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江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)2009届高三第三次调研考试数学试题09.3.31


不注册, 一起学习教学资源站 www.17xue7.com 不注册,不收费 江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)2009 江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)2009 届高三第三次调研考试数学试题 09.3.31
注 意 事 项中国数学教育网 http://www.mathedu.cn
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分,共 160 分.考 试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、考试号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.

小题, 不需写出解答过程.请把答案直接填写在答案卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直接填写在答案卷 填空题: ... 上. . 1、已知集合 A = {3,m 2 , B = {?1,3,2m ? 1}, 若 A ? B ,则实数 m 的值为 2、若复数 z = ( 2 ? i )(a ? i ), (i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为

}

▲ ▲

. .

3、一个几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正方形,其俯视图是直径为的圆,则该几何体的表面积为 ▲ . ▲ .

4、如图,给出一个算法的伪代码, 则 f ( ?3) + f ( 2) =

Re ad x If x ≤ 0 Then
主视图 左视图

f ( x) ← 4 x Else f ( x) ← 2 x

俯视图 (第 3 题)

End If Pr int f ( x)
(第 4 题)

5、已知直线 l1 : x + ay + 6 = 和l2 : (a ? 2) x + 3 y + 2a = 0, 则l1 // l2 的充要条件是 a =



.

6、高三⑴班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,┅,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4 的样本,已 知学号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 ▲ .

7、在一次招聘口试中,每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答,答对其中 2 道题即为及格,
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若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题,则这位考生能够及格的概率为 8、设方程 2 x + x = 4的根为 x0 , 若x0 ∈ ( k ? ▲ .

1 1 ▲ . , k + ), 则整数k = 2 2 1 9、已知函数 f ( x ) = a log 2 x ? b log 3 x + 2, 若f ( ) = 4.则f (2009) 的值为 2009



.

10、已知平面区域 U = ( x, y ) x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 , A = ( x, y ) x ≤ 4, y ≥ 0, x ? 2 y ≥ 0 ,若向区域 U 内随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为
2

{

}

{

}



.
2

y2 1 双曲线 x ? = 1 的左顶点为 A , 11、已知抛物线 y = 2 px( p > 0)上一点M( ,m) 到其焦点的距离为 5, a
若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = ▲ .

12、已知平面向量 a , b , c 满足a + b + c = 0, 且a与b的夹角为135°,c 与b 的夹角为 120° , c = 2, 则 a = ▲ .

13、函数 y = x ? 2 sin x在区间[ ?

2π 2π , ] 上的最大值为 3 3



.

y
? ? ? ? ? ? ?
6

14、如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均 为整数的点)按如下规则表上数字标签:原点处 标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点 (0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4,点(-1,0) 标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1)处标 7,以此 类推,则标签 2009 2 的格点的坐标为 ▲ .

? ?
7

? ? ?
8 1

? ?9 ?10 ? 11 ?
12

?5 ? ?
4

?0 ? ?
3

x

?2 ?
13

(第 14 题)

二、解答题: 本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题: (本大题共 道题, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 解答应写出必要的文字说明 15. (本题满分 14 分) 在斜△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 且 (1)求角 A ; (2)若

b 2 ? a 2 ? c 2 cos( A + C ) . = ac sin A cos A

sin B > 2 ,求角 C 的取值范围。 cos C

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16.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, OA ⊥平面 ABCD , E 为 OA 的中点, F 为 BC 的中 点,求证: (1)平面 BDO ⊥平面 ACO ; (2) EF //平面 OCD .
A
C O

E

M

D

B

F

(第 16 题)

17、(本题满分 14 分) 已知圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = 1, 直线l1过点A(3, 且与圆 O 相切。 0), (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P , Q 两点, M 是圆 O 上异于 P , Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2 , 直线 PM 交直线 l2 于点 P ' ,直线 QM 交直线 l2 于点 Q ' 。 求证:以 P 'Q ' 为直径的圆 C 总经过定点,并求出定点坐标。

