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高考数学二轮专题复习 第一部分 专题四 第三讲 空间角与空间向量课件_图文

第三讲

空间角与空间向量

考点一 空间角 考查类型(一) 异面直线所成的角 一、基础知识要记牢
过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线, 它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角.

二、经典例题领悟好

[例 1] (1)(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC

=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦

值为

()

3 A. 2

15 B. 5

10 C. 5

3 D. 3

[解析] 法一:如图所示,将直三棱柱

ABC-A1B1C1 补成直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,

连接 AD1,B1D1,则 AD1∥BC1,所以∠B1AD1

或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角.因

为∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,所

以 AB1= 5,AD1= 2.

在△B1D1C1 中,∠B1C1D1=60°,B1C1=1,D1C1=2,所

以 B1D1= 12+22-2×1×2×cos 60°= 3,

所以

cos∠B1AD1=2×5+52- ×3

= 2

10 5.

法二:如图,设 M,N,P 分别为 AB,

BB1,B1C1 的中点,连接 MN,NP,MP, 则 MN∥AB1,NP∥BC1,所以∠PNM 或 其 补 角 为 异 面 直 线 AB1 与 BC1 所 成 的 角.易知 MN=12AB1= 25,NP=12BC1= 22.取 BC 的中点 Q,

连接 PQ,MQ,可知△PQM 为直角三角形,PQ=1,MQ=12AC. 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1

-2×2×1×???-12???=7,所以 AC=

7,MQ=

7 2.

在△MQP 中,MP= MQ2+PQ2= 211,

则 在 △ PMN





cos



PNM



MN2+NP2-MP2 2·MN·NP



?? ??

25????2+????

22????2-????

11??2 2 ?? =-



25×

2 2

510,

所以异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

10 5.

[答案] C

(2)(2016·浙 江 高 考 ) 如 图 , 已 知 平 面 四 边 形

ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= 5,∠ADC

=90°,沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD′,

直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是________. [解析] 如图,作 D′F⊥AC 于点 F,作
BE⊥AC 于点 E,作 FM 垂直于过点 B 且平行于 AC 的直线,垂足为 M,则∠D′BM 是 AC 与 BD′所成的角(或其补角).在△AD′C 中,D′C=1,AD′



5,∠AD′C=90°,∴AC=

6,D′F=

56,CF=

6 6.

在△BAC 中,BC=BA=3,BE= 32- 262= 125.而 AE= 26, ∴EF= 6- 66- 26= 36.∵MF=BE= 125, ∴D′M= D′F2+FM2-2D′F·FM·cos∠D′FM = 56+125-2 56× 125cos∠D′FM = 235-5cos∠D′FM. ∵BM=EF= 36,∴BD′= D′M2+BM2=
9-5cos∠D′FM.

6

6

∴cos∠D′BM=BBDM′= 9-5cos3∠D′FM≤ 93-5=

66,当且仅当∠D′FM 为 0°时,等号成立.

∴直线

AC



BD′所成角的余弦的最大值是

6 6.

[答案]

6 6

用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐 角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的 补角才是要求的角.

三、预测押题不能少 1.(1)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是边长为 1 的正方形,若
平面 ABCD 内有且仅有 1 个点到顶点 A1 的距离为 1,则异面直线 AA1,BC1 所成的角为________.
解析:由题意可知,只有点 A 到 A1 距离为 1,即高为 1,所 以该几何体是个正方体,所以异面直线 AA1,BC1 所成的角 是π4. 答案:π4

(2)在正四棱锥 V-ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1, 侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为________. 解析:如图,设 AC∩BD=O,连接 VO,因为四 棱 锥 V-ABCD 是 正 四 棱 锥 , 所 以 VO ⊥ 平 面 ABCD,故 BD⊥VO.又四边形 ABCD 是正方形, 所以 BD⊥AC,又 VO∩AC=O,所以 BD⊥平面
VAC,所以 BD⊥VA,即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为π2. 答案:π2

考查类型(二) 直线与平面所成的角 一、基础知识要记牢
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,是 这条直线和这个平面所成的角,当一条直线垂直于平面时,规 定它们所成的角是直角.

二、经典例题领悟好 [例 2] 如图,正四棱锥 P-ABCD 中,底面
是边长为 2 的正方形,高为 2,M 为线段 PC 的中点.
(1)求证:PA∥平面 MDB; (2)设 N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 BMD 所成角的正切值. [解] (1)如图,连接 AC,设 AC∩BD=O, 连接 OM. 在△PAC 中,M 为 PC 的中点,O 为 AC 的中点,所以 OM∥AP. 因为 AP?平面 MDB,OM?平面 MDB, 所以 PA∥平面 MDB.

