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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编2:函数 Word版含答案

山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 2:函数
一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A. 已知函数 )

?kx ? 2, x ? 0 f ( x) ? ? ? k ? R ? ,若函 ?1nx, x ? 0
( )

数 y ? f ? x ? ? k 有三个零点,则实数 k 的取值范围是 A. k ? 2 【答案】D B. ?1 ? k ? 0 C. ?2 ? k ? ?1 D. k ? ?2

【 解 析 】 由 y ? f ? x ? ? k ? 0 , 得 f ( x) ? ?k , 所 以 k ? 0 . 做 出 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 如 图

,要使函数 y ? f ? x ? ? k 有三个零点,则由 ? k ? 2 ,即 k ? ?2 , 选 D.

2 . 2013 年临 沂市 高三教 学质 量检 测考 试理 科数学 ) 已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) },若对于任意 (

( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列
四个集合: ①M={ ( x, y )| y ?

1 };②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 }; x


③M={ ( x, y )| y ? log 2 x };④ M ? {( x, y ) y ? e x ? 2} .其中是“垂直对点集”的序号是 ( A.①②
【答案】

B.②③ 【答案】D① y ?

C.①④

D.②④

1 是以 x, y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为 90°,在同一支上,任 x

意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在 (x2,y2)∈M, 使 得 x1x2+y1y2=0 成 立 , 所 以 不 满 足 “ 垂 直 对 点 集 ” 的 定 义 , 不 是 “ 垂 直 对 点 集 ”.② M ? {( x, y ) y ? y ? sin x ? 1} , 如 图 在 曲 线 上 , 两 点 构 成 的 直 角 始 存 在 , 所 以

M ? {( x, y ) y ? y ? sin x ? 1}是“垂直对点集”.

对于③ M ? {( x, y ) y ? log 2 x} ,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取 M (0, ?1) ,N (log 2 2, 0) , 满足“垂直对点集”的定义,所以正确.

对于④ M ? {( x, y ) y ? e x ? 2} ,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相

垂直,所以不是“垂直对点集”.

,故选

D.

3 . (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? 的图象是 ? ? x? ?

( A.
【答案】B



B.

C.

D.

因为 f (2) ? ln1 ? 0 ,排除 A. f (?2) ? ln(? ) 无意义,排除

( D. f (4) ? ln(4 ? ) ? ln



15 ? 0 ,排除 C,选 B. 4 9 4 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? ( x ? ?1) ,当 x=a x ?1
时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐标系 中,函数 g ( x) ? ( )

3 2

1 4

1 a

x ?1

的大致图象为

【答案】B y ? x ? 4 ?

9 9 9 ? x ? 1+ ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 1 ? 0, ? 0 ,所以由均值不等 x ?1 x ?1 x ?1

式 得 y ? x ? 1+

9 9 9 2 ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ? 5 ? 1 , 当 且 仅 当 x ?1 ? , 即 ( x ? 1) ? 9 , 所 以 x ?1 x ?1 x ?1
时 取 等 号 , 所 以

x ? 1 ? 3, x ? 2

a?2 , 所 以

1 x ?1 1 x ?1 g ( x) ? ( ) ? ( ) a 2

, 又

? 1 x ?1 1 x ?1 ?( ) , x ? ?1 ,所以选 B. g ( x) ? ( ) ? ? 2 2 ?2 x ?1 , x ? ?1 ?
5 . (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)函数

f ( x ) ? e1? x 的部分图象大致是
2

【答案】
2

【答案】C 函数为偶函数,所以图象关于 y 轴对称,排除 A, C.

