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2012北京海淀高三一模数学文(word版+答案+免费免点数)

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com

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北 京 海 淀 区 2012 年 高 三 一 模 文 科 数 学 试 题
2012.04 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 选择题: 在每小题给出的四个选项中 要求的. 要求的 (1)已知集合 A = { x|x 2 = 1} , B = {x|x ( x - 2) < 0} ,那么 A I B = (A) ? (B) {- 1} (C) {1} (D) {- 1,1}

(2)在等比数列 {an } 中, a2 = 6 , a3 = - 18 ,则 a1 + a2 + a3 + a4 = (A) 26 (B) 40 (C) 54 (D) 80

(3)已知向量 a =(x + 1,2),b=( ? 1,x ) . 若 a 与 b 垂直,则 | b | = (B) 2

(A)1

(C)2

(D)4

(4)过双曲线

x2 y 2 ? = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 9 16
(B) 3 x - 4 y - 15 = 0 (D) 4 x - 3 y - 20 = 0

(A) 3 x + 4 y - 15 = 0 (C) 4 x - 3 y + 20 = 0

(5)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 开始 (A)5 (C)7 (B)6 n=5,k=0 (D)8 n 为偶数
是 否

?x ? y ≥ 0 ? (6) 若满足条件 ? x + y ? 2 ≤ 0 的整点 ( x, y ) 恰有 9 个, 其中整点是指横、 ?y ≥ a ?
纵坐标都是整数的点,则整数 a 的值为 (A) ?3 (B)

n=

n 2

n = 3n + 1

?2

(C) ?1

(D) 0

k=k+1 n=1


?? x + ax, x ≤ 1, ( 7 ) 已 知 函 数 f ( x) = ? 若 ?x1 , x2 ∈ R , x1 ≠ x2 , 使 得 x > 1, ?ax ? 1,
2



输出 k

f ( x1 ) = f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
结束 (A) a < 2 (C) - 2 < a < 2 (B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2

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(8) 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, 若点 P 是棱上一点, 则满足 PA + PC ' = 2 的点 P 的 个数为 (A)4 (C)8 (B)6 (D)12
A' B' C' D' B A C D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 把答案填在题中横线上. (9)复数

2i 在复平面内所对应的点的坐标为 1- i
.

.

(10)若 tan α = 2 ,则 sin 2α =

(11)以抛物线 y 2 = 4 x 上的点 ( x0 , 4) 为圆心,并过此抛物线焦点的圆的方程 是 .
2 2

(12 已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示,那么此三棱锥的体积 是 ,左视图的面积是 .
2 俯俯俯

(13)设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5 P ,其中 Q, P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性

EQ EP

大于 1(其中

EQ Q' =P , Q ' 是 Q 的导数) ,则商品价格 P 的取值范围是 EP Q
则 f ( f (x )) = ______ ; .

.

ì 1, x ? Q, ? (14)已知函数 f ( x) = ? í

? 0, x ? ?R Q. ? ?

下面三个命题中,所有真命题的序号是 ① 函数 f (x)是偶函数;

② 任取一个不为零的有理数 T , f ( x + T ) = f ( x ) 对 x ∈ R 恒成立; ③ 存在三个点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )), C ( x3 , f ( x3 )), 使得 ?ABC 为等边三角形.

小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)

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已知函数 f ( x ) = sin x + sin( x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

π ). 3

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c . 已知 f ( A) =

3 ,a = 2

3b ,试判断 ?ABC 的

形状.

(16) (本小题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方 样本数据分组为 [0, 20) , [20, 40) ,[40, 60) ,[60,80) , 图 (如图) 其中, , 上学所需时间的范围是 [0,100] ,

[80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请 估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿.

频频/组组 0.025

x
0.006 5 0.003

O

20

40

60

80 100

时时

(17)(本小题满分 14 分) 已知菱形 ABCD 中,AB=4, ∠BAD = 60 (如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使
o

点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中点. (Ⅰ)证明:BD //平面 EMF ; (Ⅱ)证明: AC1 ⊥ BD ; (Ⅲ)当 EF ⊥ AB 时,求线段 AC1 的长.
A B
A E C1

D

C
F M D B

图1

图2

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = a ln x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得对任意的 x ∈ [1, +∞ ) ,都有 f ( x ) ≤ 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不

1 2 1 x + ( a ∈ R且a ≠ 0) . 2 2

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存在,请说明理由. (19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的右顶点 A(2, 0) , a2 b2
P

y D

离心率为

3 , O 为坐标原点. 2
E

O

A x

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P (异于点 A )为椭圆 C 上一个动点,过 O 作线段

AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E , D ,求

DE
的取值范围.