(2)设 N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 BMD 所成角的正切值. [解] 连接 PO,由题意知 PO⊥平面 ABCD,且 PO= 2, 由四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,经计算可得 BP=DP =PC=PA=2,因为 PC2+PA2=AC2,所以∠CPN=90°. 因为 M 为 PC 的中点,所以 PC⊥BM, 同理可得 PC⊥DM,又 BM∩DM=M,所以 PC⊥平面
BMD. 设 NC∩MO=E,由(1)知平面 APC∩平面 DMB=MO, 则∠MEC 即为直线 CN 与平面 BMD 所成的角. 由(1)知 OM∥PA,所以∠PNC=∠MEC. 在 Rt△CPN 中,CP=2,NP=1,
所以 tan∠PNC=NCPP=2, 故直线 CN 与平面 BMD 所成角的正切值为 2.

求直线与平面所成角的步骤 (1)一作:即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在这 一步上确定垂足的位置是关键; (2)二证:即证明所找到的角为直线与平面所成的角,其 证明的主要依据是直线与平面所成角的定义; (3)三求:一般借助于解三角形的知识求解.

三、预测押题不能少 2.(1)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=
AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点. ①证明:A1D⊥平面 A1BC; ②求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值.

解:①证明:设 E 为 BC 的中点,连接 AE, A1E,DE, 由题意得 A1E⊥平面 ABC, 所以 A1E⊥AE. 因为 AB=AC,所以 AE⊥BC. 又因为 A1E,BC?平面 A1BC,A1E∩BC=E, 故 AE⊥平面 A1BC. 由 D,E 分别为 B1C1,BC 的中点,得 DE∥B1B 且 DE=B1B, 从而 DE∥A1A 且 DE=A1A, 所以四边形 AA1DE 为平行四边形. 于是 A1D∥AE. 又因为 AE⊥平面 A1BC,所以 A1D⊥平面 A1BC.

②求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值.
解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,AE∩A1E=E, 所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F. 又因为 DE∩BC=E,所以 A1F⊥平面 BB1C1C.

所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角. 由 AB=AC=2,∠CAB=90°,得 EA=EB= 2.

由 A1E⊥平面 ABC,得 A1A=A1B=4,A1E= 14.

由 DE=BB1=4,DA1=EA=

2,∠DA1E=90°,得

A1F=

7 2.

所以 sin∠A1BF= 87.

(2)如图,已知 AB⊥平面 BEC,AB∥CD,AB =BC=4,CD=2,△BEC 为等边三角形. ①求证:平面 ABE⊥平面 ADE; ②求 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值. 解:①证明:取 AE 的中点 F,连接 BF,DF. 由题意知 AB=BE=4,∴BF⊥AE. 计算可得 BF=AF=2 2,AD=DE=BD= 2 5,DF=2 3. 则 BF⊥DF,因为 AE∩DF=F, 则 BF⊥平面 ADE. 又 BF?平面 ABE,∴平面 ABE⊥平面 ADE.

②求 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值. 解:如图,补全成正三棱柱 AMN-BEC,取

MN 的中点 H,连接 AH,EH,

△AMN 为正三角形,则 AH⊥MN,

又 CD⊥平面 AMN,则 AH⊥CD,

所以 AH⊥平面 CDE,

则∠AEH 即为 AE 与平面 CDE 所成的角.

在△AEH 中,AH⊥EH,AH=2 3,AE=4 2,

sin∠AEH=AAHE= 46,



AE

与平面

CDE

所成角的正弦值为

6 4.

考查类型(三) 二面角 一、基础知识要记牢
以二面角的公共直线上任意一点为端点,在两个面内分 别作垂直于公共直线的两条射线,这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角.

二、经典例题领悟好

[例 3] (1)在菱形 ABCD 中,A=60°,AB= 3,将 △ABD 折起到△PBD 的位置,若三棱锥 P-BCD 的外接球的

体积为7 67π,则二面角 P-BD-C 的正弦值为

()

1

1

A.3

B.2

3 C. 2

7 D. 3

[解析] 由外接球的体积为7 67π得该球的半径 R= 27,设 球心 O 在平面 PBD 和平面 BCD 上的射影分别为 O1,O2,则 O1,O2 为正△PBD 和正△BCD 的中心,取 BD 的中点 E,连 接 O1E,O2E,则 O1E⊥BD,O2E⊥BD,则∠O1EO2 是二面角
P-BD-C 的平面角,在 Rt△OO2C 中,OC=R= 27,O2C= 33AB
=1,则 OO2= 23,又在 Rt△OO2E 中,O2E= 63AB=12,则 ∠ O2EO = 60° , 同 理 , ∠ OEO1 =60°,故∠O1EO2=120°,则
二面角 P-BD-C 的正弦值为 23,故 选 C.
[答案] C

(2)(2017·浙江高考)如图,已知正四面体

D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,

R 分别为 AB,BC,CA 上的点,AP=PB,

BQ QC



CR RA



2.













