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第六章 定积分的应用经典例题

第六章 定积分的应用
例 8 求出
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1和

x b

2 2

?

y a

2 2

? 1 的图形的公共部分的面积(其中 a ? b ? 0

).

解 如图(见系统演示),由对称性可知,所求面积为阴影部分面积的 8 倍,且线段 OA 在直线 y ? x 上. 令 x ? r cos ? , y ? r sin ? , 代入方程
x b
2 2

?

y a

2 2

?1
2

得其极坐标方程为 r
?

?

a b a cos
2 2

2

2 2 2

? ? b sin ?
a b
2 2 2 2

于是所求面积可表示为
S ? 8? 1 2
2 2

?

?

4

0

r (? ) d ? ? 4 ?
2

4

0

a cos
?
4

2

2

? ? b sin ?
b a .

d?

?b ? ? 4a b ? arctan ? tan ? ? ab ?a ? 1

? 4 abacr tan

0

例 2 (E03) 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量, 下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬 链线. 适当选取坐标系后,悬链线的方程为 y ? k cosh
x k

, 其中 k 为常数. 计算悬链线上介

于 x ? ? b 与 x ? b 之间一段弧的长度. 解 如图,由于对称性,要计算弧长为相应于 x 从 0 到 b 的一段曲线弧长的两倍.
y ? ? sh x c ,

弧长微元:

ds ?

1 ? sh

2

x c

dx ? ch

x c

dx .

故所求弧长为

x? b ? ? 2 c ? sh ? ? 2 csh . s ? 2 c ch 0 c ?o c c ?

?

b

x

b

例 6 证明正弦线 y ? a sin x ( 0 ? x ? 2? ) 的弧长等于椭圆
x ? cos t ? ( 0 ? t ? 2 ? ) 的周长. ? 2 ? y ? 1 ? a sin t


s1 ?

设正弦线的弧长为 s1 , 则
1 ? y ? dx ?
2

?

2?

0

?

2?

1 ? a cos

2

2

x dx ? 2

0

?

?

1 ? a cos

2

2

x dx ,

0

设椭圆的周长为 s 2 , 则
s2 ?

?

2?

0

2 2 ( x t? ) ? ( y t? ) dt ? 2

?
?

?

(sin t ) ? (1 ? a )(cos t ) dt

2

2

2

(利用椭圆的对称性)

0

? 2

?

?

1 ? a cos t dt ? 2

2

2

0

?

1 ? a cos

2

2

0

x dx ? s 1 ,

故原结论成立.

例 7 求极坐标系下曲线 r ? a ? sin
?
2

?

? ?

3

? ( a ? 0 , 0 ? ? ? 3? ) 的长. 3?
2



? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? r ? ? 3a ? s i n ? ? c o s ? ? a ? s i n ? ? c o s , 3? 3 3? 3 3 ? ?
3?

?s ?

??
3 2

?

r (? ) ? r ? (? ) d ? ?
2 2

?

0

? ? ? ? ? ? ? 2? 2? a ? sin ? ? a ? sin ? ? cos ? d ? ? a 3? 3? ? 3? ? ?

6

4

2

?

3?

0

? ? ? ? sin ? d? 3? ?

2

?

? a.