AP

(20) (本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) = ?

??1, x ∈ M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

M ?N = {x f M ( x) ? f N ( x) = ?1} . 已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}.
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数. (ⅰ)求证:当 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 取得最小值时, 2 ? X ; (ⅱ)求 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 的最小值.

海淀区高三年级第二学期期中练习

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学(文科) 2012.04 .

参考答案及评分标准
小题, 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题 号 ( ( 1) C ( 2) B ( 3) B ( 4) D ( 5) A ( 6) C ( 7) A 8) B

答 案

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 (9) (- 1,1) (10)

4 5

(11) ( x - 4) 2 + ( y - 4) 2 = 25

(12)

2 3

2 2

(13) (10, 20)

(14)1

①②③

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题共6小题, 80分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin x + sin( x -

π ) 3
………………………………………2 分

= sin x +

1 3 sin x cos x 2 2

=

3 3 sin x cos x 2 2

= =
由 2k π -

骣3 1 ÷ 3 ? sin x - cos x ÷ ? ÷ ?2 ÷ ? 2 桫 3 sin( x π ). 6
………………………………………4 分

π π π < x - < 2k π + , k  Z , 2 6 2 π 2π 得: 2k π < x < 2k π + , k  Z . 3 3 π 2π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2k π , 2k π + ),k ? Z. 3 3
………………………………………6 分 (Ⅱ)因为 f ( A) =

3 , 2

所以

3 sin( A -

π 3 π 1 )= .所以 sin( A - ) = . 6 2 6 2

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………………………………………7 分 因为

所以

因为

所以

因为 所以

π π 5 0 < A < π ,所以 - < A - < π . 6 6 6 π A= . ………………………………………9 分 3 a b = , a = 3b , sin A sin B 1 sin B = . ………………………………………11 分 2 π π π a > b , A = ,所以 B = .所以 C = . 3 6 2 ?ABC 为直角三角形. ………………………………………13 分

(16)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由直方图可得

20 × x + 0.025 × 20 + 0.0065 × 20 + 0.003 × 2 × 20 = 1 . ………………………………………6 分 所以 x = 0.0125 . (Ⅱ)由直方图可知,新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003创2 20=0.12 .
………………………………………9 分 因为 600 × 0.12 = 72 . 所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. ………………………………………13 分

(17)(本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为点 F , M 分别是 C1D , C1 B 的中点, 所以 FM / / BD . ………………………………………2 分 又 FM ? 平面 EMF , BD ? 平面 EMF , 所以 BD / / 平面 EMF . ………………………………………4 分 (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC , BD 的交点, 则 AC ⊥ BD . ………………………………………5 分 所以 在三棱锥 C1 - ABD 中,
C1 F M D O A E B

C1O ⊥ BD, AO ⊥ BD .
又 C1O I AO = O ,

所以 BD ⊥ 平面 AOC1 . 又 AC1 ? 平面 AOC1 , 所以 BD ⊥ AC1 .

………………………………………7 分

………………………………………9 分

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o

(Ⅲ)连结 DE , C1E .在菱形 ABCD 中, DA = AB, ∠BAD = 60 , 所以 ?ABD 是等边三角形. 所以 DA = DB . ………………………………………10 分 因为 E 为 AB 中点,所以 DE ⊥ AB . 又 EF ⊥ AB , EF I DE = E . 所以 AB ⊥ 平面 DEF ,即 AB ⊥ 平面 DEC1 . ………………………………………12 分 又 C1E ? 平面 DEC1 , 所以 AB ⊥ C1E . 因为 AE = EB, AB = 4 , BC1 = AB , 所以 AC1 = BC1 = 4 . (18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) . ………………………………………14 分
A E F M D B

C1

a ? x2 + a f '( x ) = ? x = . x x

………………………………………2 分

当 a < 0 时,在区间 (0, +∞ ) 上, f '( x ) < 0 . 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, +∞ ) . ………………………………………3 分当 a > 0 时, 令

f '( x) = 0 得 x = a 或 x = ? a (舍).
函数 f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化如下:

x
f '( x) f ( x)

(0, a )
+

a
0

( a , +∞)

?




