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北京市东城区2012-2013第一学期高三期末数学统一练习文科


东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 (1)设集合 U ? {1, 2 , 3, 4 , 5} , A ? {1, 2 , 3} , B ? { 2 , 3, 4} ,则 ?U ( A ? B ) 等于 (A) { 2 , 3} (2)复数
2 1? i

(B) {1, 4 , 5} 等于 (B) ? 1 ? i

(C) { 4 , 5}

(D) {1, 5}

(A) ? 1 ? i

( C) 1 ? i

( D) 1 ? i

(3)已知 { a n } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a 3 ? 6 , S 3 ? 1 2 ,则公差 d 等于
5 3

(A) 1

(B)

(C) 2

(D) 3

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (5) x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”的 “
2

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? 2 y ? 8, ? ? 2 x ? y ? 8, x , y 满足不等式组 ? (6)已知 则目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为 ? x ? 0, ? y ? 0, ?

(A)

32 3

(B) 1 2

(C) 8

(D) 2 4

(7) 已知抛物线 y ? 2 p x 的焦点 F 到其准线的距离是 8 , 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K , A 在 点
2

抛物线上且 | A K | ? (A)32

2 | A F | ,则 ? A F K 的面积为

(B)16

(C)8

(D)4

1

(8)给出下列命题:①在区间 ( 0 , ? ? ) 上,函数 y

? x

?1

,y

? x2

,y

? ( x ? 1)

2

,

y ? x

3

中有三个是增函
f ( x ? 1)

数;②若 lo g m 3 ? lo g n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数
x

f (x)

是奇函数,则

的图象关

于点 A (1, 0 ) 对称;④若函数 f ( x ) ? 3 ? 2 x ? 3 ,则方程 f ( x ) ? 0 有 2 个实数根,其中正确命题 的个数为 (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,且 a , b 的夹角为
? 3 3 5

,则 a ? b =

,a?b ?



(10)若 s in ? ? ?

,且 ta n ? ? 0 ,则 c o s ? ?

. . ;

(11)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (12)已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为
2 2

若直线 y ? k x 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则 k ?



(13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p % ,第二次提价 q % ;方案乙:
p? q 2

每次都提价

% ,若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是

.

(14) 定义映射 f : A ? B , 其中 A ? {( m , n ) m , n ? R } ,B ? R , 已知对所有的有序正整数对 ( m , n ) 满足下述条件: ① f ( m ,1) ? 1 ,②若 n ? m , f ( m , n ) ? 0 ;③ f ( m ? 1, n ) ? n [ f ( m , n ) ? f ( m , n ? 1)] 则 f (2, 2) ? ; f (n, 2) ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 s in x c o s x ? c o s x .
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?
? 6 , ? 3 ] 上的最大值和最小值.

(16) (本小题共 13 分)
* 已知 { a n } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 ? a ( n ? N ) .

n

(Ⅰ)求 a 的值及数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? n a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

(17) (本小题共 13 分) 如图,在菱形 A B C D 中, M A ⊥平面 A B C D ,且四边形 A D N M 是平行四边形. (Ⅰ)求证: A C ⊥ B N ; (Ⅱ)当点 E 在 A B 的什么位置时,使得 A N // 平面 M E C ,并加以证明. N M

D

C B

A

E

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )?
1 3
3

x

? mx

2

? 3m x ? 1 , m ? R .
2

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 ( ? 2 , 3 ) 上是减函数,求 m 的取值范围.

(19) (本小题共 14 分)
1
3 2

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P ( 3 , ) ,离心率是
2



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 E ( ? 1 , 0 ) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 E A ? 2 E B ,求直线 l 的方程.

(20) (本小题共 14 分) 已知实数组成的数组 ( x 1 , x 2 , x 3 , ? , x n ) 满足条件:
n n

① ? xi ? 0 ;
i ?1

② ? xi ? 1 .
i ?1

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x 1 , x 2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ,且 a 1 ? a n ( n ? 2 ) ,
n

求证:

?
i ?1

ai xi ?

1 2

( a1 ? a n ) .

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)D (6)B (3)C (7)A (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 1
7

(10) ?
2 4

4 5

(11) 5 4

(12) ( 3 , 0 )

?

(13)乙

(14) 2

2 ?2
n

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)
3 2 1 ? cos 2 x 2

解: (Ⅰ) f ( x ) ?

s in 2 x ?

? s in ( 2 x ?

? 6

)?

1 2

.???????????????????4 分

所以 T ? ? .??????????????????????????6 分 (Ⅱ)因为 ?
? 6 ? 6 1 2 ? 6 ? 6 3 2 ? 6 ? 6 ? x ? ? 3 5? 6



所以 ?

? 2x ?

?



所以 ?

? s in ( 2 x ?

) ? 1 .?????????????????????10 分

当x ? ?

时,函数 f ( x ) 的最小值是 0 ,

当x ?

