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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 {an } 称等差数列; 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ? n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2 ② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {an }满足 an?1 , 则 {an } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : ? q (常数) an an ? a1q n?1 ? ak q n ?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ? a?b ; 2 2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质: n 2n 3n 1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则 ? ak , k ?1 n k ?1 k ? n ?1 2n ? ak , k ? 2 n ?1 3n ?a k 组成公差为 n2d 的等差数列; 2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则 偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列, ? ak , k ? n ?1 ? ak , k ? 2 n ?1 ?a k 组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为 1 则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列. ⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶 2 2 数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ? nd . 2 (二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等 比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证 明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“ a,a+m,a+2m(或 a-m,a,a+m ) ” ② 三 数 成 等 比 数 列 , 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq2( 或 a , a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 , 可 设 四 数 为 q “ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 , 可 设 四 数 为 “ a, aq, aq , aq (或 2 3 a a ,? , aq,?aq3 ), ”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. 3 q q [例 1]解答下述问题: 1 1 1 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b , , (1) 成等差数列; a b c b b b (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. 2 2 2 (Ⅰ)已知 [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决, 1 1 2 a?c 2 ? ? ? ? ? 2ac ? b(a ? c), a c b ac b b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 (1) ? ? ? ? a c ac ac 2 2( a ? c ) 2( a ? c ) ? ? . b( a ? c ) b b?c c?a a?b ? , , 成等差数列 ; a b c b b b b2 b (2)(a ? )(c ? ) ? ac ? (a ? c) ? ? (? ) 2 , 2 2 2 4 2 b b b ? a ? ,? , c ? 成等比数列 . 2 2 2 ? (Ⅱ)设数列 {an } 的前n项和为S n , 且满足a2 ? 1,2S n ? n(an ? 1), 2 (1)求证: {an } 是等差数列; (2)若数列 {bn }满足 : b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ? ? (2n ? 1)bn ? 2n?1 an ? 6 求证:{ bn }是等比数列. [解析](1) ? ?2S n ? n(a n ? 1) ?2S n ?1 ? (n ? 1)(a n ?1 ? 1)

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