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《步步高


5.2

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[学习要求]

平行关系的性质

1.掌握直线与平面平行及平面与平面平行的性质定理,会
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应用这两个定理证明两条直线平行; 2.会用图形语言、符号语言表述这两个定理. [学法指导] 通过观察空间中直线与平面平行及平面与平面平行所用 到的实物及模型, 归纳抽象出直线与平面平行的性质定理 和平面与平面平行的性质定理, 培养空间问题平面化的思 想及数学中化归与转化的思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行, 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直 线 平行 . 2.面面平行的性质:(1)如果两个平面平行,那么其中一个 平面内的 任意直线 均平行于另一个平面.(2)如果两个 平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的 交线 平行.

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[问题情境] 线面平行与面面平行的判定定理解决了线面平行与面面平 行的条件问题,反之,在线面平行与面面平行的条件下, 可以得到什么结论呢?本节我们就来研究这个问题.

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探究点一 问题 1 直线与平面平行的性质

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如果一条直线与平面平行,那么这条直线是否与这个

平面内的所有直线都平行?
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答 如果一条直线与平面平行,这条直线不会与这个平面内 的所有直线都平行,但在这个平面内却有无数条直线与这条 直线平行.

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问题 2 观察下图(1)(2)长方体中的直线 a,b 及平面 α,β, 你能发现什么规律?

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直线 a∥平面 α,经过 a 的平面 β 与 α 的交线是 b,这

时,a∥b. 问题 3 一般地,如果直线 l∥平面 α,l? 平面 β,α∩β=b,这
时,直线 b 与 l 平行吗?为什么? 答 平行. 原因如下: 因为 l∥α, 所以 l 和 α 没有公共点. 又
因为 b 在 α 内,所以 l 与 b 也没有公共点.而 l 和 b 都在平 面 β 内,又没有公共点,所以 b∥l.如图所示.

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小结
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线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平

行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直 线平行.

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问题 4


线面平行的性质定理如何用符号语言表示?线面平

行的性质定理有何用途?
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符号表示:a∥α,a? 平面 β,α∩β=b?a∥b.用途是用来

证明两直线平行.

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例1 如图所示,A,B,C,D 在同一平面内,

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AB∥平面 α,AC∥BD,且 AC,BD 与 α 分别 交于点 C,D,求证:AC=BD. 证明 连接 CD.
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因为 A,B,C,D 在同一平面内,AB∥平 面 α, 所以 AB∥CD.
又因为 AC∥BD, 所以四边形 ABDC 是平行四边形, 因此 AC=BD.

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小结
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平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行,

则就可以得到这条直线和这个平面平行;但是若一条直线与 一个平面平行,则这条直线并不是和平面内的任一条直线平 行,它只与该平面内与它共面的直线平行.

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跟踪训练 1 如图所示的一块木料中, BC 平 棱 行于面 A′C′. (1)要经过面 A′C′内一点 P 和棱 BC 将木料 锯开,应怎样画线?
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(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系?
解 (1)如图,在平面 A′C′内,过点 P 作直 线 EF, EF∥B′C′, 使 并分别交棱 A′B′, C′D′于点 E,F. 连接 BE,CF.
则 EF、BE、CF 就是应画的线.
(2)因为棱 BC 平行于平面 A′C′,平面 BC′与平面 A′C′交于 B′C′,所以 BC∥B′C′.

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EF∥BC ? ? 由(1)知,EF∥BC,因此 EF 平面AC??EF∥平面AC. ? BC? 平面AC ?

BE、CF 显然都与平面 AC 相交.

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探究点二 问题 1 平面与平面平行的性质

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如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另一个

平面有什么位置关系? 答 如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另一个平面
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平行. 问题 2 如果两个平面平行, 两个平面内的直线有什么位置关系?
答 借助长方体模型,如图,B′D′所在的平面A′C′与

平面AC平行,所以B′D′与平面AC没有公共点.因此,直 线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线,要么是 平行直线.

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问题 3 在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,平面 AC 内哪 些直线与直线 B′D′平行呢?如何找到它们呢?
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答 平面 AC 内的直线只要与直线 B′D′共面就平行. 在平 面 AC 中,与 BD 平行的直线也平行直线 B′D′.
问题 4
答 小结

当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线有

什么关系?
两条交线平行. 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个

平面相交,那么它们的交线平行.

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问题5 你能写出面面平行的性质定理的已知与求证,并给 出证明吗? 答 已知 如右图,平面 α,β,γ 满足 α∥β,
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α∩γ=a,β∩γ=b, 求证 a∥b. 证明 ∵α∩γ=a,β∩γ=b,
∴a? α,b? β. ∵α∥β,∴a,b 没有公共点, 又因为 a,b 同在平面 γ 内, 所以 a∥b.

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问题 6 如何用符号语言表示面面平行的性质定理?这个定 理的作用是什么?
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? α∥β ? ??a∥b; α∩γ=a,β∩γ=b? ?



定理的作用是由面面平行证明线线平行.

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例2 已知:平面 α∥平面 β∥平面 γ,两条 直线 l,m 分别与平面 α,β,γ 相交于点 A, B,C 和点 D,E,F(如右图). AB DE 求证:BC=EF . 证明 连接 DC,设 DC 与平面 β 相交于点 G,
则平面 ACD 与平面 α,β 分别相交于直线 AD, BG, 平面 DCF 与平面 β, 分别相交于直线 GE, γ CF.
因为 α∥β,β∥γ.所以 BG∥AD,GE∥CF. AB DG DG DE 于是,得BC=GC ,GC = EF , AB DE 所以BC= EF . 小结 由本例题可以得出一个重要结论: 两条直线被三个平行平
面所截,截得的对应线段成比例.

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跟踪训练 2 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知 α∥β,AB∥CD,且 A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,如下 图.求证:AB=CD.
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证明

因为 AB∥CD,所以过 AB,CD 可作平面 γ,且平面 γ

与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD. 因为 α∥β,所以 BD∥AC.因此,四边形 ABDC 是平行四边 形.所以 AB=CD.

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1.a,b 是两条异面直线,P 是空间一点,过 P 作平面与 a,
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b 都平行,这样的平面 A.只有一个 C.不一定有 B.至多有两个 D.有无数个

( C )

解析 当点 P 在直线 a 上或在直线 b 上时,就不存在过点 P 与 a,b 都平行的平面;当点 P 既不在直线 a 上,也不在直线 b 上时,过 P 有且只有一平面与 a,b 都平行.

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2.已知直线 l∥平面 α,l? 平面 β,α∩β=m,则直线 l,m 的位置关 系是
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( B ) B.平行 C.异面 D.相交或异面

A.相交

解析

由直线与平面平行的性质定理知 l∥m.

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3.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形, 则在下列命题中, 错误的为( C ) A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN
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C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

解析 ∵截面 PQMN 为正方形, ∴PQ∥MN,PQ∥面 DAC.
又∵面 ABC∩面 ADC=AC,PQ? ABC, 面 ∴PQ∥AC, 同理可证 QM∥BD. 故有选项 A、B、D 正确,C 错误.

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1.证明平面与平面平行的一般思路:要证面面平行,只要证线面 平行,而要证线面平行,只要证线线平行.在立体几何中,往
本 课 2.两个平面平行具有如下的一些性质: 时 栏 (1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一 目 个平面平行; 开 关

往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决.

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行; (3)夹在两个平行平面间的平行线段相等.


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