时,函数 f ( x ) 的最大值是

.????????????????13 分

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S 1 ? a 1 ? 2 ? a ? 0 .??????????????1 分

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 因为 { a n } 是等比数列, 所以 a 1 ? 2 ? a ? 2
1?1

n ?1

.?????????????????3 分

? 1 ,即 a 1 ? 1 . a ? ? 1 .?????????????5 分
n ?1

所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ? n a n ? n ? 2
2 n ?1

( n ? N ) .?????????????6 分
*

,设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n .
3 n ?1

则Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? n ? 2
2Tn ?
2 3

.
n ?1


? n?2 .
n n

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
2 n ?1



①-②得 ? T n ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2
? 1 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n ? 2 ????????9 分

)? n?2

n

? 1 ? 2 (1 ? 2

n ?1

) ? n ? 2 ??????????????11 分
n

? ? ( n ? 1) ? 2 ? 1 .???????????????????12 分
n

所以 T n ? ( n ? 1) ? 2 ? 1 .???????????????????????13 分
n

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)连结 B D ,则 A C ? B D . 由已知 D N ? 平面 A B C D , 因为 D N ? D B ? D , 所以 A C ? 平面 N D B . 又因为 B N ? 平面 N D B , 所以 A C ? B N . ??????????????????6 分 N

(Ⅱ)当 E 为 A B 的中点时,有 A N // 平面 M E C .??7 分
C M 与 B N 交于 F ,连结 E F .

由已知可得四边形 B C N M 是平行四边形,
F 是 B N 的中点,

M F D A B C

因为 E 是 A B 的中点, 所以 A N // E F .????????10 分 又 E F ? 平面 M E C ,
A N ? 平面 M E C ,

E

所以 A N // 平面 M E C .????????13 分 (18) (共 13 分)

解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x ) ?

1 3

x ? x ? 3x ? 1 ,
3 2

又 f '( x ) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f '( 2 ) ? 5 .
2

又 f (2) ?

5 3



所以所求切线方程为 y ?

5 3

? 5 ( x ? 2 ) ,即 1 5 x ? 3 y ? 2 5 ? 0 .

所以曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程为 15 x ? 3 y ? 25 ? 0 .???6 分 (Ⅱ)因为 f ' ( x )? x ? 2 mx ? 3 m ,
2 2

令 f '( x)? 0 ,得 x ? ? 3 m 或 x ? m .?????????8 分 当 m ? 0 时,
f '( x)? x
2

? 0

恒成立,不符合题意. ???????????9 分

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? 3 m , m ) ,若 f ( x ) 在区间 ( ? 2 , 3 ) 上是减函数,
? ?3m ? ?2, ?m ? 3.

则?

解得 m ? 3 .?????????????????11 分

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 ( m , ? 3 m ) ,若 f ( x ) 在区间 ( ? 2 , 3 ) 上是减函数,
? m ? ?2, ? ?3m ? 3.

则?

,解得 m ? ? 2 . ??????????13 分

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ? 2 . (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为
?c ? ? ?a ? 3 由已知可得 ? 2 ? ?a ?a2 ? ? ?
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0) .

3 2 1 4b
2

, ? 1, ??????????????????3 分
2

2

b ? c .

解得 a ? 4 , b ? 1 .

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1 .?????????????????????6 分

4

(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E ( ? 1, 0 ) 的直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,
3 2 3 2

此时 A ( ? 1,

), B ( ? 1, -

)



显然 E A ? 2 E B 不成立.??????????7 分

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
?x 2 ? y ? 1, ? 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
2

整理得 ( 4 k ? 1) x ? 8 k x ? 4 k ? 4 ? 0 .??????????????????9 分
2 2 2 2

由 ? ? (8 k ) ? 4 ( 4 k ? 1)( 4 k ? 4 )
2 2 2 2

? 4 8k

2

? 1 6? . 0

设 A ( x 1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ) .
8k 4k
2 2

故 x1 ? x 2 ? ?

?1

,①

x1 x 2 ?

4k 4k

2 2

? 4 ?1

. ②????????????10 分

因为 E A ? 2 E B ,即 x 1 ? 2 x 2 ? ? 3 .③
15 6

①②③联立解得 k ? ?



????????????13 分

所以直线 l 的方程为 1 5 x ? 6 y ? 1 5 ? 0 和 1 5 x ? 6 y ? 1 5 ? 0 .?????14 分 (20) (共 14 分) (Ⅰ)解: ?
? x1 ? x 2 ? 0 , ? ? x1 ? x 2 ? 1 . ? (1) (2)

由(1)得 x 2 ? ? x 1 ,再由(2)知 x 1 ? 0 ,且 x 2 ? 0 .
1 ? x ? , ? 1 ? 2 当 x 1 ? 0 时, x 2 ? 0 .得 2 x 1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 ?x ? ? 1 . ? 2 ? 2

1 ? x ? ? , ? 1 ? 2 当 x 1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 ?x ? 1 . ? 2 ? 2

(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时,

由已知 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 , x1 ? x 2 ? x 3 = 1 .

所以 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x1 ? 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? x 3

? x1 ? x 3

? x1 ? x 3 ? 1 .??????????????????9 分

(Ⅲ)证明:因为 a 1 ? a i ? a n ,且 a 1 ? a n ( i ? 1, 2 , 3, ? , n ) .

所以 ( a 1 ? a i ) ? ( a i ? a n ) ? ( a 1 ? a i ) ? ( a i ? a n ) ? a 1 ? a n ,

即 a1 + a n ? 2 a i ? a1 ? a n

( i ? 1, 2 , 3, ? , n ) .???????????11 分

n

n

?
i ?1

ai xi ?

?
i ?1

ai xi ?

1 2

n

a1 ? x i ?
i ?1

1 2

n

a n ? xi ?
i ?1

1 2

n

?
i ?1

( 2 a i ? a1 ? a n ) x i

?

1 2

n

?
i ?1

( a1 ? a n ? 2 a i x i ) ?

1 2

n

?
i ?1

( a1 ? a n x i )

?

1 2

n

a1 ? a n

?
i ?1

xi

?

1 2

( a 1 ? a n ) .???????????????????????14 分


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