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上海市三区(徐汇、松江、金山)2013届高三(二模)数学(文科)


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2012 学年第二学期徐汇、松江、金山区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (文科试卷)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2013.4 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的反函数图像过点 (2, ?1) ,则 a = 2.若直线 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2 : y ? 3x ? 1平行,则 m = 3.若正整数 n 使得行列式 . .

1 2?n
1

n ? 6 ,则 P7n ? 3n

.

4 . 已 知 函 数 f ( x) ? x 3 , x ? (1, 27) 的 值 域 为 A , 集 合 B ?

?x

2

x ?2 x?0 , x?? R 则 ,

A? B ?
5.已知 ? ? ( ?

.

4 ,则 sin 2? =___________. 2 5 6.已知圆锥的母线长为 5 ,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为__________(结果保留 ? ). , 0) ,且 cos ? ?
7.已知 x ? ?3 ? 2i ( i 为虚数单位)是一元二次方程 x ? ax ? b ? 0
2

?

开 始

( a , b 均为实数)的一个根,则 a ? b =__________.

i=1, S=0
否 输出 S 结 束

1 1 1 8.如图给出的是计算 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 3 5 2013 图中空白执行框内应填入 i ? .
9.某国际体操比赛,我国将派 5 名正式运动员和 3 名替补运动员 参加, 最终将有 3 人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均 不上场比赛的概率是 (结果用最简分数表示).

i ? 2013
是 S= S+

?2 x ? y ? 1 ?x ? y ? 2 ? 10.满足条件 ? 的目标函数 P ? x 2 ? y 2 的最大值是 x?0 ? ?y ? 0 ?
11.

1 i

. 第 8 题图

3 6 在 二 项 式 (ax ? ) ( a ? R) 的 展 开 式 中 , 常 数 项 的 值 是 ?20 , 则 x
.

lim(a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ) =
n ??

12 . 已 知椭 圆 为 .

x2 y 2 ? ? 1 内 有 两 点 A?1, 3 ,B? 3, 0 P 为 椭 圆 上一 点 ,则 PA ? PB 的 最 大 值 ? ? , 25 16
A P

·1·
O

Q B

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13.如图,有以下命题成立:设点 P, Q 是线段 AB 的三等分点,则有

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OP ? OQ ? OA ? OB .将此命题推广,设点 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 是线段
AB 的六等分点,则 OA1 ? OA2 ? OA3 ? OA4 ? OA5 ?

???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ?

?OA ? OB ?

??? ??? ? ?

.

14.如图,对正方形纸片 ABCD 进行如下操作:第一步,过点 D 任作一条直线与 BC 边相交于点 E1 , 记 ?CDE1 ? ?1 ;第二步,作 ?ADE1 的平分线交 AB 边于点 E2 ,记 ?ADE2 ? ?2 ;第三步,作

?CDE2
的平分线交 BC 边于点 E3 ,记 ?CDE3 ? ?3 ;按此作法从第二步起重复以上步骤??,得到

?1 , ?2 ,?, ?n ,?,则用 ? n 和 ?n?1 表示的递推关系式是 ?n?1 ?
B A B E2 A B E2

.

A

E1

E1

E3

?2 ?1 ?3
D C 第三步 D 第二步

?1
C 第一步 D C

第14题图
二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 1 1 2 15.已知 a , b 为实数,命题甲: ab ? b ,命题乙: ? ? 0 ,则甲是乙的( ) b a
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?1, x ? 0 ? 2 16.已知函数 f ? x ? ? ?0, x ? 0 ,设 F ( x) ? x ? f ( x) ,则 F ( x) 是 ? ?1, x ? 0 ?
A.奇函数,在 (??, ??) 上单调递减 B.奇函数,在 (??, ??) 上单调递增





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C.偶函数,在 ? ??,0? 上递减,在 ? 0,??? 上递增 D.偶函数,在 ? ??,0? 上递增,在 ? 0,??? 上递减 17.如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4, 且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( ) z

3 4 4 4 3 4 4 5 4 x y 3 4 O

A. B. C. D. 0 18.气象意义上从春季进入夏季的标志为: “连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ( C)”.现有甲、 乙、丙 三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数) : ① 甲地:5 个数据的中位数为 24 ,众数为 22 ; ② 乙地:5 个数据的中位数为 27 ,总体均值为 24 ; ③ 丙地:5 个数据中有一个数据是 32 ,总体均值为 26 ,总体方差为 10.8 ; 则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 sin A cos C ? cos A sin C ?