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18、 (本题满分 16 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大桥上的车距 d ( m) 与 车速 v ( km / h ) 和车长 l (m) 的关系满足: d = kv 2l +

1 ,假定车身长为 4m ,当车速为 l ( k 为正的常数) 2

60( km / h) 时,车距为 2.66 个车身长。
(1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

19、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = ax ? 3, g ( x ) = bx ?1 + cx ? 2 ( a, b ∈ R )且g ( ? ) ? g (1) = f (0). (1)试求 b, c 所满足的关系式;

1 2

+ 有唯一解,求 a 的取值范围; (2)若 b = 0 ,方程 f ( x) = g ( x)在(0, ∞)
(3)若 b = 1 ,集合 A = x f ( x) > g ( x), 且g ( x) < 0 ,试求集合 A 。

{

}

20、(本题满分 16 分) 已知数列 a , b, c 为各项都是正数的等差数列,公差为 d ( d > 0) ,在 a , b 之间和 b, c 之间共插入 m 个实数后, 所得到的 m + 3 个数所组成的数列 {an }是等比数列,其公比为 q . (1)若 a = 1, m = 1 ,求公差 d ; (2)若在 a , b 之间和 b, c 之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的 m m 数的乘积(用 a , c, m 表示) (3)求证: q 是无理数。

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2009 届高三第三次调研考试数学附加题
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考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,包含选做题(第 21 题 A、B、C、D 四小题) 、必做题(第 22 题、第 23 题)两部分, 共 40 分.考试用时 30 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、考试号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.

21、 选做题 【选做题 选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分。 (选修 1.几何证明选讲 几何证明选讲) A、 选修 4-1.几何证明选讲) ( 如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O , AB = AD ,过 A 点的切线交 CB 的延长线于 E 点。 求证: AB 2 = BE ? CD

E

B

A

O? C

黄伦编辑

D

(选修 2.矩阵与变换 矩阵与变换) B、 选修 4-2.矩阵与变换) (

? ? 求曲线 C : xy = 1 在矩阵 A = ? ? ?? ?

2 2 ?    ? 2 2 ? 对应的变换下得到的曲线 C ′ 的方程。 2 2?     ? 2 2 ?

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(选修 4.坐标系与参数方程 坐标系与参数方程) C、 选修 4-4.坐标系与参数方程) ( 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4 sin θ ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线

1 ? ?x = 2 t ? l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度。 ? y = 3 t +1 ? ? 2

(选修 5.不等式选讲 不等式选讲) D、 选修 4-5.不等式选讲) ( 已知 a , b, c 为正数,且满足 a cos 2 θ + b sin 2 θ < c ,求证: a cos
2

θ + b sin 2 θ < c

【必做题 必做题】每题 10 分,共 20 分 必做题 22、已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,

P

AD ∥ BC , ∠ABC = 90 , PA ⊥ 平面 ABCD ,
AB = BC = 2 AD, 若平面 PCD 与平面 PAB 所成
二面角的余弦值为

A

D

6 PA ,求 的值。 3 AD

B

(第 22 题) 第

C

23、已知 an = An + A n +iii+ A n
1 2 n

( n = 1, 2,3,iii ) ,当 n ≥ 2 时,求证:

⑴ a n ?1 + 1 = ⑵ (1 +

an ; n

1 1 1 1 1 )(1 + )(1 + ) ? (1 + ) ≤ 3 ? a1 a2 a3 an n

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不注册, 一起学习教学资源站 www.17xue7.com 不注册,不收费 2009 届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分标准
1.1 8.1 2.

1 2

3. 6π 10. 10

4.-8 11. 11
1 4

5. a = ? 1 12. 6 12

6.20 13. 3 ? 13

7.

