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决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊):专题09 圆锥曲线(第03期).doc


第九章
一.基础题组

圆锥曲线

1. (长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)理科数学)过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右支上 15

一点 P ,分别向圆 C1 : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 和圆 C2 :

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 作切线,切点分别为 M , N ,则 | PM |2 ? | PN |2 的最小值为
A. 10 【答案】B 【解析】 试题解析: 由题可知, | PM |2 ? | PN |2 ? (| PC1 |2 ?4) ? (| PC2 |2 ?1) ,因此 B. 13 C. 16 D. 19

| PM |2 ? | PN |2 ?| PC1 |2 ? | PC2 |2 ?3 ? (| PC1 | ? | PC2 |)(| PC1 | ? | PC2 |) ? 3

? 2(| PC1 | ? | PC2 |) ? 3 ≥ 2 | C1C2 | ?3 ? 13 . 故选 B.
2. (贵州省黔南州 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)设图 F1、F2 分别为双曲线 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b, |PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. 【答案】B. 【分析】要求离心率,即求系数 a,c 间的关系,因此只需用系数将题目已知的条件表示出 来即可.本题涉及到了焦点弦问题,因此注意结合定义求解. B. ) C. D.3

3. (辽宁省沈阳市 2016 届高三教学质量监测(一)数 学(理)试题)已知 P 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为 A 、 B , 3
则 PA ? PB 的值是( A. ?

??? ? ??? ?

) B.

3 8

3 16

C. ?

3 8

D.不能确定

【答案】A 【解析】

4. (辽宁省沈阳市 2016 届高三教学质量监测 (一) 数

学 (理) 试题) 已知抛物线 x ? 4 y
2

的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点,过 P 作 PA ? l 于点 A ,当 ?AFO ? 30? ( O 为坐标原点)时, PF ? ____________. 【答案】 【解析】 试题解析: 令 l 与 y 轴交点为 B , 在 Rt?ABF 中, 所以 AB ? ?AFB ? 30 0 ,BF ? 2 ,

4 3

2 3 , 3

若 p ( x 0 , y 0 ) ,则 x0 ? 答案为

2 3 1 4 ,代入 x 2 ? 4 y 中,则 y0 ? ,而 PF ? PA ? y0 ? 1 ? ,故 3 3 3

4 . 3

几何法:如图所示, ?AFO ? 300 ,??PAF ? 30? 又? PA ? PF ??APF 为顶角?APF ? 120?的等腰三角形

而 AF ?

AF 4 2 4 3 4 ? ,? PF ? ? ,故答案为 . 3 cos 30? 3 3 3
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

5. (新疆乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第一次诊断性测试数学(理)试题)过抛物线的焦 点 F 的直线, 交抛物线于 A,B 两点, 交准线于 C 点, 若 AF ? 2 FB, CF ? ? FB, , 则? ? ( A. -4 【答案】 A 【解析】 B. -3 C. -2 D. -1 )

6. (新疆乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第一次诊断性测试数学(理)试题)P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点, F1,F2 是焦点, PF1 与渐近线平行, ?F1 PF2 ? 90? 则 a 2 b2
双曲线的离心率为( )

A.

2

B.

3

C. 2

D.

5

【答案】 D 【解析】

7. (四川省遂宁市 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)已知椭圆 C:

+y2=1,点

M1,M2…,M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 k(k≠0)的一组平行线, 交椭圆 C 于 P1,P2,…,P10,则直线 AP1,AP2,…,AP10 这 10 条直线的斜率乘积为( A.﹣ 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质可得 得 , = ,进而得出答案. =﹣ =﹣ .及其椭圆的对称性可 B.﹣ C. D.﹣ )

【解析】解:如图所示, 由椭圆的性质可得 由椭圆的对称性可得 ∴ 同理可得 =﹣ , = = =﹣ . = , =﹣ =﹣ . ,

∴直线 AP1,AP2,…,AP10 这 10 条直线的斜率乘积= 故选:B.