B.又因为

e1? x ? 0 ,所以排除 D,选

6 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,


0.2



x ? ( ? ?, 0 ) ,f ( ) x f '( ? 0 x ? x )







a=(2 )· f (2 ), b ? (1n 2) · f (1n 2), c ? (1og 1
0.2
2

1 1 ) · f (1og 1 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 ( 4 2 4
D. a ? c ? b



A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

【答案】B 因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,所以 y ? f ( x ) 关于 y 轴对称,所以函数

y ? xf ( x)

为 奇 函 数 . 因 为

[ xf ( x)]' ? f ( x )? xf '( x ) , 所 以 当

x ? ( ??, 0)

时, [ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ? 0 ,函数 y ? xf ( x) 单调递减,当 x ? (0, ??) 时,函数 y ? xf ( x) 单调递 减.因为 1 ? 2
0.2

? 2 , 0 ? ln 2 ? 1 , log 1
2

1 1 ? 2 ,所以 0 ? ln 2 ? 20.2 ? log 1 ,所以 b ? a ? c ,选 B. 4 2 4

7 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足

以 下 三 个 条 件 :① 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ;② 对 于 任 意 的

x1 , x2 ? R, 且0 ? x1 ? x2 ? 2, 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ); ③函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结
论中正确的是 ( )

A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)
【答案】A

B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

【解析】 f ( x ? 4) ? f ( x) 知函数的周期是 4,由②知,函数在 [0, 2] 上单调递增,函数 y ? f ( x ? 2) 的 由 图象关于 y 轴对称,即函数函数 y ? f ( x) 的图象关于 x ? 2 对称,即函数在 [2, 4] 上单调递减.所以

f (4.5) ? f (0.5) , f (6.5) ? f (2.5) ? f (1.5) , f (7) ? f (3) ? f (1) , 由 f (0.5) ? f (1) ? f (1.5) 可 知

f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) ,选
A.
8 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知函数 f ( x ) ? x ?





1n | x | ,则函数 y ? f ( x) 的大 x2

致图象为

【答案】A

因为函数为非奇非偶函数,所以排除 B, A.

C.又 f (?1) ? ?1 ? 0 ,排除 D,选





9 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设函数

f ? x ? ? 2 x ,则如图所示的函数图象对应的

函数是

( A. y ? f ?| x |? B. y ? ? | f ? x ? | D. y ? f ? ? | x |?
【答案】C



C



y ? ? f ? ? | x |?

【 解析】因为当 x ? 0 时, y ? ?1 ,所以排除 A,

D.又因为函数的图象关于 y 轴对称,

所以函数为偶函数,所以排除 B,选

C.

10. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)下列函数图象中,正确的是

【答案】C

【解析】A 中幂函数中 a ? 0 而直线中截距 a ? 1 ,不对应.B 中幂函数中 a ? 对应.D 中对数函数中 a ? 1 ,而直线中截距 0 ? a ? 1 ,不对应,选
11 . 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理科 数 学 ) 已知函数 (

1 而直线中截距 a ? 1 ,不 2
C.

? x, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ,若函数 x ? x, x ? 0 ?
( )

g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为
A. [?

1 ,1] 2

B. [?

1 ,1) 2

C. (?

1 , 0) 4

D. (?

1 , 0] 4

【 答 案 】 C

由 g ( x) ? f ( x) ? m =0 得

f ( x) ? m , 作 出 函 数 y ? f ( x) 的 图

象,

, 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ?

1 2

1 ? 0 ,所以要使函数 4
C.

g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则

1 1 ? m ? 0 ,即 (? , 0) ,选 4 4

12. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)对于函数 f ( x) ,如果存在锐角 ? 使得 f ( x) 的图象

绕坐标原点逆时针旋转角 ? ,所得曲线仍是一函数,则称函数 f ( x) 具备角 ? 的旋转性,下列函数具有角

?
4

的旋转性的是

( B. y ? ln x C. y ? ( ) x



A. y ?
【答案】C

x

1 2

D. y ? x 2

设直线 y ? x ? b ,要使 f ( x) 的图像绕坐标原点逆时针旋转角 C.