极大值

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , +∞ ) . ………………………………………6 分 综上所述,当 a < 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0, +∞ ) ; 当 a > 0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , +∞ ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:

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当 a < 0 时, f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上单调递减. 所 以 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上 的 最 大 值 为 f (1) = 0 , 即 对 任 意 的 x ∈ [1, +∞) , 都 有

f ( x) ≤ 0 .
当 a > 0 时,

………………………………………7 分

① 当 a ≤ 1 ,即 0 < a ≤ 1 时, f ( x) 在 [1, +∞ ) 上单调递减. 所 以 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上 的 最 大 值 为 f (1) = 0 , 即 对 任 意 的 x ∈ [1, +∞) , 都 有

f ( x) ≤ 0 .

………………………………………10 分

② 当 a > 1 ,即 a > 1 时, f ( x) 在 [1, a ) 上单调递增, 所以 f ( a ) > f (1) . 又 f (1) = 0 , 所以 f ( a ) > 0 ,与对于任意的 x ∈ [1, +∞) ,都有 f ( x ) ≤ 0 矛盾. ………………………………………12 分 综上所述,存在实数 a 满足题意,此时 a 的取值范围是 ( ?∞, 0) U (0,1] . ………………………………………13 分

(19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 A(2,0) 是椭圆 C 的右顶点,所以 a = 2 .



c 3 = ,所以 c = 3 . a 2
2 2 2

所以 b = a ? c = 4 ? 3 = 1 .

所以 椭圆 C 的方程为

x2 + y 2 = 1. 4

………………………………………3 分

(Ⅱ)当直线 AP 的斜率为 0 时, | AP |= 4 , DE 为椭圆 C 的短轴,则 | DE |= 2 .

所以

| DE | 1 = . | AP | 2

………………………………………5 分

当直线 AP 的斜率不为 0 时, 设直线 AP 的方程为 y = k ( x ? 2) , P ( x0 , y0 ) ,

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则直线 DE 的方程为 y = ?

1 x. k

………………………………………6 分

? y = k ( x ? 2), ? 2 2 由 ? x2 得 x + 4[ k ( x ? 2)] ? 4 = 0 . 2 ? + y =1 ?4
2 2 2 2 即 (1 + 4k ) x ? 16k x + 16k ? 4 = 0 .

所以 2 + x0 =

16k 2 . 4k 2 + 1

8k 2 - 2 所以 x0 = . 4k 2 + 1
所以 | AP |= 即 | AP |=

………………………………………8 分

( x 0 ?2) 2 + ( y 0 ?0) 2 = (1 + k 2 )( x 0 ?2) 2 .

4 1+ k2 . 4k 2 + 1
1+ k2 . k2 + 4

类似可求 | DE |= 4

1+ k 2 2 | DE | k 2 + 4 = 4k + 1 . = 所以 | AP | 4 1 + k 2 k2 + 4 4k 2 + 1 4
设t =

………………………………………11 分

k 2 + 4, 则 k 2 = t 2 ? 4 , t > 2 .

| DE | 4(t 2 ? 4) + 1 4t 2 ? 15 = = (t > 2). | AP | t t
令 g (t ) =

4t 2 ? 15 4t 2 + 15 (t > 2) ,则 g '(t ) = > 0. t t2

所以 g (t ) 是一个增函数.

| DE | 4t 2 ? 15 4 × 4 ? 15 1 = > = . 所以 | AP | t 2 2
| DE | 1 的取值范围是 [ , +  ) . | AP | 2

综上,

………………………………………13 分

(20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f A (1)=1 , f B (1)= - 1 , A?B = {1, 6,10,16} .

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………………………………………3 分 (Ⅱ)设当 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 取到最小值时, X = W . (ⅰ)证明:假设 2 ? W ,令 Y = W U {2} . 那么 Card (Y ?A) + Card (Y ?B )

= Card (W ?A) ? 1 + Card (W ?B ) ? 1 < Card (W ?A) + Card (W ?B ) .这与题设矛盾.
所以 2 ? W ,即当 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 取到最小值时, 2 ? X . ………………………………………7 分 (ⅱ)同(ⅰ)可得: 4 ? W 且 8 ? W . 若存在 a ? X 且 a ? A U B ,则令 Z = ?X {a} . 那么 Card ( Z ?A) + Card ( Z ?B )

= Card ( X ?A) ? 1 + Card ( X ?B ) ? 1 < Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) .
所以 集合 W 中的元素只能来自 A U B . 若 a ? AU B 且 a ? AI B , 同 上 分 析 可 知 : 集 合 X 中 是 否 包 含 元 素 a ,

Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 的值不变.
综上可知, W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, 当 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 取到最小值 4. ………………………………………14 分


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