其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB ( O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由. 答案: (Ⅰ)
2 2 (Ⅱ)抛物线方程为 x ? 2 y 或 x ? 4 y.

????

??? ??? ? ?

(Ⅲ)M(0,-2p)适合题意

9.(09,海南,理)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F (1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点。若 AB 的中点为 (2, 2) ,则直线 l 的方程为_____ y ? x ________.

2 10. ( 09 , 全 国 I , 理 ) 如 图 , 已 知 抛 物 线 E : y ? x与 圆

M : ( x? 42) ? y2 ? r2 (r ? 0 ) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点。
(I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交 点 P 坐标 答案: r ? ( (I)

7 15 ) 设点 P 的坐标为: 当且仅当 t ? 时 S 取最大值, P ( x p,0 设 , 4)(II) 6 2
x1 ? x2 x1 ? x2 ? x1 x1 ? x p
得 xp ?

由 A、P、C 三点共线,则

x1 x2 ? t ?

7 。 6

—————————————————————————高中数学知识点框架
2 11.(09,全理 II,理)已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两

点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? D

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

12(10,湖北,理)(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 答案:(Ⅰ) y ? 4 x ( x ? 0)
2

??? ??? ? ?

(Ⅱ)存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) ,且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, 都有

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2)
13(10,辽宁,理)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|= B (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 (D) 16

14(10,全国Ⅰ,理)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,
2

点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上;

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9 1 2 4 2 答案: (II)圆 M 的方程为 ( x ? ) ? y ? 9 9
(Ⅱ)设 FA?FB ?
2 15(10,全国 II,理)已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1 ,0) 且斜率为 3

??? ??? ? ?

的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?
2 2 2

???? ?

????

2

16(10,陕西,理)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为(C) A.

1 2

B. 1

C.2

D.4

—————————————————————————高中数学知识点框架 17(10,上海,理)若动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 点 P 的轨迹方程为_ y ? 8 x _____;
2

直线与圆锥曲线的位置关系

求动点轨迹与方程

曲线与方程的应用


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