=﹣



8. (四川省遂宁市 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)椭圆 则 m 的值是( A.6 或 2 【答案】D 【分析】由题意可得:c=1,再分别讨论焦点的位置进而求出 m 的值. ) B.5 C .1 或 9

=1 的焦距为 2,

D.3 或 5

9.(四川省遂宁市 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)有下列五个命题: (1)在平面内,F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是椭 圆; (2)过 M(2,0)的直线 L 与椭圆 +y2=1 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 中点为 P,设直线

L 的斜率为 k1(k1≠0) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 等于﹣ ;

(3)“若﹣3<m<5,则方程

是椭圆”;

(4)椭圆

+

=1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 为椭圆上的点,则能使

的点

P 的个数 0 个; (5)“m=﹣2”是“直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 垂直”的必要 不充分条件; 其中真命题的序号是 【答案】 (2) 、 (4) 【分析】 (1)在平面内,F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨 迹是线段 F1F2,即可判断出正误; (2)设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,线段 P1P2 中点 P(x0, y0) , 代入椭圆方程可得: + (y2+y1) (y2﹣y1) =0, 化为 1+2k1k2=0, .

即可判断出正误; (3)方程

是椭圆?

,解得 m 范围即可判断出

正误; (4) 椭圆 + =1 的两个焦点为 F1, F2, 点 P 为椭圆上的点, 取椭圆的短轴端点 P (0, <1,即可判断出正误; ) ,

则∠F1PF2 为最大角,而 tan∠F1PO= =

(5)由直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0,对 m 分类讨论:利用 两条直线垂直的充要条件即可得出正误.

(5)由直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0,对 m 分类讨论:当 m=0 时,两条直线分别化为:2x+1=0,﹣2x+2y﹣3=0,此时两条直线不垂直,舍去;当 m= ﹣2 时,两条直线分别化为:﹣2y+1=0,﹣4x﹣3=0,此时两条直线垂直,因此 m=﹣2;当 m≠0,﹣2 时,由于两条直线垂直可得:﹣ × =﹣1,解得 m=1.综上可得:此两条

直线垂直的充要条件为:m=﹣2 或 1,因此“m=﹣2”是“直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m ﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 垂直”的充分不必要条件.是假命题. 综上可得:真命题为(2) 、 (4) . 答案为: (2) 、 (4) . 8. (甘肃省白银市会宁四中 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)点 F 为椭圆 + =1

(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使△ AOF 为正三角形,那么椭圆的离心率为 ( A. ) B. C. D. ﹣1

【答案】D【分析】首先,写出焦点 F 的坐标,然后,根据△ AOF 为正三角形,建立等式, 求解其离心率.

∴a2c2﹣c4+3a2c2=4a4﹣4a2c2 ∴e2=4﹣2 ∴e= ∴e= 故选:D. 9. (广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2016 届高三上学期期末数学(理)试题)抛物 线 【答案】 的焦点 F 到双曲线 渐近线的距离为 . . = ,

【分析】先确定抛物线的焦点位置,进而可确定抛物线的焦点坐标,再由题中条件求出双曲 线的渐近线方程,再代入点到直线的距离公式即可求出结论.

【点评】本题考查抛物线的性质,考查双曲线的基本性质,解题的关键是定型定位,属于基 础题. 10. (广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2016 届高三上学期期末数学(理)试题)从 抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F, 则△ MPF 的面积为( A.5 【答案】B 【分析】先设处 P 点坐标,进而求得抛物线的准线方程,进而求得 P 点横坐标,代入抛物 线方程求得 P 的纵坐标,进而利用三角形面积公式求得答案. 【解析】解:设 P(x0,y0) 依题意可知抛物线准线 x=﹣1, ∴x0=5﹣1=4 ∴|y0|= =4, ) B.10 C.20 D.

∴△MPF 的面积为 × 5× 4=10 故选:B 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.