3 ,若 b ? 7, 2

?ABC 的面积 S?ABC ?

3 3 ,求 a ? c 的值. 4

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20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为 k .轮船 的最大速度为 15 海里/小时.当船速为 10 海里/小时,它的燃料费是每小时 96 元,其余航行运作费用 (不论 速度如何)总计是每小时 150 元.假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行. (1)求 k 的值; (2)求该轮船航行 100 海里的总费用 W (燃料费+航行运作费用)的最小值.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,已知 ABC ? A1B1C1 是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是 2 . (1)求异面直线 AC 与 B1C1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; 1 (2)求三棱锥 C ? ABC1 的体积 VC ? ABC1 .
A1 B1 B C1 C

A

第 21 题图

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知双曲线 C 的中心在原点, D ?1,0? 是它的一个顶点, d ? (1, 2) 是它的一条渐近线的一个 方向向量.
·4·

? ?

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(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若过点( ?3, 0 )任意作一条直线与双曲线 C 交于 A, B 两点 ( A, B 都不同于点 D ), 求 DA ? DB 的值; (3) 对于双曲线?:

??? ??? ? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) , E 为它的右顶点, M , N 为双曲线?上的两点 a 2 b2

( M , N 都不同于点 E ),且 EM ? EN ,求证:直线 MN 与 x 轴的交点是一个定点.

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? (n ? N ) 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?
*

1 ? Sn ? ? 是首项为 0 ,公差为 的等差数列. 2 ?n?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

4 a ? ? ?2 ? n ( n ? N * ) ,对任意的正整数 k ,将集合 ?b2k ?1, b2k , b2k ?1? 中的三个元素排成 15

一个递增的等差数列,其公差为 dk ,求 dk ; (3)对(2)题中的 dk ,设 A(1,5d1 ) , B(2,5d2 ) ,动点 M , N 满足 MN ? AB ,点 N 的轨迹是函 数 y ? g ( x) 的图像,其中 g ( x) 是以 3 为周期的周期函数,且当 x ? ? 0, 3? 时, g ( x) ? lg x ,动点

???? ?

??? ?

M 的轨迹是函数 f ( x) 的图像,求 f ( x) .
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(文)参考答案 一.填空题:(本题共有 14 题,每小题 4 分) 1.

1 2

2. ?

2 3 5 14

3. 42 10. 4

4. (1, 2) 11. ?

5. ?

24 25

6. 12?

7. 19 13.

8. i ? 2 14.

9.

? ? 2? n
4

1 4

12. 15 ;

5 ; 2

二.选择题: (本题共有 4 小题,每小题 5 分) 15.B 16. B 17. B 18. C 三.解答题 19. (本题 12 分) 解:由条件可知 sin( A ? C ) ?

3 ,?????2 分 2

即 sin B ?

3 ,?????4 分 2
1 3 ac sin B ? 3. ? ac ? 3. ????????????8 分 2 4

? S?ABC ?

2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B, ??????10 分

于是, 7 ? (a ? c) ? 2 ? 3(1 ? ). ? a ? c ? 4 .
2

1 2

???????????????12 分

20.(本题 14 分)本题共有 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解: (1)由题意得燃料费 W1 ? kv ,????????????2 分
2

把 v =10, W1 ? 96 代入得 k =0.96.??????????????????6 分
2 (2) W ? 0.96v ?

100 100 ?150 ? ,??????????????9 分 v v 15000 ? 2 1440000 ? 2400 ,?????????11 分 = 96v ? v
15000 时成立,解得 v ? v

其中等号当且仅当 96v ?

15000 ? 12.5 ? 15 ,?????13 分 96

所以,该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为 2400(元). ????????14 分

21. (本题 12 分)本题共有 2 题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. (1)?C1B1 // CB ,??????????????? 1 分

C1

C

B1

B

连接 A B ,则 ?A1CB 为异面直线 AC与B1C1 所成角. 1 1
·6·

???3 分
A1 A

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由题意得 AC ? A1B ? 2 2, ??????????????4 分 1

cos ?ACB ? 1

AC ? BC ? A1B 1
2 2

2

2 AC ? BC 1

?2 2 ? ?

2

? 22 ? 2 2

?

?

2

2?2 2 ?2

?

2 ???5 分 , 4

所 以 , 异 面 直 线 AC 与 B1C1 所 成 角 的 大 小 arccos 1 6分

2 . 为?????????????? 4

(2)由题意得,?VC ? ABC1 ? VC1 ? ABC ??????????????????????9 分

?ABC 的面积 S?ABC ?