?
4

,所得曲线仍是一函数,则

函数 y ? x ? b 与 f ( x) 不能有两个交点.由图象可知选

13. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x ? R ,都有

f ? x ? 6 ? ? f ? x ? ? f ? 3? 成 立 , 若 函 数 y ? f ? x ? 1? 的 图 象 关 于 直 线 x ? ?1 对 称 , 则 f ? 2013? ?
( A. 0
【答案】A



B. 2013

C. 3

D. ?2013

【 解析】函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 x ? ?1 对称,则 f ( x) 关于 y 轴对称,即函数 f ( x) 为偶函 数 . 令 x ? ?3 , 得 f ? ?3 ? 6 ? ? f ? ?3? ? f ? 3? , 即

f (3) ? 2 f (3)

, 所 以

f (3) ? 0

, 所 以 )

f ? x ? 6? ? f ? x?
A.

,即函数

f ( x) 的周期为 6.所以 f ? 2013? ? f (335 ? 6 ? 3) ? f (3) ? 0

,选 (

14.山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学 ( (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 的定义域为 [a, b](a ? b) ,
2

值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是 A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C





由 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 5 ,得 x 2 ? 4 ,即 x ? ?2 .故根据题意得 a,b 的取值范围为: ?2 ? a ? 0 且 b ? 2 或者

0 ? b ? 2 且 a ? ?2 ,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为 2 的正方形面积为

4,选

C.

15. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每

10 人给一个代表名额,当班级人数除以 10 的余数大于 6 时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? [ x] ([x]表示不大于*的最大整数)可表示为 ( A. y ? [ )

x ] 10

B. y ? [

x?3 ] 10

C. y ? [

x?4 ] 10

D. y ? [

x?5 ] 10

【答案】B 法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除

C.D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B

法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? ?10 ?, ? 10 ? ? ? ? ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? 1 ? ?10 ? ? 1 ,所以选 B ? 10 ? ? ? ? ?
16 . 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 校 际 联 考 数 学 ( 理 ) 已 知 函 数 ( )

?1gx, x ? 0 f ( x) ? ? ,则 ? x ? 3, x ? 0

f (a ) ? f (1) ? 0 ,则实数 a 的值等于
A.-3
【答案】D

( C.1 D.-3 或 l



B.-l 或 3

【解析】因为 f (1) ? lg1 ? 0 ,所以由 f (a ) ? f (1) ? 0 得 f (a ) ? 0 .当 a ? 0 时, f (a ) ? lg a ? 0 ,所以

a ? 1 .当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 3 ? 0 ,解得 a ? ?3 .所以实数 a 的值为 a ? 1 或 a ? ?3 ,选 D.
17. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设 a ? b ,函数 y ? ? x ? a ?
2

? x ? b ? 的图象可能是

【答案】B

【解析】由图象可知 0 ? a ? b . y ? f ( x) ? ? x ? a ?
2

2

? x ? b ? ,则 f (0) ? ?a 2b ? 0 ,排除 A,
B.

C.,当

a ? x ? b 时, f ( x) ? ? x ? a ? ? x ? b ? ? 0 ,排除 D,选

18. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知函数 f ( x) ?

1 x ?x (e ? e ) , 则 f ( x) 的图象 2
( )

A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称
【答案】A

B.关于 y 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称

f (? x) ?
【 解析】因为 点对称,选 A.

1 ?x x 1 (e ? e ) ? ? (e x ? e ? x ) ? ? f ( x ) 2 2 ,所以函数为奇函数,所以 f ( x) 关于原
( )

19. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(

1 2 ),则 , 2 2


log2f(2)的值为 A.

( B.-

1 2

1 2

C.2

D.-2

【答案】A 设幂函数为

1 1 2 1 , 解 得 ? ? , 所 以 f ( x) ? x , 所 以 f ( x) ? x? , 则 f ( ) ? ( )? ? 2 2 2 2
1 ,选 2
( )

f (2) ? 2 ,即 log 2 f (2) ? log 2 2 ?
A.

20. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)函数

f ( x) ? ? cos x lg x 的部分图像是

【答案】A 因为函数为偶函数,所以图象关于 y 轴对称,所以排除 B,

D





x ? 0 f ( x) ? 0 ,排除 D ,选
A.





21. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知 f (x) 为奇函数,在

?3, 6? 上是增函

数, ?3, 6? 上的最大值为 8,最小值为 ?1 ,则

2 f (?6) ? f (?3) 等于
A. ?15
【答案】A

( C. ?5 D. 5



B. ?13

【 解 析 】因 为 函 数在 ?3, 6? 上 是 增 函 数 ,所 以 f (6) ? 8 , f (3) ? ?1 , 又 因为 函 数 为奇 函 数 ,所 以

2 f (?6) ? f (?3) ? ?2 f (6) ? f (3) ? ?2 ? 8 ? 1 ? ?15 ,选
A.
22 .( 山 东 省 枣 庄 三 中 2013 届 高 三 上 学 期 1





月 阶 段 测 试 理 科 数 学 ) 已 知

f1 ( x) ? a x , f 2 ( x) ? x a , f3 ( x) ? log a x ,( a ? 0 且 a ? 1 ), 在 同一 坐标 系中 画出 其中 两个 函数 在

( A.B
【答案】B



C.D

【解析】A 中 f1 ( x) ? a x 单调递增,所以 a ? 1 ,而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递减, a ? 0 ,所以不正确.B 中

f3 ( x) ? log a x 单调递增,所以 a ? 1 ,而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递增,,所以正确.C 中 f1 ( x) ? a x 单调递增,
所以 a ? 1 ,而 f 3 ( x) ? log a x 递减, 0 ? a ? 1 ,所以不正确.D 中 f1 ( x) ? a x 单调递减,所以 0 ? a ? 1 ,而 幂函数 f 2 ( x) ? x a 递增, a ? 0 ,所以不正确.所以正确的是 B.

23. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0

时 f ( x) ? 3 ? m (m 为常数),则 f( ? 1og35)
x

的值为 A.4
【答案】B

( B. ? 4 C.6 D. ? 6



【解析】因为函数在 R 上是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 f (0) ? 1 ? m ? 0 ,所以 m ? ?1 ,所以 x ? 0 时

f ( x) ? 3x ? 1 .所以 f (? log 3 5) ? ? f (log 3 5) ? ?(3log3 5 ? 1) ? ?5 ? 1 ? ?4 ,选
24. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学 (理) 已知 a>0,b>0,且 ab ? 1 ,则函数 )

B.

f ( x) ? a x 与

函数 g ( x) ? 1og b x 的图象可能是

【答案】D

【解析】因为对数函数 g ( x) ? 1og b x 的定义域为 (0, ??) ,所以排除 A,

C . 因 为 D.

ab ? 1 ,所以 b ?

1 x ,即函数 f ( x) ? a 与 g ( x) ? 1og b x 的单调性相反.所以选 a

25. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题) 设

f ( x) ? 3x ? 3 x ? 8 ,用二分法求方程

3x ? 3 x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内近似解的过程中得 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0 ,则方程的根落在区
间 A.(1,1.25) 【答案】B ( B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 )

【解析】 因为 f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0 ,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间 (1.25,1.5) 上,所 以选 B.
4

26. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)设函数 f ( x) ? x ? ax (a ? 0) 的零点都在区

间[0,5]上,则函数 g ( x) ? 个数为 A.3
【答案】B

1 与函数 h( x) ? x 3 ? a 的图象的交点的横坐标为正整数时实数 a 的取值 x
( ) C.5 D.无穷个

B.4

f ( x) ? x 4 ? ax ? x( x 3 ? a ) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 3 a ,即函数的零点有两个,要使零点都在区间[0,5]
上,则有 0 ?
3

a ? 5 ,解得 0 ? a ? 125 .由 h( x) ? g ( x) 得 x3 ? a ?