11. (黑龙江省哈尔滨六中 2016 届高三上学期期末数学(理)试题)椭圆 的左焦点为 F,A(﹣a,0) ,B(0,b) ,C(0,﹣b)分别为

其三个顶点.直线 CF 与 AB 交于点 D,若椭圆的离心率 【答案】

,则 tan∠BDC=



【分析】由椭圆的离心率得到 a,b,c 之间的关系,利用这些关系表示出∠BAO、∠CFO 的正切值,由图得∠BDC=∠BAO+∠CFO,利用两角和的正切求出 tan∠BDC 的值.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查两角和与差的正切函数,训练了平面几何在 解圆锥曲线问题中的应用,是中档题. 12. (黑龙江省哈尔滨六中 2016 届高三上学期期末数学(理)试题)若抛物线 y2=2px(p >0)的焦点为 F,其准线经过双曲线 条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为( A. B. C. ) D. 的左焦点,点 M 为这两

【答案】C 【分析】确定抛物线 y2=2px(p>0)的焦点与准线方程,利用点 M 为这两条曲线的一个交 点,且|MF|=p,求出 M 的坐标,代入双曲线方程,即可求得结论.

【点评】本题考查抛物线的几何性质,考查曲线的交点,考查双曲线的几何性质,确定 M 的坐标是关键.

y2 13. (长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)数学理科试题)过双曲线 x ? ? 1 的右支 15
2

上一点 P ,分别向圆 C1 : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 和圆 C2 :

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 作切线,切点分别为 M , N ,则 | PM |2 ? | PN |2 的最小值为
A. 10 【答案】B 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质. B. 13 C. 16 D. 19

14. (甘肃省河西五市部分普通高中 2016 年 1 月高三第一次联考数学 (理) 试题) 已知点 A 是抛物线 y ?

1 2 x 的对称轴与准线的交点,点 F 为该抛物线的焦点,点 P 在抛物线上且满 4

足 | PF |? m | PA | ,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以 A , F 为焦点的双曲线上,则该双曲 线的离心率为( A. ) B.

5 ?1 2

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 5 ? 1

【答案】C. 【解析】 试题分析:如下图所示, A(0, ?1) , F (0,1) ,过 P 作准线的垂线,垂足是 H ,由对称性, 不妨令 P 在第一象限,∴ m ? 小值,

| PF | | PH | ? ? sin ?PAH ,∴问题等价于求 ?PAH 的最 | PA | | PA |

而 tan ?PAH ? 等号成立,

y?

1 1 2 x ?1 1 1 1 1 1 1 4?4 ? x? ? 2 x ? ? 1 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时 x x 4 x 4 x 4 x

此时 | PA | ? | PF |? 2 2 ? 2 ? 2a ? a ?

2 ? 1 ,∴ e ?

c 1 ? ? 2 ? 1 ,故选 C. a 2 ?1

15. (甘肃省张掖市 2016 届高三第一次诊断考试数学(理科)试题)如图, F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交

于点 A 、 B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( )

A. 7 B.4

2 3 C. 3
D. 3 【答案】 A 【考点】本题考查双曲线的离心率.

【技巧点拨】离心率求解的常用策略:1.充分利用条件列关于 a,b,c 的等式或不等式,可得 离心率的取值或取值范围;2.双曲线的渐近线是 a 与 b 之间的比值关系,再结合

c 2 ? a 2 ? b 2 ,可得 a, c 的关系,及离心率的关系,从这点而言,渐近线方程和离心率是有
联系的;3.在焦点三角形中,注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题. 16. (甘肃省张掖市 2016 届高三第一次诊断考试数学(理科)试题)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 的直线 l 交抛物线于 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 , 则 PQ = ( A.9 C.7 【答案】B 【考点】本题考查抛物线的标准方程及其性质 ) B.8 D.6

【技巧点拨】抛物线的离心率 e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的

距离.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时,可以优先考虑利用抛物线的定义,将其 转化为点到准线的距离,这样往往可以使问题简单化. 二.能力题组 1. (长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)理科数学) (本小题满分 12 分) 椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且离心率为 ,点 P 为椭圆上一动 2 a b 2

点, ?F1 PF2 内切圆面积的最大值为 (1)求椭圆的方程;

?
3

.

