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3.1.1两角差的余弦公式


3.1.1 两角差的余弦公式 知识梳理
两角差的余弦公式

【问题导思】 (1)cos 60° -cos 30° =cos(60° -30° )成立吗?

(2)cos α-cos β=cos(α-β)成立吗? → → (3)单位圆中(如图),∠AOx=α,∠BOx=β,那么 A,B 的坐标是什么?OA与OB的夹角是多少? → → (4)你能用哪几种方法计算OA· OB的数量积?

(5)根据上面的计算可以得出什么结论?

知识点一 利用两角差的余弦公式求值 例 1 求值: (1)sin 460° · sin(-160° )+cos 560° · cos(-280° ); (2)sin 285° .

规律方法 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是: (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值. (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值. 2.两角差的余弦公式的结构特点: (1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦. (2)把所得的积相加.

变式 求下列各式的值: (1)cos(-165° ); (2)sin 15° sin 105° +cos 15° cos 105° .

知识点二 给值(式)求值 π 4 π 3π 例 2 已知 sin(α+ )= ,且 <α< ,求 cos α 的值. 4 5 4 4

规律方法 π 1.本题求解的关键在于把角 α 分解成两角 α+ 与 α 之差,变角是进行三角变换的常用方法技巧,如 α=(α 4 +β)-β,α=β-(β-α),α=(2α+β)-(α+β)等. 2.利用差角的余弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要变通地从本质上使用公式.即把所求的 角分解成某两个角的差,并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式计算.

5 7 变式 在本例中,若把 α 的范围改为:“ π<α< π”,其他条件不变,又如何求 cos α 的值? 4 4

知识点三 已知三角函数值求角 2 5 10 例 3 已知 α、β 均为锐角,且 cos α= ,cos β= ,求 α-β 的值. 5 10

规律方法 1.这类问题的求解,关键环节有两点:(1)求出所求角的某种三角函数值;(2)确定角的范围,一旦做好这两 个环节,结合三角函数的性质与图象,角可求解. 2.确定应用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定. 1 13 π 变式 已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β 的值. 7 14 2

巩固练习 1.cos 17° 等于( ) B.cos 20° cos 3° +sin 20° sin 3° D.cos 20° sin 20° +sin 3° cos 3° ( )

A.cos 20° cos 3° -sin 20° sin 3° C.sin 20° sin 3° -cos 20° cos 3° 2.下列关系中一定成立的是 A.cos(α-β)=cos α-cos β π C.cos( -α)=sin α 2 3.cos(-40° )cos 20° -sin(-40° )sin(-20° )=________. π 4 π 4.设 α∈(0, ),若 sin α= ,求 2cos(α- )的值. 2 5 4

B.cos(α-β)<cos α+cos β π D.cos( +α)=sin α 2

知能检测 一、选择题 1. cos 80° · cos 35° +sin 80° · cos 55° 的值是( A. 2 2 B.- 2 2 ) ) 1 C. 2 1 D.- 2

2.下面利用两角差的余弦公式化简,其中错误的是( A.cos 80° cos 20° +sin 80° sin 20° =cos 60° B.cos 75° =cos 45° cos(-30° )+sin 45° sin(-30° ) C.sin(α+45° )sin α+cos(α+45° )cos α=cos 45° π 1 3 D.cos(α- )= cos α+ sin α 6 2 2 3.cos 15° 的值为( A. 6+ 2 4 ) B. 6- 2 4

C.

6+ 2 2 )

D.

6- 2 2

3 5 4.已知钝角 α、β 满足 cos α=- ,cos(α+β)=- ,则 cos β 等于( 5 13 33 A. 65 33 B.- 65 54 C. 75 )

54 D.- 75

4 3 5.已知 sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,则 cos(α-β)的值为( 5 5 9 A. 25 16 B. 25 1 C. 2

1 D.- 2

二、填空题 6.已知 cos α= 3 π ,α 是锐角,则 cos(α- )=________. 2 4

1 3 4 π 7.已知 sin α=- ,α∈(π, π),cos β=- ,β∈( ,π),则 cos(α-β)=________. 3 2 5 2 12 8.已知 cos(α+30° )= ,30° <α<90° ,则 cos α=________. 13 三、解答题 1 1 9.已知 cos α-cos β= ,sin α-sin β=- ,求 cos(α-β). 2 3

10.已知 tan α=4

11 3,cos(α+β)=- ,α、β 均为锐角,求 cos β 的值. 14

4 3 π 3π 11.已知 cos(α-β)=- ,sin(α+β)=- , <α-β<π, <α+β<2π,求 β 的值. 5 5 2 2

答案
【问题导思】 → → (1)不成立.(2)不一定.(3)A(cos α,sin α),B(cos β,sin β). OA与OB的夹角是 α-β.

→ → → → → → (4)①OA· OB=|OA||OB|cos(α-β)=cos(α-β),②OA· OB=cos αcos β+sin αsin β. (5) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.cos(α-β)=cos α· cos β+sin α· sin β. 6+ 2 1 例 1 (1)- .(2)- . 2 4 巩固练习 1.B 知能检测 一、选择题 ADABD 二、填空题 6. 三、解答题 1 1 9. 【解】 由 cos α-cos β= ,两边平方得(cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β = .① 2 4 1 1 由 sin α-sin β=- ,两边平方得(sin α-sin β)2=sin2 α+sin2 β-2sin αsin β= .② 3 9 13 ①+②得 2-2(cos αcos β+sin αsin β)= . 36 59 59 ∵cos αcos β+sin αsin β= ,∴cos(α-β)= . 72 72 π 10. 【解】 ∵α∈(0, ),tan α=4 2 3,∴sin α=4 3 7 3cos α① 6+ 2 4 8 2-3 7. 15 12 3+5 8. 26 2.C 变式 (1)- 1 3. 2 6+ 2 .(2)0 4 例2 2 . 10 变式 7 2 . 10 π 例 3- . 4 π 变式 . 3

7 4. . 5

4 sin2α+cos2α=1②由①②得 sin α=

1 ,cos α= . 7

11 5 3 ∵α+β∈(0,π),cos(α+β)=- ,∴sin(α+β)= . 14 14 11 1 5 3 4 3 1 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=(- )× + × = . 14 7 14 7 2 1 ∴cos β= . 2 π 4 3 11. 【解】 ∵ <α-β<π,cos(α-β)=- ,∴sin(α-β)= . 2 5 5 3 3 4 ∵ π<α+β<2π,sin(α+β)=- ,∴cos(α+β)= . 2 5 5 4 4 3 3 ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)= × (- )+(- )× =-1. 5 5 5 5 π 3 π 3π π ∵ <α-β<π, π<α+β<2π,∴ <2β< ,2β=π,∴β= . 2 2 2 2 2


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