3 2 ? 2 ? 3, h ? CC1 ? 2 ,??????????????12 分 4

1 2 ?VC1 ? ABC ? ? 3 ? 2 ? 3 , 3 3 2 3 .???????????????14 分 三棱锥 C ? ABC1 的体积为 3
22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3) 小题满分 6 分. 解:(1)设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 a ? 1 ,…….2 分 a 2 b2
………….4 分



b y2 ? 2 ,得 b ? 2 ,所以,双曲线 C 的方程为 x 2 ? ? 1. a 2

(2) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,其方程为 x ? ?3 , A, B 的坐标为( ?3 , 4 )、( ?3 , ?4 ),

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? DA ? (?4, 4), DB ? (?4, ?4) ,所以 DA ? DB =0.

………………..6 分

当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设此直线方程为 y ? k ( x ? 3) , 由?

? y ? k ( x ? 3) ?2 x ? y ? 2
2 2

得 (2 ? k ) x ? 6k x ? 9k ? 2 ? 0 .
2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

6k 2 ?9k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? ,……………..8 分 2 ? k2 2 ? k2
2

故 DA ? DB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3)
·7·

??? ??? ? ?

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? (k 2 ? 1) x1x2 ? (3k 2 ?1)( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 1.……....9 分
? (k 2 ? 1)
??? ??? ? ? ?9k 2 ? 2 6k 2 2 2 + (3k ? 1) + 9k ? 1=0 .综上, DA ? DB =0. ………………10 分 2 2 2?k 2?k

(3) 设直线 MN 的方程为: x ? my ? t ,

由?

? x ? my ? t ?b x ? a y ? a b
2 2 2 2 2 2

,得 (b2 m2 ? a2 ) y 2 ? 2b2mty ? b2 (t 2 ? a2 ) ? 0 ,

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

?2b 2 mt b 2 (t 2 ? a 2 ) , y1 y2 ? 2 2 ,…………12 分 b2 m2 ? a 2 b m ? a2

由 EM ? EN ,得 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? y1 y2 ? 0 , (my1 ? t ? a)(my2 ? t ? a) ? y1 y2 ? 0 即 (1 ? m2 ) y1 y2 ? m(t ? a)( y1 ? y2 ) ? (t ? a)2 ? 0 ,………………14 分

(1 ? m2 )

b2 (t 2 ? a 2 ) 2b2 mt ? m(t ? a) 2 2 ? (t ? a) 2 ? 0 , 2 2 2 2 b m ?a b m ?a a(a 2 ? b 2 ) 或 t ? a (舍), a 2 ? b2
……………………………………….15 分

化简得, t ?

所以,直线 MN 过定点(

a (a 2 ? b 2 ) ,0). a 2 ? b2

………………………………..16 分

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3) 小题满分 8 分. 解: (1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 Sn ? (n ? 1) …………………………..2 分 n 2 2
……………………………………………………..4 分

所以 an ? n ?1(n ? N * ) . (2) 由(1)可知 bn ?

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) , 15 4 4 4 4 (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2)2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 所以 b2 k ?1 ? 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k . …………………………..7 分 15 15
由 2b2k ?1 ? b2 k ? b2 k ?1 及 b2k ? b2k ?1 ? b2k ?1 得

b2k , b2k ?1 , b2k ?1 依次成递增的等差数列,
·8·

…………………………..9 分

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所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ?

4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? . 15 15 5

…………………………..10 分

(3)由(2)得 A(1, 4), B(2,16) ,即 MN ? AB ? (1,12) …………………..12 分 当 3m ? x ? 3(m ? 1) (m ? Z ) 时, 0 ? x ? 3m ? 3 , 由 g ( x) 是以 3 为周期的周期函数得, g ( x) ? g ( x ? 3m) ? lg( x ? 3m) , 即 g ( x) ? lg( x ? 3m) (3m ? x ? 3m ? 3 (m ? Z )) . ………………..14 分

???? ?

??? ?

设 M ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的任意点,并设点 N 的坐标为 ( xN , yN ) , 则?

? xN ? x ? 1 . ? y N ? y ? 12

………………..16 分

而 yN ? lg( xN ? 3m) (3m ? xN ? 3m ? 3(m ? Z )) , 于是, y ? 12 ? lg( x ? 1 ? 3m) (3m ? x ? 1 ? 3m ? 3(m ? Z )) , 所以, f ( x) ? lg( x ? 1 ? 3m) ? 12 (3m ? 1 ? x ? 3m ? 2 (m ? Z )) . ……………..18 分

·9·


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