9.0

2 9

π
3

7 10

14. 14 (1005,1004)

15.⑴ ∵ 又∵

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A + C ) 2 cos B = ?2 cos B, =? , ,……………………………… 2 分 ac sin A cos A sin 2 A

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A + C ) ?2 cos B = ,∴ ?2 cos B = , 而 ?ABC 为斜三角形, ac sin A cos A sin 2 A
……………………………………………………………… 4 分

∵ cosB ≠ 0 ,∴ sin2A=1 . ∵ A ∈ (0, π ) ,∴ 2 A =

π
2

,A=

π
4

. …………………………………………………… 6 分
? 3π ? 3π 3π

sin ? ? C ? sin cos C ? cos sin C 3π 2 2 ?= 4 4 ⑵∵ B + C = ,∴ sin B = ? 4 = + tan C > 2 …12 分 4 cos C cos C cos C 2 2

即 tan C > 1 ,∵ 0 < C <

3π π π ,∴ < C < .…………………………………14 分 4 4 2

16.⑴∵ OA ⊥ 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 OA ⊥ BD ,…2 分 ∵ ABCD 是菱形,∴ AC ⊥ BD ,又 OA ∩ AC = A , ∴ BD ⊥ 平面 OAC ,……………………………………………………4 分 又∵ BD ? 平面 OBD ,∴平面 BDO ⊥ 平面 ACO . ……………………………………6 分 ⑵取 OD 中点 M ,连接 EM ,CM ,则 ME‖ AD, ME = ∵ ABCD 是菱形,∴ AD // BC , AD = BC , ∵ F 为 BC 的中点,∴ CF‖ AD, CF = ∴ ME‖ CF , ME = CF . ∴四边形 EFCM 是平行四边形,∴ EF // CM ,………………12 分 又∵ EF ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD . ∴ EF‖ 平面 OCD . ………………………………………………………………14 分
B F
C

1 AD , 2

O

E

M

1 AD ,………………10 分 2

A

D

17.(1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x 2 + y 2 = 1 相切, 设直线 l1 的方程为 y = k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k = 0 , …………………………2 分 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d =

| 3k | k +1
2

= 1 ,解得 k = ±

2 , 4

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∴直线 l1 的方程为 y = ±

2 2 ( x ? 3) ,即 y = ± ( x ? 3) . …… …………………4 分 4 4

(2)对于圆方程 x 2 + y 2 = 1 ,令 y = 0 ,得 x = ±1 ,即 P (?1,0), Q (1,0) .又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直,∴直 线 l2 方程为 x = 3 ,设 M ( s , t ) ,则直线 PM 方程为 y =

t ( x + 1). s +1

? x = 3, 4t 2t ? ). 同理可得, Q' (3, ). ……………… 10 分 ,得 P ' (3, 解方程组 ? t s +1 s ?1 y= ( x + 1) ? s +1 ?
∴以 P ′Q ′ 为直径的圆 C ′ 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) + ( y ? 又 s 2 + t 2 = 1 ,∴整理得 ( x 2 + y 2 - 6 x + 1) +

4t 2t )( y ? ) = 0, s +1 s ?1

6s - 2 y = 0 ,……………………… 12 分 t

若圆 C ′ 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x = 3 ± 2 2 , ∴圆 C ′ 总经过定点坐标为 (3 ± 2 2,0) . …………………………………………… 14 分

1 2.66l ? l 2 = 2.16 = 0.0006 , ……4 分 18.⑴因为当 v = 60 时, d = 2.66l ,所以 k = 2 60 l 60 2
∴ d = 0.0024v 2 + 2 ………………………………………………………6 分

⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q =

1000v 1000 .即 Q = 1000v ……12 分 = 2 d +4 0.0024v + 6 0.0024v + 6
v

∵ 0.0024v + ≥ 2 0.0024v × ∴Q≤

6 v

6 = 0.24 ,…………………………………………………14 分 v

1000 12500 6 12500 = ,当且仅当 0.0024v = ,即 v = 50 时, Q 取最大值 . 0.24 3 v 3 y 答:当 v = 50 ( km / h ) 时,大桥每小时通过的车辆最多.………16 分 1 2

