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2013年全国大学生数学竞赛练习题(三)

2013 年全国大学生数学竞赛练习题(三) 1.已知函数 f ( x) ? 3x ? 2.求 ? sin(ln x)dx . 3.求 ? ln(1 ? 2x) dx .
1 0

1 ? x2

?f
0

1

2

( x)dx ,求 f ( x) .

1? x

?

4.设连续非负函数满足 f ( x) f (?x) ? 1(?? ? x ? ??) ,求 ?
?

2

cos x dx . ? 1 ? f ( x)
2

5. 计算

?

?
0

x ln(sin x) dx .

?

6. 设In ? ?

1 dx ,求 I n 。 n 0 1 ? tan x
n

2

7.求极限 lim ?

1 i2 ? 1 n? n

n ?? i ?1



n k k? 8.求极限 lim ? ?1 ? ? sin 2 。 ? ? n ?? k ?1 ?

n?

n

9. 设f ( x)在[0,1]上可导,且? f ( x)dx=0,xf ( x)dx=0, ?
0 0

1

1

证明:(x)在(0, f 1)内至少有两个零点。

10.计算贝塔函数 B(m, n) ? ?0 x m ?1 (1 ? x)n ?1 dx 的值(m,n:自然数)
1

11.试用定积分的元素法推出球面的表面积公式: S ? 4? R2 . 12.试证:函数 f ( x)= ? (t ? t 2 ) sin 2 n tdt ( x ? 0) 的最大值不超过
0 x

1 .其 (2n ? 2)(2n ? 3)

中 n 为正整数. 13.证明: In ? ? ( x ln x)n dx ?
0 1

(?1) n n ! (n 是自然数) 。 (n ? 1) n ?1

1

14.证明: ? x ? x dx ? ?
0

1

1 (n 是自然数) n n ?1 n
b

?

15 设f(x)在[a,b]上非负连续,M ? max f(x). . 求证: lim n ? [ f ( x)]n dx ? M n ??
x?[a,b ]
a

16. 设f ?( x)在区间[a, b]上连续,且f ( x)在(a, b)内二阶可导, f (a) ? f (b) ? 0, ? f ( x)dx ? 0,求证
a

b

(1)在(a, b)内存在至少有一个点? ,使得f ?(? ) ? f (? ) (2)在(a, b)内存在至少有一个点? ? ? , 使得f ??(? ) ? f (? )

17.设函数 f (x) 在 [0, 1] 上连续,且 ?0 f ( x)dx ? 0 , ?0 xf ( x)dx ? 1,试证:
1 1

(1) ?x0 ? [0, 1] ,使得 f ( x0 ) ? 4 ; (2) ?x1 ? [0, 1] ,使得 f ( x1 ) ? 4 . 18.设 f ( x) 是正值连续函数, 证明: ? f ( x)dx ? 1 dx ? (b ? a)2 f ( x)
a a b b

19.设 f ( x)连续,

a 2 ? b 2 ? 0.证明:
2

x + y ?1
2

??

f (ax ? by ? c)dxdy ? 2

?1

?

1

1 ? u 2 f ( a 2 ? b 2 u ? c )du

20.设函数f (x)连续,

a, b, c 为常数, ? 是单位球面 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1
1

求证: I ? ?? f (ax ? by ? cz )dS ? 2? ? f (
? ?1

a 2 ? b 2 ? c 2 u )du

2


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