1 ,即 x 4 ? ax ? 1 有正整数解.设 x

m( x) ? x 4 ? ax , 当 x ? 1 时 , m(1) ? 1 ? a ? 1 , 解 得 a ? 0 , 不 成 立 . 当 x ? 2

15 ? 125 成立.当 x ? 3 时, m(3) ? 34 ? 3a ? 81 ? 3a ? 1 , 2 255 624 解得 a ? ? 125 成 立. 当 x ? 5 时 , m(5) ? 54 ? 5a ? 625 ? 5a ? 1 , 解得 a ? ? 125 成 立. 当 4 5 1295 x ? 6 时, m(6) ? 64 ? 6a ? 1296 ? 6a ? 1 ,解得 a ? ? 125 ,不成立.所以满足条件的实数 a 的取 6
时, m(2) ? 24 ? 2a ? 16 ? 2a ? 1 ,解得 a ? 值为 2,3,4,5,共有 4 个.选 B.
27. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 对任意的 x 都满足

f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当 ?1≤x<1 时, f ( x) ? x 3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a x 至少 6 个零点,则 a 取
值范围是 A. 0, ]? 5, ??) ( ( ( B . )

1 5

1 (0, ) [5, ??) ? 5

C. ( , ] ? 5, 7) D. , ) [5, 7) ( ( ?
【 答 案 】 A

1 1 7 5

1 1 7 5

由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 得 , f ( x ? 2) ? f ( x) , 所 以 函 数 的 周 期 是 2. 由

g ( x) ? f ( x) ? log a x =0 .得 f ( x)= log a x ,分别作出函数 y ? f ( x), y ? m( x)= log a x 的图象,因为 m(5)= log a 5 ? m(?5) .所以若 a ? 1 ,由图象可知要使函数 g ( x) ? f ( x) ? log a x 至少 6 个零点,则
满足 m(5)= log a 5 ? 1 .此时 a ? 5 .若 0 ? a ? 1 ,由图象可知要使函数 g ( x) ? f ( x) ? log a x 至少 6 个 零点,则满足 m(?5)= log a 5 ? ?1 ,此时 0 ? a ? A.

1 1 .所以 a 取值范围是 0, ]? 5, ??) ,选 ( ( 5 5





28. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学) 已知 log 1 ( x ?
2

y ? 4) ? log 1 (3 x ? y ? 2) ,若
2

x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是
A. ? ??,10? B. ? ??,10 ? C. ?10, ?? ? D. ?10, ?? ?





?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0 ? ? 【答案】 要使不等式成立,则有 ?3 x ? y ? 2 ? 0 C ,即 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,设 z ? x ? y ,则 y ? x ? z . ? x ? y ? 4 ? 3x ? y ? 2 ?x ? 3 ? ?

作出不等式组对应的平面区域如图

,平移直线 y ? x ? z ,由图象可知当直线

?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?7 ,解得 ? ,代入 z ? x ? y y ? x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大,由 ? ?x ? 3 ?x ? 3
得 z ? x ? y ? 3 ? 7 ? 10 ,所以要使 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 ? ? 10 ,即 ?10, ?? ? ,选 C.
29. (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ≥0

?log 1 ( x ? 1), x ? ?0,1? , ? ? 2 时, f ( x) ? ? 则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a (0< a <1)的所有零点之和为 ?1? | x ? 3 |, x ? ?1, ?? ? , ? ?
( A.1- 2
a



B. 2 ? 1
a

C.1 ? 2

?a

D. 2

?a

?1

【答案】A

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 .当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? 1? | x ? 3 | ,关于 x ? 3 对称,当 x ? ?1 时,函数关于

x ? ?3 对称,由 F ( x) ? f ( x) ? a ? 0 ,得 y ? f ( x), y ? a .所以函数 F ( x) ? f ( x) ? a 有 5 个零点.当

?1 ? x ? 0

,



,

0 ? ?x ? 1

,





f (? x) ? log 1 (? x ? 1) ? ? log 2 (1 ? x)
2

,



f ( x) ? log 2 (1 ? x) , ?1 ? x ? 0 .由 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? a ,解得 x ? 1 ? 2a ,因为函数 f ( x) 为奇函数,所
以函数 F ( x) ? f ( x) ? a (0< a <1)的所有零点之和为 x ? 1 ? 2a ,选 ( )

A.
30.【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,若对 (

于 x≥0,都有 f (x ? 2) ? f (x) ,且当 x ? [0,2] 时, f (x)=e -1 ,则 f (2013)+f (-2014) =
x





A.1-e
【答案】B

B.e-1 .