19.(1)由 g (? ) ? g (1) = f (0) ,得 (?2b + 4c) ? (b + c) = ?3 ∴b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 = 0 .……………………2 分 (2)由 b = 0 , b ? c ? 1 = 0 ,可得 c = ?1 . 方程 f ( x) = g ( x) ,即 ax ? 3 = ? x ?2 ,可化为 a = 3 x ?1 ? x ?3 , 令 x ?1 = t ,则由题意可得, a = 3t ? t 3 在 (0,+∞) 上有唯一解,…4 分 令 h(t ) = 3t ? t 3 (t > 0) ,由 h ′(t ) = 3 ? 3t 2 = 0 ,可得 t = 1 ,
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O

x

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当 0 < t < 1 时,由 h ′(t ) > 0 ,可知 h(t ) 是增函数; 当 t > 1 时,由 h ′(t ) < 0 ,可知 h(t ) 是减函数.故当 t = 1 时, h(t ) 取极大值 2 .………6 分 由函数 h(t ) 的图象可知,当 a = 2 或 a ≤ 0 时,方程 f ( x) = g ( x) 有且仅有一个正实数解. 故所求 a 的取值范围是 {a | a = 2 或 a ≤ 0} . ……………………………………………8 分 ( 3 ) 由 b = 1 , b ? c ? 1 = 0 , 可 得 c = 0 . 由 A = {x | f ( x) > g ( x) 且 g ( x) < 0} = {x | ax ? 3 >

1 且 x

x < 0} = {x | ax 2 ? 3x ? 1 < 0 且 x < 0} .…10 分
当 a > 0 时, A = (

1 3 ? 9 + 4a ,0) ;当 a = 0 时, A = (? ,0) ; 2a 3

当a < ?

2 9 9 时( ? = 9 + 4a < 0 ) A = (?∞,0) ;当 a = ? 时, A = {x | x < 0 且 x ≠ ? } ; , 4 4 3

当?

9 3 + 9 + 4a 3 ? 9 + 4a < a < 0 时, A = (?∞, ) ∪( ,0) . ………………………16 分 4 2a 2a 1 的图象来解决问题. x

注:可直接通过研究函数 y = ax ? 3 与 y =

20. (1)由 a = 1 ,且等差数列 a, b, c 的公差为 d ,可知 b = 1 + d , c = 1 + 2d , 若插入的一个数在 a, b 之间,则 1 + d = q 2 , 1 + 2d = q 3 , 消去 q 可得 (1 + 2d ) 2 = (1 + d ) 3 ,其正根为 d =

1+ 5 . ………………………………2 分 2

若插入的一个数在 b, c 之间,则 1 + d = q , 1 + 2d = q 3 , 消去 q 可得 1 + 2d = (1 + d ) 3 ,此方程无正根.故所求公差 d =

1+ 5 .………4 分 2

(2)设在 a, b 之间插入 l 个数,在 b, c 之间插入 t 个数,则 l + t = m ,在等比数列 {a n } 中, ∵ a1 = a, a l + 2 = b =

a+c , a m +3 = c , a k a m + 4 ? k = a1 a m + 3 = ac (k = 2,3,4, …, m + 2) , 2
………………8 分