(2) 设椭圆的左顶点为 A1 ,过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,连结 A1 A , A1 B 并 延长交直线 x ? 4 分别于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点 坐标;若不是,请说明理由. 【答案】(1)椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .(2) n ? 0 , m ? 1 或 m ? 7 . 即恒过定点 (1, 0) 和 4 3

(7, 0) .
【解析】 试题解析: 解: (1) 已知椭圆的离心率为

1 , 不妨设 c ? t ,a ? 2t , 即 b ? 3t , 其中 t ? 0 , 2

又△ F1PF2 内切圆面积取最大值

r ? 时,半径取最大值为 r ? 3 ,由 S ? C?F1PF2 ,由 ?F1PF2 ? 3 2 3

C?F1PF2 为定值,因此 S ?F1PF2 也取得最大值,即点 P 为短轴端点,因此

1 1 3 1 r ? (4t ? 2t ) ,解得 t ? 1 , ? 2c ? b ? ? (2a ? 2c) , ? 2t ? 3t ? ? 2 2 3 2 2

x2 y 2 ? ? 1 . (4 分) 则椭圆的方程为 4 3

2. (贵州省黔南州 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)在平面直角坐标系 xOy 中,动 点 P 到两点 , 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为曲线 C,直

线 l 过点 E(﹣1,0)且与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

【分析】 (1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 长半轴长为 2 的椭圆,由此能求出曲线 C 的方程.



为焦点,

(2)存在△ AOB 面积的最大值.由直线 l 过点 E(﹣1,0) ,设直线 l 的方程为 x=my﹣1,



,得(m2+4)y2﹣2my﹣3=0.由△ =(2m)2+12(m2+4)>0.设 A(x1,y1) ,

B(x2,y2) .解得

,由此能求出 S△ AOB 的最大值.

则 g(t)在区间 所以 .

上为增函数.

所以

,当且仅当 m=0 时取等号,即 .



所以 S△ AOB 的最大值为

3. (辽宁省沈阳市 2016 届高三教学质量监测(一)数

学(理)试题) (本小题满分 12 分)

已知椭圆 E 的中心在坐标原点,左、右焦点 F1 、 F2 分别在 x 轴上,离心率为

1 ,在其上 2

有一动点 A , A 到点 F1 距离的最小值是 1.过 A 、 F1 作一个平行四边形,顶点 A 、 B 、 C 、

D 都在椭圆 E 上,如图所示.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)判断 ? ABCD 能否为菱形,并说明理由. (Ⅲ)当 ? ABCD 的面积取到最大值时,判断 ? ABCD 的形状,并求出其最大值.

y

A D

F1
O

F2

x

B

C
x2 y 2 ? ? 1 .(Ⅱ) ? ABCD 不能是菱形. 4 3

【答案】 (Ⅰ)

(Ⅲ) S? ABCD 的最大值为 6,此时 m 2 ? 1 ? 1 ,也就是 m ? 0 时,这时直线 AB ? x 轴,可以 判断 ? ABCD 是矩形. 【解析】

c b 2 x0 2 c2 2 (没有此步,不扣分) ? x0 ? 2cx0 ? c ? b ? 2 ? x ? 2cx0 ? a 2 ? x0 ? a , 2 0 a a a
2 2 2

因为 x0 ? [?a, a ] ,所以当 x0 ? ? a 时, AF1 min ? a ? c ,……………………………3 分 由题 a ? c ? 1 ,结合上述可知 a ? 2, c ? 1 ,所以 b 2 ? 3 ,

于是椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………4 分 4 3

y

A

D

F1
O

F2

x
C

B

(Ⅲ)由题 S? ABCD ? 4 S ?AOB ,而 S ?AOB ?

1 OF1 ? y1 ? y2 ,又 OF1 ? 1 , 2

即 S? ABCD ? 2 OF1 ? y1 ? y2 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2 ,………………………………9 分 由(Ⅱ)知 y1 ? y2 ?