C.-l-e

D.e+l

【解析】 f (x ? 2) ? f (x) 可知函数的周期是 2.所以 f (2013) ? f (1) ? e ? 1 , f (?2014) ? f (0) ? 0 , 由 所以 f (2013)+f ( ? 2014) ? e ? 1 ,选 B.

31. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且

f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是





A.

2 3

B. 2

C. 4

D. 6

【答案】B

因为函数 f ( x ? 1) 为偶函数,所以 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即函数 f ( x) 关于 x ? 1 对称,所以

3 ? 2a ? a ? 1 B. ? 1 ,即 a ? 2 ,所以选 2 1 32. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)函数 f ( x ) ? lg x ? 的零点所在的区间是 ( x
区间 (3 ? 2a, a ? 1) 关于 x ? 1 对称,所以 A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
【答案】B 因为 f (2) ? lg 2 ? 二、填空题 33. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 函数



1 1 ? 0 , f (3) ? lg 3 ? ? 0 , 所以函数的零点在区间(2,3)上,选 2 3

B.

f ( x) ? 2| x ?1| 的递增区间为

_______________________.
【答案】 [1, ??)
t 【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ?

? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1 上单调递增, ?1 ? x, x ? 1

所以函数 f ( x) ? 2

| x ?1|

的递增区间为 [1, ??) .

34. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知函数

f ? x ? 在实数集 R 上具有

下 列 性 质 :① 直 线 x ? 1 是 函 数 f ? x ? 的 一 条 对 称 轴 ;② f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ;③ 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时, f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? 0, 则 f ? 2012 ? 、 f ? 2013? 从大到小的顺序为_______.
【答案】 f (2013) ? f (2012) ? f (2011)

?

?

由 f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? 得 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ,所以周期是 4

所以 f (2011) ? f (3) , f ? 2012 ? ? f (0) , f (2013) ? f (1) .因为直线 x ? 1 是函数 f ? x ? 的一条对称 轴,所以 f ? 2012 ? ? f (0) ? f (2) ..由 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? 0 ,可知当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时,函 数单调递减.所以 f (2013) ? f (2012) ? f (2011) .
35.【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )函数 f (x) 的定义域为 D,若存在闭区间 (

?

?

[a,b] ? D,使得函数 f ( x ) 满足: (1) f ( x ) 在[a,b]内是单调函数;(2) f ( x ) 在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为 y= f ( x ) 的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_______ (只需填符合题意的函数序号) ① f ( x ) ? x ( x ? 0 ) ;② f ( x ) ? e ( x ? R ) ;
2 x

③ f(x)?

1 4x ( x ? 0 ) ;④ f ( x ) ? 2 ( x ? 0 ) . x x ?1

【答案】①③④

? 2 ? f ( a ) ? 2a ?a ? 0 ? a ? 2a 【解析】①若 f ( x) ? x ,则由题意知 ? ,即 ? ,解得 ? 时,满足条件.② 若 2 ?b ? 2b ? f (b) ? 2b ?b ? 2 ?
2

?e a ? 2 a ? f ( a ) ? 2a ? ,即 ? ,即 a, b 是方程 e x ? 2 x 的两个根,由图象可知方程 f ( x) ? e ,则由题意知 ? b ?e ? 2b ? f (b) ? 2b ?
x

?1 ? a ? 2b ? f (a ) ? 2b 1 ? x ,即 ? ,所以只要 e ? 2 x 无解时,所以不满足条件.③若 f ( x) ? ,则由题意知 ? 1 x ? f (b) ? 2a ? ? 2a ?b ?
ab ?