∴ (a 2 a 3 … a m + 2 ) 2 = (a 2 a m + 2 )(a 3 a m +1 ) … (a m +1 a 3 )(a m + 2 a 2 ) = (ac) m +1 又∵ q l +1 =

b c > 0 , q t +1 = > 0 , l, t 都为奇数,∴ q 可以为正数,也可以为负数. a b
m +1 (ac) 2 ,所插入 m

①若 q 为正数,则 a 2 a 3 … a m + 2 =

个数的积为

m +1 a2 a3 ? am + 2 2 = (ac) 2 ; b a+c

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②若 q 为负数, a 2 ,a 3 , … , a m + 2 中共有 当

m + 1 个负数, 2

m +1 m a a ? am + 2 2 是奇数,即 m = 4k ? 2(k ∈ N*)时,所插入 m 个数的积为 2 3 = (ac) 2 ; b a+c 2 m +1 m a a ? am + 2 2 * 是偶数,即 m = 4k (k ∈ N )时,所插入 m 个数的积为 2 3 =? (ac) 2 . b a+c 2 m +1 a2 a3 ? am + 2 2 = (ac) 2 ; b a+c



综上所述,当 m = 4k ? 2(k ∈ N )时,所插入 m 个数的积为
*

当 m = 4k (k ∈ N )时,所插入 m 个数的积为
*

m +1 a2 a3 ? am + 2 2 =± ( ac) 2 .…………10 分 b a+c

注:可先将 a 2 ,a 3 , … , a m + 2 用 a 和 q 表示,然后再利用条件消去 q 进行求解. (3)∵在等比数列 {a n } ,由 q l +1 =

b a+d d 2d = ,可得 q l +1 ? 1 = ,同理可得 q m+ 2 ? 1 = , a a a a

∴ q m + 2 ? 1 = 2(q l +1 ? 1) ,即 q m + 2 = 2q l +1 ? 1 (m ≥ l ) , …………………………12 分 假设 q 是有理数,若 q 为整数,∵ a, b, c 是正数,且 d > 0 ,∴ | q |> 1 , 在 2q l +1 ? q m + 2 = 1 中,∵ 2q l +1 ? q m + 2 是 q 的倍数,故 1 也是 q 的倍数,矛盾. 若 q 不是整数,可设 q =

y (其中 x, y 为互素的整数, x > 1 ) , x

则有 ( ) m + 2 = 2( ) l +1 ? 1 ,即 y m + 2 = x m ?l +1 (2 y l +1 ? x l +1 ) , ∵ m ≥ l ,可得 m ? l + 1 ≥ 1 ,∴ y m + 2 是 x 的倍数,即 y 是 x 的倍数,矛盾. ∴ q 是无理数.……………………………………16 分

y x

y x

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21A.证明:连结 AC. .证明: 因为 EA 切 ⊙O 于 A, 所以∠EAB=∠ACB. 因为 AB = AD ,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD. 于是∠EAB=∠ACD. ……………………………………………4 分 又四边形 ABCD 内接于 ⊙O ,所以∠ABE=∠D. 所以 ?ABE ∽ ?CDA .
第 21A 题

E A B

· O
C

D

于是 AB = BE ,即 AB ? DA = BE ? CD . CD DA 所以 AB 2 = BE ? CD . ……………………………………………………………10 分

′ ′ 21B.解:设 P ( x0 , y0 ) 为曲线 xy = 1 上的任意一点,在矩阵 A 变换下得到另一点 P ′( x0 , y0 ) , .

? 2 2?    ? ? ′ ? x0 ? 2 2 ? ? x0 ? ,………………………………………………………………………4 分 则有 ? ? = ? ? ? ?y′   ? 2 2 ? ?y0  0? ?     ?? ? ? 2 2 ?
? ? 2 2 ′ ′ ′ ( x0 + y0 ), ( x0 ? y0 ), ? x0 = ? x0 = ? ? 2 2 即? 所以 ? ……………………………………………………8 分 2 2 ? ′ ? ′ ′ ? y0 = 2 ( y0 ? x0 ), ? y0 = 2 ( x0 + y0 ), ? ? 又因为点 P 在曲线 xy = 1 上,所以 x0 y0 = 1 ,

′ ′ 故有 x02 ? y0 2 = 2

即所得曲线方程 x 2 ? y 2 = 2 .………………………………………………… 10 分

21C.解:将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2 + y 2 ? 4 y = 0 , . 即 x 2 + ( y ? 2)2 = 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆, 直线方程 l 的普通方程为 y = 3 x + 1 , 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d = ………………………………4 分 ………………………………6 分

1 ,……………………………………………………………………8 分 2
1 2
……………………………………10 分

故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 2 2 ? ( ) 2 = 15 .