6m ?9 , y1 ? y2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

所以, S? ABCD

36m 2 ? 36(3m 2 ? 4) m2 ? 1 ?2 ………………………10 分 ? 24 (3m 2 ? 4) 2 (3m 2 ? 4) 2
1
,

? 24

1 9(m ? 1) ? 2 ?6 m ?1
2

因为函数 f (t ) ? 9t ? , t ? [1, ??) ,在 t ? 1 时, f (t ) min ? 10 ,………………11 分 即 S? ABCD 的最大值为 6,此时 m 2 ? 1 ? 1 ,也就是 m ? 0 时, 这时直线 AB ? x 轴,可以判断 ? ABCD 是矩形. …………………………………12 分 4. (新疆乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第一次诊断性测试数学(理)试题)已知椭圆

1 t

x2 y 2 2 ,过焦点 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
的中点为 M . (- ,) (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 A 与椭圆只有一个公共点的直线为 l1 , 过点 F 与 AF 垂直的直线为 l2 , 求证 l1 与 l2 的 交点在定直线上. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】

2 1 3 3

x2 ? y 2 ? 1 ;(Ⅱ)点 P 在定直线 x ? ?2 上. 2

1 x ?x2 2 y ? y 2 1 y 2 ? y1 ? 3 , ∴ 1 ?? , 1 ? , 2 3 2 3 x 2 ? x1 ? 2 ?c 3

b2 代入③式得, ? 2 ? a

2 1 ? b2 1 3 3 ,即 2 ? , 2? 4 ? 2 a ? ? 6 ?c ? ? ? ??? ?c ? 3? 3 ? 3 ? ?

又∵

c 2 1 1 1 , a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴ c 2 ? b 2 ? a 2 ,∴ ? , ? 2? a 2 2 2 ? 6 ?c ? ? 3? ?

即 c ? 1, a ?

2,

∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

…5 分

5. (四川省遂宁市 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)已知圆 C 经过点 A(﹣2,0) , B(0,2) ,且圆心 C 在直线 y=x 上,又直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点. (1)求圆 C 的方程; (2)若 ? =﹣2,求实数 k 的值;

(3)过点(0,4)作动直线 m 交圆 C 于 E,F 两点.试问:在以 EF 为直径的所有圆中, 是否存在这样的圆 P,使得圆 P 经过点 M(2,0)?若存在,求出圆 P 的方程;若不存在, 请说明理由. 【分析】 (1)设圆心 C(a,a) ,半径为 r.|AC|=|BC|=r,由此能求出圆 C 的方程. (2)由 ? =2× 2× cos< , >=﹣2,得∠POQ=120° ,圆心 C 到直线 l:kx﹣y+1=0

的距离 d=1,由此能求出 k=0.

(3)当直线 m 的斜率不存在时,圆 C 也是满足题意的圆;当直线 m 的斜率存在时,设直 线 m:y=kx+4,由 ,得(1+k2)x2+8kx+12=0,由此利用根的判别式、韦达定理,

结合已知条件能求出在以 EF 为直径的所有圆中,存在圆 P:5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0 或 x2+y2=4,使得圆 P 经过点 M(2,0) .

(3) (ⅰ)当直线 m 的斜率不存在时, 直线 m 经过圆 C 的圆心 C, 此时直线 m 与圆 C 的交点为 E(0,2) ,F(0,﹣2) , EF 即为圆 C 的直径,而点 M(2,0)在圆 C 上, 即圆 C 也是满足题意的圆.…

6. (四川省遂宁市 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)

的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的距离为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 A,B 两点间的距离.

【分析】 (1)根据题意先求出 a,由离心率求出 c、b,代入椭圆方程即可; (2)联立直线方程和椭圆方程消去 y 求出交点 A、B 的横坐标,代入直线方程求出对应的 纵坐标,代入两点间的距离公式求出|AB|.

7. (甘肃省白银市会宁四中 2016 届高三(上)期末数学(理)试题)椭圆 C:

+

=1

(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;



(Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 【分析】(Ⅰ)利用两点间的距离公式可得 c,再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出 a, b; (Ⅱ)把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用以 AB 为直径的圆过 椭圆的右顶点 D,可得 kAD?kBD=﹣1,即可得出 m 与 k 的关系,从而得出答案.