D-PR-Q ,

D-PQ-R,D-QR-P 的平面角为 α,β,γ,则( )

A.γ<α<β

B.α<γ<β

C.α<β<γ

D.β<γ<α

[解析] 如图①,设点 O 是点 D 在底面 ABC 内的射影, 过点 O 作 OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥RQ,垂足分别为 E,F, G,连接 ED,FD,GD,易得 ED⊥PR,∴∠OED 就是二面 角 D-PR-Q 的平面角,∴α=∠OED,tan α=OODE,
同理 tan β=OODF,tan γ=OODG.
底面的平面图如图②所示,以 P 为原点建立平面直角坐标 系,不妨设 AB=2,

则 A(-1,0),B(1,0),C(0, 3),O????0, 33????, ∵AP=PB,BQQC=CRRA=2, ∴Q????13,2 3 3????,R????-23, 33????, 则直线 PR 的方程为 y=- 23x,直线 PQ 的方程为 y=2 3 x,直线 QR 的方程为 y= 33x+593,根据点到直线的距离公 式,知 OE=2 2121,OF= 3399,OG=13, ∴OE>OG>OF,∴tan α<tan γ<tan β, 又 α,β,γ 为锐角,∴α<γ<β. [答案] B

求二面角的常用方法 (1)找 ①点(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半 平面内分别作垂直于棱的射线.如图 a,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. ②线(三垂线定理法):过二面角的一个面内一点作另一个 平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角 的平面角或其补角.如图 b,∠ABO 为二面角 α-l-β 的平面角.

③面(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二 面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角即为二面角 的平面角.如图 c,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角.
(2)算 ①射影面积公式:cos θ=SS射原; ②公式法:sin θ=hd.

[说明] 如图,θ 为二面角的大小,h 为点 A 到平面 β 的 距离,d 为点 A 到棱 l 的距离.

三、预测押题不能少 3.(1)如图,已知平面 α⊥β,α∩β=l.A,B 是直线 l 上的两点,
C,D 是平面 β 内的两点,且 DA⊥l,CB⊥l,AD=3,AB =6,CB=6.P 是平面 α 上的一动点,且直线 PD,PC 与平 面 α 所成角相等,则二面角 P-BC-D 的余弦值的最小值是
()

5

1

3

A. 5

B.2

C. 2

D.1

解析:∵α⊥β,α∩β=l,DA⊥l,CB⊥l,DA?β,CB?β,∴ DA⊥α,CB⊥α,∴∠DAP=∠CBP=90°.又 PD,PC 与平面 α 所成角相等,∴∠DPA=∠CPB.∴Rt△DPA∽Rt△CPB,∴PPAB= DCBA=12,∴PB=2PA.∵AB⊥BC,∴∠PBA 是二面角 P-BC-D 的 平面角.设 PA=t,则 PB=2t,在△PAB 中, 由余弦定理得 cos ∠PBA=PB22×+PABB×2-APBA2=?22t?×2+2t6×2-6 t2=3t22+4t36=t+81t2,而 t
+1t2≥2 t×1t2=4 3当且仅当 t=1t2,即 t=2 3时等号成立, ∴当 t=2 3时,cos∠PBA 有最小值483= 23,故选 C. 答案:C

(2)如图,已知△ABC,D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将△ACD 翻折成△A′CD,所成二面角 A′-CD-B 的平面角为 α,则
()

A.∠A′DB≤α C.∠A′CB≤α

B.∠A′DB≥α D.∠A′CB≥α

解析:∵A′C 和 BC 都不与 CD 垂直, ∴∠A′CB≠α,故 C、D 错误.当 CA=CB 时, 容易证明∠A′DB=α.不妨取一个特殊的三角 形,如 Rt△ABC,令斜边 AB=4,AC=2,BC =2 3,如图所示,则 CD=AD=BD=2,∠BDC=120°,设沿 直线 CD 将△ACD 折成△A′CD,使平面 A′CD⊥平面 BCD,则 α=90°.取 CD 中点 H,连接 A′H,BH,则 A′H⊥CD,∴A′H ⊥平面 BCD,且 A′H= 3,DH=1.在△BDH 中,由余弦定理可 得 BH= 7.在 Rt△A′HB 中,由勾股定理可得 A′B= 10.在 △A′DB 中 ,∵A′D2+BD2-A′B2=-2<0,可知 cos∠A′DB <0,∴∠A′DB 为钝角,故排除 A.综上可知答案为 B. 答案:B