21D. 21D.解:由柯西不等式,得
1

a cos 2 θ + b sin 2 θ
1

z

≤ [( a cos θ ) 2 + ( b sin θ ) 2 ]2 (cos 2 θ + sin 2 θ ) 2 = (a cos 2 θ + b sin 2 θ ) 2 < c .
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1

P

…………………

y 一起学习教学资源站 www.17xue7.com 不注册,不收费 O 不注册,

( A)

D

B

C
第 22 题

x

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……………………………………………10 分 22.以点 A 为坐标原点, 以 AB, AD, AP 分别为 x, y, z 轴,建立如图空间直角坐标系, 不妨设 AD = 1, PA = a, 则 P(0, 0, a ), D (0,1,0), C (2, 2, 0). 所以 PD = (0,1,0),

= ( 2,1,0).
① ②

设平面 SDC 的法向量为 m = ( x, y , z ), 则 PD ? m = y ? za = 0
DC ? m = 2 x + y = 0

不妨设 z = 2, 则 y = 2 a, x = ? a , 即 m = ( ? a, 2 a, 2). …………………………………2 分 又因为 PA ⊥ 平面 ABCD , 所以 DA ⊥ PA, 又因为 AD ∥ BC , ∠ABC = 90 , 所以 DA ⊥ AB , 故 DA ⊥ 平面 PAB, 即 AD 是平面 PAB 的一个法向量, 且 AD = (0,1,0), ……………………………………………………………………………………4 分 因为 cos < m, AD >=

m ? AD m AD

=

2a 4 + 5a 2

, ……………………………………………………6 分
6 . 3
…………………………………………10 分

又平面 PDC 与平面 PAB 所成二面角的余弦值为 故

2a 4 + 5a 2

=

6 PA , 解得 a = 2, 因此 = 2. AD 3

23.(1)因为 A k = n

(n ? 1)! n! ? =n? = nA k ?1 (2 ≤ k ≤ n) , n 1 (n ? k )! [(n ? 1) ? (k ? 1)]!

所以当 n ≥ 2 时,

an 1 1 = (A 1 + A 2 + ? + A n ) = [ n + (nA 1 ?1 + ? + nA n ?1 )] n n n n n ?1 n n n

= 1 + (A 1 ?1 + ? + A n ?1 ) = 1 + a n ?1 . n n ?1 an 所以 a n ?1 + 1 = . ………………………………………………………………………4 分 n a +1 a a 1 = n ,即 1 + = n , (2)由(1)得 n ?1 a n ?1 na n ?1 a n ?1 na n ?1
所以 (1 +

a n +1 a a a 1 1 1 1 ) ? (1 + ) ? (1 + ) ?? ? (1 + ) = 2 ? 3 ? 4 … a1 a2 a3 an 2a1 3a2 4a3 (n + 1)a n

=

an +1 1 = (A 1 +1 + A 2 +1 + ? + A n +1 ) n n n +1 (n + 1)! ( n + 1)!
1 1 1 1 + + … + + +1 n! (n ? 1)! 2! 1! 1 1 1 +2 + + …+ 1× 2 n( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2)
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=



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=( 1 1 1 1 1 ? )+( + ) + … + (1 ? ) + 2 n ?1 n n ?1 n ? 2 2 1 =3? . ………………………………………………………………………10 分 n

[另法:可用数学归纳法来证明

1 1 1 1 1 + + … + + +1 ≤ 3 ? ] n! ( n ? 1)! 2! 1 ! n

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