8. (广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2016 届高三上学期期末数学(理)试题)分 别过椭圆 E: =1(a>b>0)左、右焦点 F1、F2 的动直线 l1、l2 相交于 P 点,与椭圆

E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、 k4,且满足 k1+k2=k3+k4,已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 (1)求椭圆 E 的方程; ,|CD|= .

(2)是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出 M、N 点坐标,若不存在, 说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (1)由已知条件推导出|AB|=2a=2 程. (2)焦点 F1、F2 坐标分别为(﹣1,0) , (1,0) ,当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标 为(﹣1,0)或(1,0) ,当直线 l1,l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2,设 A(x1,y1) , ,|CD|= ,由此能求出椭圆 E 的方

B(x2,y2) ,由

,得

,由此利用韦

达定理结合题设条件能推导出存在点 M, N 其坐标分别为 ( 0, ﹣1) 、 (0,1) , 使得|PM|+|PN| 为定值 2 .

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值的判断 与证明,对数学思维的要求较高,有一定的探索性,解题时要注意函数与方程思想、等价转 化思想的合理运用. 9. (广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2016 届高三上学期期末数学(理)试题)平面 直角坐标系 xOy 中,经过椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点的直线 x﹣y﹣ =0 与

C 相交于 M,N 两点,P 为 MN 的中点,且 OP 斜率是﹣ . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 分别与椭圆 C 和圆 D:x2+y2=r2(b<r<a)相切于点 A,B,求|AB|的最大值. 【考点】椭圆的简单性质.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)设出 M,N 的坐标,由 MN 所在直线斜率为 1,P 为 MN 的中点,且 OP 斜 率是﹣ 及 M,N 都在椭圆上列式得到 a,b 的关系,再由焦点在直线 x﹣y﹣ 含条件得 a,b 的另一等式,联立方程组即可求得 a,b 的值,则椭圆方程可求; (Ⅱ)设 A,B 分别为直线 l 与椭圆和圆的切点,再设出切点 A(x0,y0) ,联立直线方程和 椭圆方程,求出切点 A 的坐标,由直线和圆相切得到 ,结合直线和椭圆联立所得 =0 上及隐

方程的判别式等于 0,把 k,m 用含有 r 的代数式表示,再由|AB|2=|OA|2﹣r2,最后化为含有 r 的函数式,利用基本不等式求得最值.



r2=





,当 r=

(1,2)时取等号,∴



因此当 r=

(1,2)时,|AB|的最大值是 1.

【点评】本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线,圆与圆锥曲线的位置关系, 涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题, 常采用联立直线和圆锥曲线, 利用一元二次方程的根 与系数关系求解,特点是运算量大,要求考生具有较强的运算能力,是压轴题. 10. (黑龙江省哈尔滨六中 2016 届高三上学期期末数学 (理) 试题) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 A,B,圆 x2+y2=4 上有一动点 P,P 在 x 轴的上方,C(1,0) ,直线

PA 交椭圆 E 于点 D,连结 DC,PB. (1)若∠ADC=90° ,求△ ADC 的面积 S; (2)设直线 PB,DC 的斜率存在且分别为 k1,k2,若 k1=λk2,求 λ 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设 D(x,y) ,利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于 x,y 的方程,与椭 圆的方程联立即可解得点 D 的坐标,利用 S△ ADC= 即可得出;

(2)设 P(x0,y0) ,得到直线 PA 的方程,与椭圆的方程联立及利用点 P 在圆上即可表示 出直线 PB、DC 的斜率,利用 k1=λk2,及反比例函数的单调性即可得出.

∴S△ ADC=

=



【点评】熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公 式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函 数的单调性是解题的关键. 11. (长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)数学理科试题)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 1 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且离心率为 ,点 P 为椭圆上一动 a b 2
点, ?F1 PF2 内切圆面积的最大值为

?
3

.