4 ? 4x2 1 4x 即可,所以满足条件.④若 f ( x) ? 2 ,因为 f '( x) ? 2 ,则由题意知当 0 ? x ? 1 ( x ? 1) 2 2 x ?1
? f ( a ) ? 2a 得 ? f (b) ? 2b

时 , f '( x) ? 0 , 函 数 递 增 , 当 x ? 1 时 , f '( x) ? 0 , 函 数 递 减 . 当 0 ? x ? 1 时 由 ?

? 4a ? a 2 ? 1 ? 2a 4x ? ,由 2 ? 2 x ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ,所以当 a ? 0, b ? 1 时,满足条件,即区间为 [0,1] . ? 4b x ?1 ? ? 2b ? b2 ? 1 ?
所以存在“和谐区间”的是①③④.
36. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知 f ( x) 为 R 上的偶函数,对任意 x ? R 都

有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 且当 x1 , x2 ? ? 0,3? , x1 ? x2 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,给出四个命 x1 ? x2

题: ① f (3) ? 0 ② 直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图像的一条对称轴 ④ 函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?9? 上有四个零点

③ 函数 y ? f ( x) 在 ? ?9, ?6? 上为增函数 其中所有正确命题的序号为______________ 【答案】①②④

【 解 析 】 令 x ? ?3 , 得 f (?3 ? 6) ? f (?3) ? f (3) ? f (3) , 即 f (3) ? 0 , 所 以 ① 正 确 . 因 为

f ( x ? 6) ? f ( x ) ? f (3) ,所以 f (? x ? 6) ? f (? x) ? f (3) ? f ( x ) ? f (3) ,即 f (? x ? 6) ? f ( x ? 6) ,
所以直线 x ? 6 是函数 y ? f ( x) 的图像的一条对称轴,因为函数为偶函数,所以 x ? ?6 也是函数

y ? f ( x) 的图像的一条对称轴所以②正确.由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可知函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上递增, x1 ? x2

又 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) ? f ( x) ,所以函数的周期为 6,所以函数在 [6,9] 上递增,所以在 ? ?9, ?6? 上 为 减 函 数 , 所 以 ③ 错 误 . 因 为 函 数 的 周 期 为 6, 所 以 f (?9) ? f (?3) ? f (3) ? f (9) ? 0 , 故 函 数

y ? f ( x) 在 ? ?9, ?9? 上有四个零点,所以④正确,所以正确的命题为①②④
37 . 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 f ( x) ? ? (

?| lg x |, x ? 0
| x| ?2 , x ? 0

,则函数

y ? 2 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 1 的零点的个数为_______个.
【答案】 5

1 .若 f ( x) ? 1 ,当 x ? 0 时,由 2 1 1 lg x ? 1 ,得 lg x ? ?1 ,解得 x ? 10 或 x ? .当 x ? 0 时,由 2 x ? 1 得 x ? 0 .若 f ( x) ? ,当 x ? 0 10 2
由 y ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? 1 ? 0 解得 f ( x) ? 1 或 f ( x) ?
2

时,由 lg x ?

1 1 1 1 x ,得 lg x ? ? ,解得 x ? 10 或 x ? .当 x ? 0 时,由 2 ? 得 x ? ?1 ,此时无解. 10 2 2 2
2013 届 高 三 3 月 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数

综上共有 5 个零点.
38 . ( 山 东 省 枣 庄 市

f ( x) ?| x ? 2011 | ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | (x ? R )的最小值为______.
【答案】2

当 x ? 2011 时 , f ( x) ? ?( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? ?3 x ? 6036 ; 当 2011 ? x ? 2012 时 ,

f ( x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? ? x ? 2014

;



2012 ? x ? 2013

时, f ( x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? x ? 2010 ; 当 x ? 2013 时 , f ( x) ? ( x ? 2011) ? ( x ? 2012) ? ( x ? 2013) ? 3 x ? 6036 . 所 以 当 x ? 2011

时 , f ( x) ? ?3 x ? 6036 ? 3 ; 当 2011 ? x ? 2012 时 , 2 ? ? x ? 2014 ? 3 . 当 2012 ? x ? 2013 时 ,

2 ? x ? 2010 ? 3

;



x ? 2013



,

3x ? 6036 ? 3

.









f ( x) ?| x ? 2011 | ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 2.
39. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) 若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内 )

的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称 f (x) 为 m 函数,现给出下列函数: ①y?

