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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用(一)


北师大版高中数学必修5第 二章《解三角形》

1

知识目标:1、三角形形状的判断依据; 2、 利用正弦、余弦定理进行边角互换。 能力目标:1、 进一步熟悉正、余弦定理; 2、 边角互化;3、判断三角形的形状; 4、证明
三角形中的三角恒等式。

教学重点:利用正弦、余弦定理进行边角互 换。 教学难点:1、利用正弦、余弦定理进行 边 角互换时的转化方向;2、三角恒等式证 明中结论与条件之间的内在联系。
2

一.复习回顾:
1、正弦定理:

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R

(其中:R为△ABC的外接圆半径) 2、三角形面积公式: 1 1 1 S ? ABC ? bc sin A ? ca sin B ? ab sin C 2 2 2 3、正弦定理的变形:

a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C
sin A ? a 2R , sin B ? b 2R , sin C ? c 2R
3

sin A : sin B : sin C ? a : b : c

余弦定理:
a ? b ? c ? 2 bc cos A
2 2 2

cos A ? cos B ? cos C ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc c ?a ?b
2 2 2

b ? a ? c ? 2 ac cos B
2 2 2

变形

c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2

2 ca a ?b ?c
2 2 2

在 ? ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关三角形问题时, 经常用到,要记熟并灵活地加以运用:

2 ab

A? B ?C ??; sin( A ? B ) ? sin C , cos( A ? B ) ? ? cos C
sin A? B 2 ? cos C 2 , cos A? B 2 ? sin C 2
4

二、例题分析
问题1:
在 ? ABC 中, 1 .已知 b ? 8, c ? 3, A ? 60 ? , 求 a ; 2 .已知 a ? 20 , b ? 29 , c ? 21 , 求 B ; 3 .已知 a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ? , 求 b . 4 .已知 ? ABC 的面积为 b ? 2, 求 C 3,且 a ? 2 3,

练习题答案: 1. 7; 150°

2. 90°;

3. 7;

4.30°或
5

问题2: 在?ABC中,已知2b=a+c,证明:
A c b

2sinB=sinA+sinC
引:能找到三角形各边与对角正弦的关系吗? 导:如何利用正弦定理证明以上关系?

B

a

C

证明:由

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R



a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将此式 代入 2b=a+c 得 2?2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC
6

在?ABC中,已知b2 =a ? c, 变式1:
证明:sin2B=sinA ? sinC.
证明:由
A c

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R



b

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 2 将此式 代入 b =a ? c 得
2

B

a

C

(2RsinB)=(2RsinA)(2RsinC)

即 sin B=sinA ? sinC

2

7

变式2: 在?ABC中,已知
sin B ? sin C ? sin A ( 2 sin B ? sin A ) 求角C.
2 2

8

问题3: 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
A c

解:条件整理变形得
b

b ? c ? a ? ? bc
2 2 2

B

a

C



b ?c ?a 2 bc

2

2

2

??

1 2

cos A ? ?

1 2

A=120 0

动手实践:在?ABC中,已 知 2 2 2

a ?b ?c ?

2 ac ,求角B.
9

变式1:在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C的 对边,试证明:a=bcosC+ccosB
a ?b ?c
2 2 2

证明:由余弦定理知: C ? cos

2 ab
右边= ? b
2

, B? cos
2

c ?a ?b
2 2

2

2 ca
2

a ?b ?c
2 2

2

?c?
2

c ?a ?b
2

2 ab
? a ?b ?c
2 2 2

2 ca
? c ?a ?b 2a
B
2

A
c b D a

?

2a

2

2a

? a ? 左边

C
10

2a

变式 2:根据所给的条件,判

断 ? ABC 的形状。

(1 a cos B ? b cos A )

(2) a cos A ? b cos B

解 : ) ? a cos B ? b2 cos A 2 (1 2 2 2 2 a ?c ?b b ?c ?a ? a ?( ) ? b ?( ) 2 ac 2 bc

? 2a ? 2b ?a ?c ?b ? b ?c ?a ? a ? b ? ? ABC 为等腰三角形。
2 2 2 2 2 2
2

2

法二:由 a cos B ? b cos A 得
2 R sin A cos B ? 2 R sin B cos A ? sin A cos B ? sin B cos A ? 0 即 sin( A ? B )? 0

?A? B
11

(2) a cos A ? b cos B 解 : ) a cos A ? b cos B (2 ?
? a ?( b ?c ?a
2 2 2

) ? b ?(
2 2

a ?c ?b
2 2

2

)

?a c ?a ?b c ?b ? 0
2 2 4 4

2 bc
2

2 ac

? ( a ? b )( c ? a ? b ) ? 0
2 2 2 2

? a ? b 或 c ? a ? b ? 0 ? a ? b或 c ? a ? b ? ? ABC 为等腰三角形或直角三 角形。
2 2 2 2 2 2 2

2

法二:由 a cos A ? b cos B 得
2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ? sin 2 A ? sin 2 B

? 2 A ? 2B或 2 A ? ? ? 2B
即 A ? B或 A ? B ?

?

2

12

三、已知三角形形状, 讨论边的取值范围。
1、 ? ABC 的三边为 ?a ? b ? c ? a , b , c , ? ?b ? c ? a ?c ? a ? b ?
2 2 2

2 、当△ABC直角三角形时 ? c ? a ? b (c>a>b)

13

当△ABC为钝角三角形时(c>b>a)

? a ?b ?c ? 0
2 2 2

当△ABC为锐角三角形时(c>b>a)

? a ?b ?c ?0
2 2 2

当△ABC为锐角三角形时

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 ? 2 2 2 ? ?b ? c ? a ? 0 ? 2 2 2 c ?a ?b ?0 ?
14

思考题:a ,a+1,a+2 构成钝角三角形, 求a 的取值范围。

教学反思:

15


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