(1)求椭圆的方程; (2) 设椭圆的左顶点为 A1 ,过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,连结 A1 A , A1 B 并 延长交直线 x ? 4 分别于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点 坐标;若不是,请说明理由. 【命题意图】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用,椭圆方程的求法,直线与圆锥曲线 的相关知识,以及恒过定点问题.

? x ? ty ? 1 ? (2) 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 联立 ? x 2 y 2 可得 ?1 ? ? 3 ?4

(3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ,则 y1 ? y2 ?
直线 AA1 的方程为 y ?

?6t ?9 , y1 y2 ? 2 3 ? 4t 3 ? 4t 2

y1 ( x ? (?2)) , x1 ? (?2) y2 ( x ? (?2)) , x2 ? (?2)

直线 BA1 的方程为 y ?

则 P (4,

6 y1 6 y2 ) , Q(4, ) ,假设 PQ 为直径的圆是否恒过定点 M (m, n) , x1 ? 2 x2 ? 2 ???? ? 6 y1 6 y2 ? n) , MQ ? (4 ? m, ? n) , x1 ? 2 x2 ? 2

则 MP ? (4 ? m,

????

???? ???? ? 6 y1 6 y2 MP ? MQ ? (4 ? m) 2 ? ( ? n)( ? n) ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2
即 MP ? MQ ? (4 ? m) 2 ? (

???? ???? ?

6 y1 6 y2 ? n)( ? n) ? 0 ty1 ? 3 ty2 ? 3



(36 ? 12nt ) y1 y2 ? 18n( y1 ? y2 ) ? n 2 ? (4 ? m) 2 ? 0 t 2 y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9

(36 ? 12nt )(?9) ? 18n(?6t ) ? n 2 ? (4 ? m) 2 ? 0 ,即 6nt ? 9 ? n 2 ? (4 ? m) 2 ? 0 2 2 ?9t ? 3t (?6t ) ? 9(3t ? 4)
若 PQ 为直径的圆是否恒过定点 M (m, n) ,即不论 t 为何值时, MP ? MQ ? 0 恒成立, 因此, n ? 0 , m ? 1 或 m ? 7 . 即恒过定点 (1, 0) 和 (7, 0) . (12 分)

???? ???? ?

12. (甘肃省河西五市部分普通高中 2016 年 1 月高三第一次联考数学(理)试题)(本小题 满分 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 F (?1, 0) ,左右顶点分别为 A , B ,经过 a2 3

点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (1)求椭圆方程; (2)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (3)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 | S1 ? S 2 | 的最大值.

【答案】 (1) 【解析】

x2 y 2 24 (2) ; (3) 3 . ? ? 1; 4 3 7

(3)当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x ? ?1 ,此时 D (?1, ) , C ( ?1, ? ) , ?ABD ,

3 2

3 2

?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0 ,当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为
y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) ,和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ? 此时

8k 2 4k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

| S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |
? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
∵ k ? 0 ,上式 ?

12 | k | , 3 ? 4k 2
? 12 12 3 ? ? 3, (k ? ? 时等号成立) , 2 3 2 12 2 ?4 | k | |k|

12 3 ?4|k | |k|

∴ | S1 ? S 2 | 的最大值为 3 . 13. (甘肃省张掖市 2016 届高三第一次诊断考试数学(理科)试题) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左右焦点分别为 a 2 b2

F1 F2 = 2 5 ,点 P 为椭圆

短轴的端点, 且 D PF1 F2 的面积为 2 5 . (1)求椭圆的方程; (2)点 Q 是椭圆上任意一点, A(4 5, 6), 求 QA - QF1 的最小值; (3)点 B(1,

4 2 ) 是椭圆上的一定点, B1 , B2 是椭圆上的两动点,且直线 BB1 , BB2 3

关于直线 x = 1 对称,试证明直线 B1 B2 的斜率为定值.

(3) .设直线 BB1 的斜率为 k , 因为直线 BB1 与直线 BB2 关于直线 x = 1 对称, 所以直线 BB2 的斜率为 - k ,


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