1 ; x

② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

其中为 m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上) 【答案】②③ 【解析】 ①若 y ?

1 1 m 1 1 1 1 1 ,则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 ? ? ? , ? ? ,即 x x?m x m x ? m x x ( x ? m) m
2

所 以 m ? x( x ? m) ? x ? mx , 显 然 不 恒 成 立 .② 若 y ? 2 x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 由
2

2( x ? m) ? 2 x ? 2m 恒 成 立 , 所 以 ② 为 m 函 数 .③ 若 y ? sin x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 sin( x ? m) ? sin x ? sin m ,当 m ? 2? 时,有 sin( x ? 2? ) ? sin x , sin m ? sin 2? ? 0 ,此时成立,所以
③ 为 m 函 数 .④ 若 y ? 1nx , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 由 ln( x ? m) ? ln x ? ln m ? ln mx , 即

x ? m ? mx , 即 (1 ? m) x ? m ? 0 , 要使 (1 ? m) x ? m ? 0 恒 成立 ,则有 1 ? m ? 0 , 即 m ? 1 . 但 此时
(1 ? m) x ? m ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ,所以不存在 m ,所以④不是 m 函数.所以为 m 函数的序号为②③.
40. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)

16.f ( x) ?| 2 x ? 1|, f1 ( x) ? f ? x ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? , ?, f n ? x ? ? f ? f n ?1 ? x ? ? 则函数

y ? f 4 ? x ? 的零点个数为______________.
【答案】 8

1 1 .又 f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? 2 f 2 ( x) ? 1 ? , 2 2 3 1 3 3 7 解得 f 2 ( x) ? 或 f 2 ( x) ? .当 f 2 ( x) ? 时, f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? 2 f1 ( x) ? 1 ? ,解得 f1 ( x) ? 或 4 4 4 4 8 1 1 1 5 3 f1 ( x) ? , 当 f 2 ( x) ? 时 , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? 2 f1 ( x) ? 1 ? , 解 得 f1 ( x) ? 或 f1 ( x) ? , 由 8 4 4 8 8 7 15 1 3 11 5 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? ,所以 x ? 或 .由 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? ,所以 x ? 或 .由 8 16 16 8 16 16 5 13 3 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? ,所以 x ? 或 . 8 16 16 3 11 5 由 f1 ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? ,所以 x ? 或 .所以共有 8 个零点. 8 16 16
由 f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? 0 ,即 2 f 3 ( x) ? 1 ? 0 ,解得 f 3 ( x) ?

?3x ? a( x≥0), 41. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)已知奇函数 f ( x) ? ? 则 g (?2) 的值为 ? g ( x)( x<0),
__________.
【 答 案 】 -8

因 为 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以 f (0)=3 +a =0 , 即 a ? ?1 . 所 以
0

f (?2) ? g (?2) ? ? f (2) ? ? (32 ? 1) ? ? 8 .
42 .( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 函 数

?lg x( x ? 0) ? f ( x) ? ? , f ( f (1)) ? 8 ,则 a 的值是__________. a 2 ? x ? ?0 3t dt ( x ? 0) ?
【答案】2



解 析 】 当 x?0 ,

f ( x) ? x ? ? 3t 2 dt ? x ? t 3
0

a

a 0

? x ? a3

. 因 为 f (1) ? lg1 ? 0 , 所 以

f ( f (1)) ? f (0) ? a3 ? 8 ,所以 a ? 2 .


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