考点二 空间向量

一、基础知识要记牢

(1)空间向量的坐标运算

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

向量和

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

向量差

a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

数量积

a·b=a1b1+a2b2+a3b3

共线 a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)

垂直

a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0

夹角公式

cos〈a,b〉=

a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a32 b21+b22+b23

(2)空间两点间的距离 在空间直角坐标系中,已知点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 A,B 两点间的距离 dAB=|―A→B |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2. (3)直线的方向向量与平面的法向量 ①直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,显 然一条直线的方向向量可以有无数个. ②平面的法向量 若直线 l⊥平面 α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平 面 α 的法向量.

(4)向量法求空间角 ①向量法求异面直线所成的角:
若异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,异面直线所成的角 为 θ,则 cos θ=|cos〈a,b〉|=||aa|·|bb||.
②向量法求线面所成的角:
求出平面的法向量 n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈n,a〉|=||nn|·|aa||.
③向量法求二面角: 求出二面角 α-l-β 的两个半平面 α 与 β 的法向量 n1,n2,若二 面角 α-l-β 所成的角 θ 为锐角, 则 cos θ=|cos〈n1,n2〉|=||nn11|·|nn22||; 若二面角 α-l-β 所成的角 θ 为钝角, 则 cos θ=-|cos〈n1,n2〉|=-||nn11|·|nn22||.

二、经典例题领悟好 [例 4] (2017·武昌调研)如图,在四棱锥
S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为 等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.
(1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值. [解] (1)证明:以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直 角 坐 标 系 C-xyz , 则 D(1,0,0) , A(2,2,0) , B(0,2,0). 设 S(x,y,z),显然 x>0,y>0,z>0,

则―A→S =(x-2,y-2,z),―B→S =(x,y-2,z),―D→S =

(x-1,y,z).

由|―A→S |=|―B→S |,得 ?x-2?2+?y-2?2+z2

= x2+?y-2?2+z2,解得 x=1.

由|―D→S |=1,得 y2+z2=1.①

由|―B→S |=2,得 y2+z2-4y+1=0.②

由①②,解得

y=12,z=

3 2.



S

????1,12,

3?? 2 ??



―→ AS



????-1,-32,

3?? 2 ??



―→ BS



????1,-32, 23????,―D→S =????0,12, 23????, ∴―D→S ·―A→S =0,―D→S ·―B→S =0,∴DS⊥AS,DS⊥BS,

又 AS∩BS=S,∴SD⊥平面 SAB.

(2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值. [解] 设平面 SBC 的法向量为 n=(x1,y1,z1), 则 n⊥―B→S ,n⊥―C→B ,∴n·―B→S =0,n·―C→B =0.

又―B→S =????1,-32, 23????,―C→B =(0,2,0),

∴???x1-32y1+ 23z1=0, 取 z1=2,得 n=(- 3,0,2). ??2y1=0,
∵―A→B =(-2,0,0),∴cos〈―A→B ,n〉=

|――AA→B→B |·|nn|=-22××?-7 3?= 721.

故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为

21 7.

? ?1?空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似,两 个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖 坐标分别进行加、减、数乘运算;空间两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积之和. ?2?在几何体中建立空间直角坐标系时,要充分利用几何 体本身的特点,以使各点的坐标易求.利用向量的坐标运算, 可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.

三、预测押题不能少

4.(1)若 a=(1,λ,-1),b=(2,-1,2),且 a 与 b 的夹角的余弦

为19,则|a|=

()

9

10

3

A.4

B. 2

C.2

D. 6

解析:因为 a·b=1×2+λ×(-1)+(-1)×2=-λ,

又因为 a·b=|a||b|·cos〈a,b〉= 2+λ2× 9×19

=13 2+λ2,所以13 2+λ2=-λ.

解得 λ2=14,所以|a|= 1+14+1=32. 答案:C

(2)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1

=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为

()

A.

5 5

B.

5 3

C.25 5

D.35

解析:设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1

=(0,2,1),可得向量―AB→1 =(-2,2,1),―BC→1 =(0,2,-1),由向量的夹

角公式得

cos〈―AB→1 ,―BC→1 〉=-2×0+0+4+2×1·2+4+1×4+?-1 1?=

1= 5

5 5.

所以直线

BC1 与直线

AB1 夹角的余弦值为

5 5.

答案:A